Курс «Численные методы и алгоритмы», «Численные методы»,
«Вычислительная математика».
Введение.
Развитие ЭВМ отдалило инженера от алгоритма, от метода. Даже
аналитическое решение дифференциального уравнения можно получить с
помощью специальной программы. С другой стороны, иногда забывают о
простейших способах решения физических задач (графический, интегрированием,
взвешиванием и т.п.).
В курсе не затрагиваются проблемы, связанные с получением аналитических
решений, это задача курса «Дифференциальные Уравнения». Основное –
численный расчёт, умение получить цифру, число с обоснованной точностью.
Будем заниматься поиском решений физических и математических задач в
виде последовательности чисел.
Реальные постановки задачи (когда необходимо прибегнуть к расчёту):
- наглядное представление математических зависимостей (построить график
функции); выяснение вида искомой зависимости (для получения аналитического
решения);
        

- алгоритм, как способ доказательства какого-либо утверждения (теоремы);
        

- прогноз; обработка информации (например, данных эксперимента).
        

Последнее – наша область.

Имеем дело с цепочкой:
Явление – физическая модель – математическаяя модель – поиск решения –
анализ результата
?
?
?
физическая точность
< (больше!)
математическая точность
Можно принять грубую физическую модель, грубо посчитать и получить
хорошее совпадение с реальностью, т.е. грубость физической модели будет
скрыта.
Как искать решение – неоднозначная задача, определяется:
- сроком получения решения;
- точностью решения
- уникальностью решения (м.б. надо периодически повторять расчёт или
решать близкие задачи, например менять местами известные и неизвестные
величины);
- материальной базой (возможности ЭВМ и т.п.);
- подготовкой специалиста, его кругозором.
        

Рекомендуемая литература:
«Численные методы»: Хемминг, Форсайт, Кнут, Крылов, Н.С.Бахвалов и др.
Корн, Корн – «Справочник по математике»
«Математический словарь»
У.Г.Пирумов – «Численные методы»

Тема: Погрешности и нормы.
Основные понятия так называемого приближённого анализа.
Что такое «близко»? Метрика в некотором пространстве (существует метрика =>
имеем метрическое пространство)
Df.     ?(х1,х2) принадлежит множеству вещественных чисел R ?0
?(х1,х2) = 0, только если х1=х2
?(х1,х2) = ?(х2,х1)
X- метрическое пространство, если на нём определена метрика ?.
Df. {xn} ? x (сходящаяся по метрике последовательность), если ?(хn,х) ? 0 при n ?
?
Df. {xn} - фундаментальная, если  для любого ?>0 существует к(?): ?(хn,хm)< ? n,m>к
Df. X – полное, если любая фундаментальная последовательность {xn} сходится к Х.

Пример неполного пространства:
? n?
X :? ?
? m?

? ( x1 , x 2 ) ? x1 ? x 2

k
??
1 ? ??
?
? xk ??1 ? ? ? ? X
k ? ??
??
?

? xk ? ?

e? X.

Для задачи y=A(x) в случае, если у и x принадлежат неполным пространствам,
последовательность {yk} может сходиться, но не к элементу данного пространства,
т.е. к недопустимому классу решений.
Рассмотрим числа, векторы, матрицы, функции из линейных нормированных
пространств со следующими аксиомами:
1) х1+х2 =х2+х1

(х1+х2)+х3= х1+(х2+х3)

2) существует единственное ? такое, что х+ ?=х для любого х;
Для любого х существует единственное (-х): х+(-х)=? ??0 (zero, нулевой
элемент)
3) ?(х1+х2)= ?х1+ ?х2

(a+b)x=ax+bx

4) ||x||
a(bx)=(ab)x
1·x=x
0·x= ? (?- единственное)
5)
- норма, если
||x||>0 ;  ||x|| - положительное вещественное число ;  
||ax||=||a||+||x|| ;  ||x||=0  x=0 ;  ||х1+х2||?||х1||+||х2||

Df. Сходимость в норме ||x||Lp - сходимость в среднем.
Df. L2 – гильбертово пространство, сходимость в нём – среднеквадратичная.
Утв. ||x(t)|| L1 ? ||x(t)|| L2 ?…?||x(t)|| с (чебышевская норма более сильная, чем
гильбертова), следовательно, из равномерной сходимости вытекает сходимость в
среднем.
Например:

Df. ||А|| согласована с ||x||,
если ||Ax||?||A||·||x||
Df. ||А|| подчинена ||x||,
когда ||А|| = sup(||Ax||/||x||);
sup – точная верхняя
граница
||А|| = sup(||Ax||/||x||) наименьшая из
согласованных норм

Источники погрешности:
1) математическая модель (связана с физической моделью, не рассматриваем);
2) исходные данные;
3) метод расчёта (погрешность метода должна быть в несколько раз меньше
неустранимой);
4) округления (должна быть минимальной из всех погрешностей);
1) и 2) – неустранимые источники ?y ? A( x ? ?x ) ? A( x )
?y –погрешность решения; ?x – погрешность данных
Df. Абсолютная погрешность: ?(?)? |a- ? |
Df. Относительная погрешность: ?(?)? |(a- ?)/ ? |
Df. Значащие цифры – все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой
слева.
Df. Верные цифры – те значащие, когда абсолютная погрешность числа не
превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Df.
Задача    у=А(х)    называется  корректно  (правильно)  поставленной,  если  для 
любого х из некоторой области определения Х существует единственное y, устойчивое по 
входным данным, т.е. ||?у||?0 при ||?x||?0, где х+?х – входные данные.

Примечание:

Если

?y
?a j

?y
?y
непрерывны, то |( a1*?? ( a1 ? a1 *),...) ?
|( a *,...a *) ?0(1)
?a j
?a j 1 n

(?(x)=0(1): lim
x? a

f ( x)
f ( x)
?0 )
?0 ; ?(x)=0[g(x)]:lim
x ? a g ( x)
1

0;(1)

- эта запись есть 0

Обратная задача оценки погрешности:
с какой точностью надо задать а1*,…,аn*, чтобы погрешность у(а1*,…,аn*) не превышала
(a1 ,...
заданное
??an ) ?
?y
? ? G C j ?sup
(a1*,...an *)
(a1 ,...an )
Пусть (a1 *,...an *)?
G ?a j
где
- истинные значения;
n
n
приближенные
?
y ? y * ? C j ? a *j ??
C j ? a *j
?
значения; G – выпуклая область
j ?1
j ?1

?

? ?

? ?

Пример 3: Для задачи данными являются значения коэффициентов.
Чувствительность – сильное изменение решения при малом изменении данных.
(х-2)2 = 0 ; корень есть 2
(х-2)2 = 10-6; корни есть 2±10-3 Малое изменение правой части на 10-6 меняет решение на 103

.

Заключение: даже применение классических результатов математической






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.