Цифровая обработка изображений
3 Математические аспекты. Преобразования
3.1 Преобразование (непрерывное) Фурье
Прямое Фурье-преобразование одномерного сигнала
?

F ?? ? ? ?f ? x ? exp? ? j 2??x ? dx
??

Обратное Фурье-преобразование одномерного сигнала:
?

f ? x ? ? ?F ?? ? exp? 2?x? ? d?
??

Цифровая обработка изображений
Прямое Фурье-преобразование двумерного изображения:
? ?

F ??1 , ? 2 ? ? ??f ? x, y ? exp? ? j 2? ??1 x ? ? 2 y ? ? dxdy
? ?? ?

Обратное Фурье-преобразование двумерного изображения
? ?

f ? x, y ? ? ??F ??1 , ? 2 ? exp? j 2? ??1 x ? ? 2 y ? ? d?1d? 2
? ?? ?

Цифровая обработка изображений
3.2 Таблица преобразований

f ? x, y ?

F ? ?1 , ? 2 ?

? ? x, y ?
? ? x ?x0 , y ? y 0 ?
exp? ? j 2?x?1 ? exp? ? j 2?y? 2 ?

1
exp? ? j 2?x0?1 ? exp? ? j 2?y 0? 2 ?

exp ? ? x 2 ? y 2
rect ? x, y ?
tri ? x, y ?
comb? x, y ?

exp ? ? ?12 ? ? 22

? ?

??

? ??1 ??1 , ? 2 ?? 2 ?

? ?

sin c??1 , ? 2 ?
sin c 2 ??1 , ? 2 ?
comb??1 , ? 2 ?

??

Цифровая обработка изображений
3.3 Свойства Фурье-преобразования

Отображение
Линейность
КомплексноСопряженность

f ? ?x,?y ?
F ? ??1 ,?? 2 ?
? 1 f1 ? x, y ? ? ? 2 f 2 ? x, y ? ? 1 F1 ??1 , ? 2 ? ? ? 2 F2 ??1 , ? 2 ?

Сепарабельность

f * ? x, y ?
f1 ? x ? f 2 ? y ?

f ? ax, by ?
Масштабирование
f ? x ?x0 , y ? y 0 ?
Смещение

F ? ? ? ?1 , ? ? 2 ?
F1 ??1 ? F2 ?? 2 ?
F ? ?1 / a , ? 2 / b ?
ab

exp? ? j 2? ? x0?1 ? y 0? 2 ? ? F ??1 , ?

Цифровая обработка изображений
3.3 Свойства Фурье-преобразования

Модуляция
Свертка
Умножение
Корреляция

exp? ? j 2? ??1 x ? ? 2 y ? ? f ? x, y ?F ??1 ??1 , ? 2 ?? 2 ?
g ? x, y ? ?h? x, y ? ? f ? x, y ?
g ? x, y ? ?h? x, y ? f ? x, y ?
g ? x, y ? ?h? x, y ? ? f ? x, y ?
? ?

Интегрирова I
ние

G ? ? 1 , ? 2 ? ? H ? ?1 , ? 2 ? F ? ?1 , ? 2 ?
G ? ? 1 , ? 2 ? ? H ? ?1 , ? 2 ? ? F ? ?1 , ? 2 ?
G ? ? 1 , ? 2 ? ? H ? ? ?1 , ? ? 2 ? F ? ?1 , ? 2 ?
? ?

?
I
?
H
?? ??1 ,? 2 ? F ??1 ,? 2 ?d?1d? 2
h ? x, y ? f ? x, y ?dxdy

? ??
? ?? ?

?

? ?? ?

Цифровая обработка изображений
3.4 Понятие собственной функции линейной системы
? ?

g ? x, y ? ? ??h? x ? x ?, y ? y ?? exp? j 2? ??1 x ? ? ? 2 y ?? ?dx?dy ?
? ?? ?

g ? x, y ? ?H ??1 , ? 2 ? exp? j 2? ??1 x? ? ? 2 y ?? ?

Цифровая обработка изображений
3.5 Фурье-преобразование дискретного сигнала
Преобразование (прямое и обратное) одномерного
дискретного сигнала
?

X ?? ? ? ? x? n ? exp? ? jn? ?
n ???

1
x? n ? ?
2?

?

X ?? ? exp? jn? ?
?
?

?

Преобразование (прямое и обратное) двумерного
дискретного сигнала
?

X ??1 , ?2 ? ? ? x? m, n ? exp? ? j ? m?1 ? n?2 ? ?, ? ? ??1 , ?2 ? ?
n ???

1
x? m, n ? ?
2?

