Цифровая обработка изображений
5 Z-преобразование. Применение на практике
5.1 Общие положения
Причины популярности Z-преобразования:
- максимальная компактность записи сигналов и цифровых
операторов (фильтров)
- сравнительно легко использовать для проектирования
(синтеза) цифровых операторов (фильтров)
- описание цифрового оператора (фильтра) расположением
полюсов и нулей на комплексной плоскости – очень
выразительно!

Цифровая обработка изображений
?

X ? z ? ? ? x? n ?z ? n
n ???

Вывод – если разложить Z-образ сигнала (оператора) в степенной
ряд по z, то можно восстановить сигнал –
коэффициенты при соответствующих степенях переменной

Пример (прямая задача)
Задан сигнал в форме отсчетов –
x(n) = 1, 0.8, 0.64, 0.512,…. (начиная с n = 0).
Найти его Z-образ

Цифровая обработка изображений
Решение:
?

X ? z ? ?? x? n ?z ? n ?1 ?z ? 0 ? 0.8 ?z ? 1 ? 0.64 ?z ? 2 ? 0.512 ?z ? 3 ? ....... ?
n ?0

1
z
?
?
1 ? 0.8 z ? 1 z ? 0.8

Пример (обратная задача)
Задан Z-образ сигнала
X ? z? ?

1
z ? 1.2

Найти (восстановить) цифровой сигнал x(n)

Цифровая обработка изображений
Решение:

1
z?1
?1
?1
X ? z? ?
?
?
z
1
?
1
.
2
z
z ? 1.2 1 ? 1.2 z ? 1

?

?1

?

?

? z 1 ? ? 1.2 z

?1

? ? ?? 1.2 z ? ? ?? 1.2 z
?1 2

? ?
? ? ....? ?
?1

?1 3

? z ? 1 ? 1.2 z ? 2 ? 1.44 z ? 3 ? ....

Откуда x(n) = 0, 1, -1.2, 1.44, ……

Цифровая обработка изображений
Замечания:
Хотя оба сигнала бесконечны во времени, их Z-образы компактны!
z ?exp? j? ?
Если подставить
то Z-образ примет вид Преобразования Фурье
?

X ? ? ? ? ? x? n ? exp? ? jn? ?
n ???

Можно представить Z-преобразование как оператор сдвига
во времени, т.е. умножение на z эквивалентно сдвигу вперед,
а деление на z – сдвигу назад

Цифровая обработка изображений
Таблица соответствия сигнала и Z-образа
? ? n? ? 1
z
z? 1
z
r? n? ?
? z ? 1? 2
z
a nu? n? ?
z? a

u? n? ?

?1 ? a ?u? n ? ? ? z ?z?1a ??? za?? 1?
n

Путь решения – представить Z-образ в виде суммы
z
простых дробей типа
z? ?

Цифровая обработка изображений
Пример (обратная задача)
Задан Z-образ сигнала
X ? z? ?

1
? z ? 1?? 2 z ? 1? z

Найти (восстановить) цифровой сигнал x(n)
Решение (1-й способ):
Представим Z-образ в виде суммы простейших
рациональных дробей:
X ? z? ?

?

1
A
B
C
? ?
?
?
? z ? 1?? 2 z ? 1? z z z ? 1 2 z ? 1

?

?

?

?

A 2 z 2 ? 3z ? 1 ? B 2 z 2 ? z ? C z 2 ? z
?
? z ? 1?? 2 z ? 1? z

?

Цифровая обработка изображений
Для определения коэффициентов А, В и С
составим систему уравнений
? 2 A ? 2 B ? C ?0
?
? ? 3 A ? B ? C ?0 ? A ?1, B ?1, C ?? 4
?
A ?1
?
Тогда Z-образ можно представить в виде:
X ? z? ?

1
1
1
4
? ?
?
?
? z ? 1?? 2 z ? 1? z z z ? 1 2 z ? 1

z
2z ?
?
? z ? 1 ?1 ?
?
?
z ? 1 z ? 0.5 ?
?

