Цифровая обработка изображений
11 Преобразование гистограмм
11.1 Общая схема преобразования
Это процедура повышения качества изображения и
заключающаяся в приведении плотности распределения
вероятностей уровня серого (яркости) к некоторому
заданному виду.
Процедура строится по экспериментально полученной
гистограмме исходного распределения вероятности
Общая схема преобразования

u ?

f ?u ? ?

v ?

Квантователь ?

v?

Цифровая обработка изображений
11.2* Схема квантования «компандор»
«Компандор» - от английского слова
Compandor = COMPress + expANDOR,
означающее последовательное проведение операций
«сжатие» и «расширение».
Компандор – равномерный квантователь, имеющий на
входе и выходе преобразователь с нелинейной
характеристикой.
Полная схема преобразования имеет вид:
u ?

w ? f ?u ? ?

Квантователь y ? ? yi ?

?

u ? ?g ? y ?

Цифровая обработка изображений
Условие корректного проведения операции квантования

g ? x? ? f ? 1? x?
при этом функция должна удовлетворять условию
(если предположить, что динамический диапазон
квантователя [-a,a])
?x
?
13
? ?? pu ? u ? ? du ?
? t0
?
f ? x ? ?2a ? t L
?? a
? ? p ? u ? ? 1 3 du ?
?? u
?
t
? 0
?

Цифровая обработка изображений
Если функция плотности вероятности симметрична
относительно нуля:

pu ? u ? ? pu ? ? u ?
?x
?
13
? ?? pu ? u ? ? du ?
?
?
f ? x ? ?a ? t0L
? , x ?0
? ? p ? u ? ? 1 3 du ?
?? u
?
?0
?
f ? x ? ?? f ? ? x ?, x ? 0

Цифровая обработка изображений
Пример
Задана ограниченная функция плотности вероятности
Лапласа, часто используемая для вероятностной модели
шума
pu ? u ? ?c ?exp? ? ? u ?, ? A ?u ? A

?
?1
c ? ?1 ? exp? ? ?A? ?
2
Найти формулы «прямого» и «обратного»
преобразований «компандора»

Цифровая обработка изображений
Решение
Используя приведенную ранее формулу, получим
«сжимающую» функцию
? a?1 ? exp? ? ?x / 3? ?
, 0 ?x ? A
?
f ? x ? ?? ?1 ? exp? ? ?A / 3? ?
??
? f ? ? x ?,
? A ?x ? 0

«Расширяющая» (восстанавливающая) функция
? 3 ? x?
? ?A ? ? ?
? ? ln 1 ?
1 ? exp? ?
? ? ? , 0 ? x ?a
g ? x ? ?? ? ?? a ??
? 3 ?? ?
?
? g ? ? x ?,
? a ?x ? 0
?

Цифровая обработка изображений
11.3 Процедура эквализации гистограммы
Эквализация (equalization) предполагает получение
в результате равномерную гистограмму, с примерно
одинаковым содержанием всех уровней серого в
изображении.
Функция распределения вероятности:

FU ? u ? ?P?U ?u ?

Именно эта функция будет (приблизительно)
равномерно распределена в интервале (0,1)
u

v ?FU ? u ? ??pU ? u ? du
0

Цифровая обработка изображений
Чтобы применить это преобразование к цифровым
изображениям, предположим, что входная переменная
имеет L уровней серого с вероятностью
h? xi ?

pu ? xi ? ? L ? 1

, i ?0,1,..., L ? 1

? h? x ?
i

i ?0

Операция эквализации гистограммы включает в себя
два шага:
u

v ?? pu ? xi ? ?
xi ?0

k

vk ?? pu ? xi ?
i ?0

? ? v ? vmin ?
?
? L ? 1? ? 0.5?
v ? ?Int ?
? ?1 ? vmin ?
?

Цифровая обработка изображений
11.4 Процедуры модификации гистограммы
В качестве функций преобразования могут быть
предложены различные варианты.
В частности, нередко используются «сжимающие»
функции для квантователя «компандор»
u

1

? p ?x ?
u

f ? u ? ? xiL? 1

n

i

x ?0

1

, n ?2,3,...

? p ?x ?
u

n

i

xi ?0

f ? u ? ?log?1 ? u ?, u ?0
1

f ? u ? ?u n , u ?0, n ?2,3,...

Цифровая обработка изображений
11.5 Получение изображения с требуемой гистограммой
Цель – преобразовать одну случайную переменную с
исходной плотностью вероятности в другую, имеющую
заданную плотность вероятности

? u ?0,

pu ? u ??

?

? v ?0,

pv ? v ??

Для этого преобразуем обе случайные переменные в
переменную с равномерным законом распределения
u

w ??pu ? u ?du ?Fu ? u ?
0
v

w ??pv ? v ?dv ?Fv ? v ?
0

Цифровая обработка изображений

Таким образом, решение задачи возможно, если

v ?Fv? 1 ? Fu ? u ? ?

Цифровая обработка изображений
Пример
Дано изображение
?2
?6
?
?5
?
?6
?6
?
?6
?5
?
?5

5 3 6 5 5 5 6?
2 2 6 3 6 5 6??
5 5 2 6 3 6 3?
?
3 6 5 5 5 5 5?
6 6 3 6 6 6 6?
?
2 2 2 6 6 6 6?
5 5 5 2 5 5 3?
?
5 5 5 5 6 6 3?

Рассчитать гистограмму изображения и
провести операцию эквализации

Цифровая обработка изображений
Решение

xi
pu ? xi ?

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1/8

1/8

0

3/8

3/8

0






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.