Цифровая обработка изображений
9 Квантование изображений
9.1 Задача квантования
Оцифровка (кодирование) =
= дискретизация + квантование
Операция квантования переводит непрерывную
переменную в дискретную,

u ?

u?

u?

может принимать лишь определенное количество
значений из заданного диапазона чисел

Цифровая обработка изображений

Задача квантования – определить порядок разбиения
диапазона изменения измеряемой переменной на
заданное количество отрезков, а также определить,
какое значение присваивается переменной на каждом
из этих отрезков

Цифровая обработка изображений
Задача - определить

? tk ,

k ?0,..., L?

при этом t0 t L - минимальное и максимальное
значения переменной (границы диапазона изменения).
Если переменная находится на участке

? tk , tk ?1 ?
то переменная заменяется на некоторое значение в нем
t k ?rk ? t k ?1

Цифровая обработка изображений
Пример
Измеряется напряжение в диапазоне
от -3.2 мВ до +9.6 мВ
Количество уровней разбиения – L=256 (1 байт)
Тогда при равномерном разбиении интервал квантования
q?

9.6 ? ? ? 3.2? 12.8
?
?0.05 mB
256
256

Уровни разбиения рассчитываются как
12.8 ?? k ? 1?
? mB ?, k ?0,...,256
tk ?
256

а уровни реконструкции (восстановления) как
rk ?t k ? 0.025 ? mB ?

Цифровая обработка изображений

Квантование необратимо, т.е. для данного выходного
значения входной сигнал не может быть определен
однозначно.
Квантование неизбежно приводит к ОШИБКЕ
(потере информации),
поэтому методы проектирования квантователя должны
быть ориентированы на обеспечение минимума ошибки

Цифровая обработка изображений
9.2 Оптимальный квантователь
Задача проектирования – добиться минимума
средне-квадратической ошибки квантования для
данного числа уровней квантования
Пусть u
- действительная скалярная случайная переменная
с плотностью вероятности распределения pu ? u ?
Необходимо найти такое распределение уровней
разбиения ? t k , k ?0,..., L?
и уровней реконструкции ? rk , k ?0,..., L ? 1?
чтобы обеспечить минимум ошибки

Цифровая обработка изображений

?

? ? E ?u ? u

tL

? ? ???u ? u ? p ?u ?du

? 2

? 2

u

t0

Представим функцию ошибки несколько по-другому:
L ? 1 ti ?1

? ??

2
?
?
u
?
r
? i pu ? u ?du

i ?0 ti

Всего неизвестных (2L-1) –

? tk ,

k ?1,..., L ? 1?

? rk ,

k ?0,..., L ? 1?

известны только граничные значения –

t0 t L

Цифровая обработка изображений
Необходимое условие минимизации – частные
производные целевой функции
по каждой переменной

? tk , rk ?
должны равняться нулю:

??
2
2
?? t k ? rk ? 1 ? pu ? t k ? ? ? t k ? rk ? pu ? t k ? ?0
?t k
t

k ?1
??
?2 ?? u ? rk ? pu ? u ?du ?0, 0 ?k ?L ? 1
?rk
tk

Цифровая обработка изображений
Решение –

rk ? rk ?1
tk ?
2
t k ?1

?up ? u ?du
u

t

rk ? tkk?1

?E ? u u ? ? t k , t k ?1 ? ?

?p ? u ?du
u

tk

Система (2L-1) нелинейных уравнений!!
Решение – итерационным методом Ньютона

Цифровая обработка изображений

Полученные результаты позволяют заключить, что
оптимальное положение точек разбиения ровно
посередине между точками восстановления
(реконструкции), которые, в свою очередь,
лежат в «центре массы» функции плотности
вероятности на участке.

Цифровая обработка изображений
В том случае, если число уровней квантования велико,
то решение выражается по формуле
t0 ? zk

A
t k ?1 ?t0 ?

?1 3
?
?
?
?
p
u
?u

t0
tL

?1 3
?
?
?
p
u
?
?u

t0

A ?t L ? t0 , z k ? A? k L ?, k ?0,..., L ? 1
Уровни реконструкции определяются как средние на
каждом участке разбиения

Цифровая обработка изображений
В этом случае средне-квадратическая погрешность равна

1
?? 2
12 L

tL

??
??
1
? ?? pu ? u ? ? 3 du ?
?? t0
??

3

Это полезная формула, так как она дает оценку погрешности
квантования по значению плотности вероятности и числу
интервалов квантования.

Цифровая обработка изображений
Два наиболее распространенных закона распределения
плотности вероятности – закон Гаусса и Лапласа
2
?
?
1
u ? ?? ?
?
pu ? u ? ?
exp?? ?
2
?
2
2
?
2??
?
?
?
pu ? u ? ? exp? ? ? u ? ? ?
2

Оптимальное расположение точек разбиения и реконструкции
для этих законов приводятся в таблицах

Цифровая обработка изображений
9.3 Линейный квантователь
Для равномерного закона распределения плотности
вероятности формулы для оптимального квантователя
будут иметь вид

? 1
, t0 ?u ?t L
?
pu ? u ? ?? t L ? t0
?? 0,
иначе
Тогда

rk

?
t
?
2?t

? t k2 ? t k ?1 ? t k
?
2
k ?1 ? t k ?
t ?t
t k ? k ?1 k ? 1
2

2
k ?1

Цифровая обработка изображений
откуда

t k ?1 ? t k ?t k ? t k ? 1 ?q,
t L ? t0
q
q?
, t k ?t k ? 1 ? q, rk ?t k ?
L
2
Ошибка (шум) квантования равен
?q

1 2 2
q2
? ? ?u du ?
q ?q
12
2

Цифровая обработка изображений
Дисперсия равномерно распределенной случайной
Переменной с диапазоном изменения А равна
(В – число используемых бит)
2
A
A
2
?u ? , q ? B
12
2
Тогда отношение (полезный) сигнал/шум (квантования)
Определяется по формуле

?
? 2B
?2
2
?u

?

SNR ?10 log10 2

2B

?6 B dB

То есть 6 децибел на каждый бит!!






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.