Откуда

x? n ? ?? ? n ? 1? ? u ? n ? 1? ? 2? 0.5?

n? 1

u ? n ? 1?

или: x(n) = 0, 0, 0, 0.5, 0.75, 0.875, …..

Цифровая обработка изображений
Решение (2-й способ):
Представим, что заданный Z-образ описывает цифровой
оператор, т.е. это функция импульсного
отклика (передаточная функция) линейной системы. Тогда
Y ? z?
1
H ? z? ?
?
?
X ? z ? ? z ? 1?? 2 z ? 1? z
? Y ? z ?? ? z ? 1?? 2 z ? 1? z? ? X ? z ? ?

?

?

? Y ? z ? 2 z 3 ? 3z 2 ? z ? X ? z ?

Откуда разностное уравнение будет выглядеть
следующим образом:

y? n ? ?1.5 y ? n ? 1? ? 0.5 y ? n ? 2 ? ? 0.5 x? n ? 3?

Цифровая обработка изображений
Это – рекурсивный фильтр.
Чтобы найти функцию импульсного отклика,
надо на вход фильтра подать сигнал в виде
Дельта-функции. Тогда

h? n ? ?1.5h? n ? 1? ? 0.5h? n ? 2 ? ? 0.5? ? n ? 3?
Откуда h(n) = 0, 0, 0, 0.5, 0.75, 0.875, …..
(Тот же результат!!!)

Цифровая обработка изображений
5.3 Описание цифровых сигналов с помощью нулей
и полюсов
Любой цифровой сигнал может быть представлен
рациональной дробью, в числителе и знаменателе
которой – многочлены
N ? z?
X ? z? ?
D? z ?
Если известны корни числителя (НУЛИ - ) и
знаменателя (ПОЛЮСА), то Z-образ запишется как

K ? z ? z1 ?? z ? z 2 ?...? z ? z N ?
X ? z? ?
? z ? p1 ?? z ? p2 ?....? z ? pM ?

Цифровая обработка изображений

Отметим, что если цифровой сигнал представляет собой
действительную функцию, то корни и числителя,
и знаменателя либо действительные числа, либо
комплексно-сопряженные!!!
Удобно изображать нули и полюса на комплексной плоскости!!

Цифровая обработка изображений
Пример
Изобразить на комплексной плоскости Z-образы
следующих сигналов (цифровых операторов):
z
u? n? ?
z?1
z 2 ? z ? 1.2?? z ? 1?
X ? z? ?
? z ? 0.8?? z 2 ? z ? 0.74?
X ? z ? ?? z 5 ? 1?? z 2 ? 1?

Если Z-преобразование характеризует передаточную
функцию цифрового оператора, то положение нулей
и полюсов несет важную информацию о стабильности
оператора и его амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиках!!!

Цифровая обработка изображений
Простейшие случаи:
полюс

p ??

Тогда

H ? z? ?

1
Y ? z?
?
z ? ? X ? z?

y ? n ? ??y ? n ? 1? ? x? n ? 1?
h? n ? ??h? n ? 1? ? ? ? n ? 1?
h? n ? ?0,1, ? , ? 2 , ? 3 ,.....

Если ? ? 1
то передаточная функция бесконечно возрастает –
система (фильтр) становится неустойчивой

Цифровая обработка изображений
два полюса p1, 2 ??j?

Тогда H ? z ? ?

1
Y ? z?
?
z2 ?? 2 X ? z?

y ? n ? ?? ? 2 y ? n ? 2 ? ? x ? n ? 2 ?
h ? n ? ?? ? 2 h ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ?
h? n ? ?0,0,1,? ? 2 ,0, ? 4 ,0,? ? 6 .....
То же условие - если ? ? 1
то передаточная функция бесконечно возрастает –
система (фильтр) нестабильна

Цифровая обработка изображений
два полюса
Тогда

p1, 2 ?r ?exp? ? j? ?

H ? z? ?

1

?z ?

r exp? ? j? ? ?? z ? r exp? ? j? ? ?
1
Y ? z?
? 2
?
? z ? 2rz cos?? ? ? r 2 ? X ? z ?

