Цифровая обработка изображений
2 Математические аспекты. Линейные системы
2.1 Специальные (элементарные) функции
Одномерные непрерывные функции (сигналы) от координат
или времени: f(x), U*(x), s(t).
Соответствующие им дискретные (цифровые) функции
(сигналы): f(n), U*(m), s(k)
Непрерывное изображение представляет собой функцию
двух независимых переменных:
f(x,y), U*(x,y), s(x,t)
Соответствующие им дискретные (цифровые)
изображения (двумерные сигналы): f(m,n), U*(m,n), s(l,k)1

Цифровая обработка изображений
Специальные (одномерные) функции
Функция Дирака
? ? x ? ?0, x ?0
?

? ? x ? dx ?1
?
Свойства функции Дирака lim
??0 ??
?

? f ? x??? ? x ? x?? dx? ? f ? x ?
??

? ? x?
? ?? x ? ?
?
Функция Кронекера

? 0, n ?0?
? ? n ? ??
?
1
,
n
?
0
?
?
?

? f ? m?? ? n ? m ? ? f ? n ?

m ???

Цифровая обработка изображений
Специальные (одномерные) функции
Прямоугольная функция
Функция знака
Функция отсчетов

?? 1,
rect ? x ? ??
?? 0,
? 1,
?
sgn ? x ? ?? 0,
? ? 1,
?
sin c ? x ? ?

x ? 1 ??
2
?
1
x ?
2 ??
x ? 0?
?
x ?0?
x ? 0??

sin ?x
?x
?

Комб-функция

comb? x ? ? ? ? ? x ? n ?

Треугольная функция

?1 ? x ,
tri ? x ? ??
? 0,

n ???

x ?1?
?
x ? 1?

Цифровая обработка изображений
Двумерные версии
специальных
функций
формируются
по правилу:
f(x,y) = f1(x) f2(y)
В качестве
примера,
двумерная
дельта-функция
будет иметь
вид:

? ? x, y ? ?? ? x ? ?? ? y ?
? ? m, n ? ?? ? m ? ?? ? n ?
? ?

??f ? x?, y??? ? x ? x?, y ? y??dx?dy? ? f ? x, y ?

? ?? ?

? ?

lim ??? ? x, y ?dxdy ?1
??0

? ?? ?

?

x? m, n ? ? ?

?

? x? m?, n??? ? m ? m?, n ? n??

m???? n????

?

?

? ? ? ? m, n ? ?1

m???? n????

Цифровая обработка изображений
2.2 Понятие линейной системы
Большая часть систем изображений может быть
смоделирована как двумерные системы с линейным
преобразованием входного сигнала. Это означает, что:

x? m, n ? ? ?? ?? ? y ? m, n ?
справедлива линейная суперпозиция

H ? ? 1 x1 ? m, n ? ? ? 2 x2 ? m, n ? ? ??1 H ? x1 ? m, n ? ? ? ? 2 H ? x2 ? m, n ? ? ?
??1 y1 ? m, n ? ? ? 2 y 2 ? m, n ?

Цифровая обработка изображений
Если на вход линейной системы подается двумерная
дельта-функция Кронекера, то реакция системы на это
возбуждение описывается передаточной функцией в
виде Функции Импульсного Отклика:

h? m, n, m?, n?? ??? ? ? m ? m?, n ? n?? ? ?h? m ? m?, n ? n?,0,0?

Цифровая обработка изображений
Преобразования в линейной системе могут быть
описаны следующим образом:

?
?
y ? m, n ? ??? x? m, n ? ? ?? ? ?? x? m?, n??? ? m ? m?, n ? n?? ?
? m? n?
?
??? x? m?, n???? ? ? m ? m?, n ? n?? ?
m?

n?

y ? m, n ? ??? x? m?, n?? h? m, n; m?, n??
m? n?

Цифровая обработка изображений
Если рассматриваемая система является пространственно
инвариантной, или инвариантной к сдвигу,
если реакция системы не зависит от того, где (в какой
точке изображения ) было возбуждение, в частности,
в точке с нулевыми координатами, тогда

?? ? ? m, n ? ? ?h? m, n,0,0?

что равносильно тому, чтобы передаточная
функция выглядит следующим образом:

? h? m, n, m?, n?? ?h? m ? m?, n ? n??

Цифровая обработка изображений
Импульсный отклик системы иначе называется функцией
рассеяния точки. Могут быть КОНЕЧНЫЕ импульсные
характеристики (по аналогии с КИХ-фильтрами), а могут –
БЕСКОНЕЧНЫЕ (БИХ), в зависимости от того, конечна или
бесконечна область реакции системы на импульсный всплеск.

y ? m, n ? ??? x? m?, n?? h? m ? m?, n ? n??
m? n ?

которое называется СВЕРТКОЙ входного сигнала с
импульсным откликом системы.

Цифровая обработка изображений
Свертка двух двумерных непрерывных функций
рассчитывается по формуле.
? ?

g ? x, y ? ?h? x, y ? ? f ? x, y ? ? ??f ? x?, y ?? h? x ? x?, y ? y ??dx ?dy ?
? ?? ?

Свертка двух двумерных дискретных функций
рассчитывается по формуле

y ? m, n ? ?h? m, n ? ? x? m, n ? ??? x? m?, n?? h? m ? m?, n ? n??
m? n?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.