?

?? X ?? ,? ? exp? j ? m?
1

?

2

1

? n?2 ? ? d?1d?2

Цифровая обработка изображений
3.6 Свойства и примеры Фурье-преобразования
двумерных дискретных сигналов (изображений)

x? m, n ?, y ? m, n ?, h? m, n ?
Линейность

?1 x1 ? m, n ? ? ? 2 x2 ? m, n ?

? ?
? ? ? ?

Комплексная x ? m, n
сопряженность
Сепарабельнос x m x n
1
2
ть
Смещение x m ?m0 , n ?n0

?

Модуляция

X ??1 , ? 2 ?, Y ??1 , ? 2 ?, H ??1 , ? 2 ?

?1 X 1 ??1 , ? 2 ? ? ? 2 X 2 ??1 , ? 2 ?
X ? ? ? ?1 ,? ? 2 ?
X 1 ??1 ? X 2 ?? 2 ?

?

exp? ? j ??1m0 ? ? 2 n0 ? ? X ??1 , ? 2 ?

exp? ? j ??01m ? ?02 n ? ? x? m, n ? X ??1 ??01 , ? 2 ??01 ?

Цифровая обработка изображений
3.6 Свойства и примеры Фурье-преобразования
двумерных дискретных сигналов (изображений)
y ? m, n ? ?h? m, n ? ? x? m, n ?

Свертка
Перемножение y ? m, n ? ?h? m, n ? x? m, n ?
Корреляция

c? m, n ? ?h? m, n ? ? x? m, n ?
?

I?

?? y ? m, n? x? m, n?
?

Итеграл от
m , n ???
произведения
Сохранение E ?
m , n ???
энергии

?? x? m, n?

?

?? exp? j ? m?

m , n ???

? ? m, n ?

01

2

? n? 02 ? ?

Y ? ?1 , ? 2 ? ? X ? ?1 , ? 2 ? H ? ?1 , ? 2 ?
? 1 ?
Y ??1 , ? 2 ? ?? 2 ? X ??1 , ? 2 ? ? H ??1 , ? 2 ?
? 4? ?
C ? ?1 , ? 2 ? ? X ? ?1 , ? 2 ? H ? ? ?1 , ? ? 2 ?
1
I? 2
4?
1
E? 2
4?

? ?

?
?
?
X
?
,
?
Y
?? 1 2 ??1 , ? 2 ?d?1 d? 2

????

? ?

2

??X ??1 , ? 2 ? d?1d? 2

????

4? 2 ? ??1 ? ? 01 , ? 2 ? ? 01 ?
1
4? 2

? ?

exp? ? j ?? m ? ? n ? ? d? d?
??
? ?
1

? ?

2

1

2

Цифровая обработка изображений
3.8 Свойства двумерных Z-преобразований

Отражение

x? m, n ?, y ? m, n ?, h? m, n ?

X ? z1 , z2 ?, Y ? z1 , z2 ?, H ? z1 , z2 ?

x? ? m,? n ?

X z1? 1 , z 2? 1

?1 x1 ? m, n ? ? ? 2 x2 ? m, n ?

Линейность
?
Комплексная x
сопряженность
Сепарабельностьx1

? m, n ?
? m ? x2 ? n ?

Смещение
Модуляция
Свертка
Произведение

x? m ?m0 , n ?n0 ?

a mb n x? m, n ?
h? m, n ? ? x? m, n ?
h? m, n ? x? m, n ?

?

?

?1 X 1 ? z1 , z2 ? ? ? 2 X 2 ? z1 , z2 ?

?

X ? z1? , z2?

?

X 1 ? z1 ? X 2 ? z 2 ?
z1?m0 z2?n0 X ? z1 , z2 ?
? z1 z 2 ?
X? , ?
?a b?
X ? z1 , z2 ? H ? z1 , z 2 ?
? 1 ?
??
??
? 2?j ?

2

? ?
?z z ?
dz
?
?
? 1 , 2 ?Y ?? z , z ?? 1 dz2
X
??
? ?? ? 1 2 ? ? ?
?
z1 z 2
C1 C2
? z1 z 2 ?

Цифровая обработка изображений
3.9 Стабильность и причинная обусловленность
?

H ? z ? ?? h? n ?z ? n
n ?0

?

? h? n ? ? ?

n ???

?

? ? h? m, n? ? ?
m , n ???

Цифровая обработка изображений
3.10 Оптическая и модуляционная передаточная функции

H ??1 , ? 2 ?
OTF ?
H ? 0,0?
H ??1 , ? 2 ?
MTF ?
H ? 0,0 ?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.