?

y ? n ? ?2r cos?? ? y ? n ? 1? ? r 2 y ? n ? 2 ? ? x? n ? 2 ?

Например, для
z 2 ? 1.64 z ? 0.9 ?

r ?0.95, ? ?150o

Стабильность цифрового оператора характеризуется только
положением полюсов (внутри, вне или на единичной
окружности). Нули могут располагаться где угодно.

Цифровая обработка изображений
5.4 Оценивание АЧХ по Z-образу передаточной функции
Предположим

H ? z? ?

z ? 0 .8
z ? 0.8

Чтобы получить Фурье-образ, надо вместо переменной
z подставить z ?exp( j?)
Тогда получим

H ? ?? ?

exp? j? ? ? 0.8
exp? j? ? ? 0.8

Интерпретация ПФ передаточной функции –
комплексный вектор числителя (т.н. вектор-нуль)
делится на комплексный вектор знаменателя (т.н. векторполюс).Таким образом, АЧХ
z

H ? ?? ?

p

Цифровая обработка изображений
а ФЧХ выражается через

arg? H ? ? ? ? ?arg? z ? ? arg? p ?
В общем виде:

N

H ? z? ?

K ? z ? z1 ?? z ? z 2 ?...? z ? z N ?
?
? z ? p1 ?? z ? p2 ?....? z ? pM ?

K ?? z ? zn ?
n ?1
M

?? z ?

pm ?

m ?1
АЧХ получается делением произведения модулей
всех векторов-нулей на произведение всех векторовполюсов, т.е.

N

H ? ?? ?

K exp? j? ? ? z1 exp ? j? ? ? z 2 ... exp? j? ? ? z N
exp? j? ? ? p1 exp? j? ? ? p2 ... exp? j? ? ? pM

K ? zn
?

n ?1
M

?p
m ?1

m

Цифровая обработка изображений
а ФЧХ можно получить вычитанием из суммы фаз всех
векторов-нулей суммы фаз всех векторов-полюсов
N

arg? H ? ? ? ? ?? arg? z n ? ?
n ?1

M

? arg? p ?
m

m ?1

Цифровая обработка изображений

Цифровая обработка изображений
5.5 Проектирование цифрового с заданными характеристиками
Пример
Спроектировать фильтр, обеспечивающий:
наилучшее пропускание сигнала на частоте ? ?? / 2
полоса пропускания

? / 40

на уровне -3 dB (на уровне 0.707)
устранить постоянную составляющую

? ?0

не допускать пропускание максимальной частоты

? ??

??
?90
? o/ 2
??2?

Цифровая обработка изображений
Решение:
Из условия задачи: полюса располагаются на мнимой оси

? ??90 o
а нули – на действительной, в точках

z ??1

Определение расстояния
полюса от центра –
2
из условия, что при изменении положения “рабочей
точки” на ?? / 40
относительно частоты максимального пропускания,
соответствующей ? ??? / 2
вектор-полюс увеличивается по модулю в 1.41 раз

Цифровая обработка изображений
Таким образом, 1 ? r ?? / 80

Откуда

r ?0.961

Получаем Z-образ передаточной функции
H ? z? ?

?

Y ? z?
K ? z ? 1?? z ? 1?
?
?
X ? z ? ? z ? 0.961 exp ? j? / 2 ? ?? z ? 0.961 exp ? ? j? / 2 ? ?

?

K z2 ? 1
? 2
z ? 0.9235

?

?

Для определения коэффициента K воспользуемся
условием, что на частоте пропускания АЧХ должна
равняться 1.
Тогда

K 2 2
?1
?1 ? 0.961??1 ? 0.961?

откуда К = 0.03824

Цифровая обработка изображений
Рекурсивное разностное уравнение

y? n ? ?? 0.9235 y? n ? 2? ? 0.03824? x? n ? ? x? n ? 2? ?

Пример:
Спроектировать заграждающий фильтр на частоту
50 Гц с полосой ? / 50
при условии, что сигнал дискретизирован с частотой 1000 Гц






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.