Цифровая обработка изображений
8 Двумерная дискретизация
8.1 Оцифровка и визуализация изображений
Основное требование при компьютерной
обработке изображений – трансформация
(физически непрерывной) функции в дискретную форму.
Оцифровка включает в себя последовательное
выполнение двух операций:
- дискретизации
- квантования

f ? x, y ? ?

f S ? x, y ? ?

u ? m, n ?

Цифровая обработка изображений

Процедура визуализации изображения
предусматривает операцию дискретно-аналогового
преобразования

u ? m, n ? ?

~
f ? x, y ?

Цифровая обработка изображений
8.2 Теория дискретизации
Математически процесс дискретизации
изображения продемонстрируем для
двумерной функции с ограниченным спектром
Двумерная функция
f ? x, y ?

имеет ограниченный
спектр, если для Фурье-образа
F ? ?1 , ? 2 ?

выполняется условие

Цифровая обработка изображений
F ??1 , ? 2 ? ?0,

?1 ? ? x 0 ; ? 2 ? ? y 0

где переменные

? x 0 ;? y 0
максимальные пространственные частоты по x и y
В случае циркулярной симметрии

? 0 ?? x 0 ?? y 0

Цифровая обработка изображений
Идеальная дискретизирующая функция представляет
собой (бесконечный) двумерный массив Дельта-функций,
расположенных в узлах прямоугольной регулярной сетки
comb? x, y; ?x, ?y ? ?

?

?? ? ? x ? m?x, y ? n?y ?

m ,n ???

Цифровая обработка изображений

Операция дискретизации есть произведение исходной
функции на дискретизирующую

f S ? x, y ? ? f ? x, y ? comb? x, y; ?x, ?y ? ?
?

?

?? f ? m?x, n?y ?? ? x ? m?x, y ? n?y ?

m ,n ???

Цифровая обработка изображений
Фурье-образ дискретизирующей (comb) функции есть
функция,
имеющая тот же вид, что и исходная

COMB??1 , ? 2 ? ?F ? comb? x, y; ?x, ?y ?? ?
?

?? xs? ys

?? ? ??

1

? k? xs , ? 2 ? l? ys ? ?

k ,l ???

?? xs? ys comb?? ?1 , ? 2 ; 1 , 1 ??
?x ?y ?
?

Цифровая обработка изображений

Пространственные частоты дискретизации по
координатным направлениям равны величинам,
обратным соответствующим шагам дискретизации

? xs ? 1 ?x , ? ys ? 1 ?y

Цифровая обработка изображений
Воспользуемся правилом, согласно которому
произведение функций в исходном пространстве
эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов

FS ??1 , ? 2 ? ?F ??1 , ? 2 ? ? COMB??1 , ? 2 ? ?
?

?? xs? ys

?? F ?? ,? ? ? ? ??
1

2

1

? k? xs , ? 2 ? l? ys ? ?

k ,l ???
?

?? xs? ys

?? F ??

k ,l ???

1

? k? xs , ? 2 ? l? ys ?

Цифровая обработка изображений

Фурье-образ дискретизированной функции
представляет собой периодическую (бесконечную)
комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной)
функции, продублированного в узлах сетки

??

xs

, ? ys ?

Цифровая обработка изображений
8.3 Восстановление непрерывной функции
Если спектр исходного (непрерывного) изображения
может быть каким-либо образом восстановлен из
спектра дискретного, то мы можем восстановить
и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия

? xs ? 2? x 0 , ? ys ? 2? y 0
что эквивалентно условию выбора шагов дискретизации,
удовлетворяющих

1
1
?x ?
, ?y ?
2? x 0
2? y 0

Цифровая обработка изображений
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной
функции можно, применив идеальный
низкочастотный фильтр со следующими
характеристиками

1
?
,
?
H ??1 , ? 2 ? ?? ?? xs ?? ys ?
??
0,

? ?1 , ? 2 ? ? ?
иначе

При этом результат действия фильтра приводит к
исходному Фурье-образу

~
F ??1 , ? 2 ? ?H ??1 , ? 2 ? ?FS ??1 , ? 2 ? ?F ??1 , ? 2 ?

Цифровая обработка изображений
8.4 Частота Найквиста
Нижние границы пространственных частот,
при которых возможно сохранение (восстановление)
спектра исходной функции

2? x 0 , 2? y 0
называются (пространственными) частотами
Найквиста (Котельникова)

Цифровая обработка изображений
Теория дискретизации констатирует, что функция
с ограниченным спектром, дискретизированная
с частотой выше частоты Найквиста, может быть
восстановлена без ошибки с помощью простейшего
(идеального) низкочастотного фильтра
Если же условие не выполняется, т.е.

? xs ? 2? x 0 , ? ys ? 2? y 0
то (соседние) Фурье-образы будут накладываться друг
на друга, тем самым искажая исходный спектр

Цифровая обработка изображений
Если область “поддержки” низкочастотного фильтра
представляет собой прямоугольник
1 ? ? 1
1 ?
? 1
? ? ? ? ? xs , ? xs ? ?? ? ? ys , ? xs ?
2 ? ? 2
2 ?
? 2

то его импульсный отклик есть произведение SINC-функций

h? x, y ? ?sin c? x? xs ? sin c? y? ys ?

Цифровая обработка изображений
Обратное Фурье-преобразование реконструирует
изображение по формуле

~
f ? x, y ? ?

?

?? f ? m?x, n?y ? sin c? x?

xs

? m ? sin c? y? ys ? n ?

m , n ???

результат будет совпадать с исходной функцией,
если выполняется условие дискретизации
Найквиста-Котельникова

Цифровая обработка изображений
8.5 Теорема дискретизации
Двумерная (непрерывная) функция с ограниченным
спектром

f ? x, y ?
может быть однозначно (безошибочно) восстановлена
из дискретной

f ? m?x, n?y ?
при условии, что шаги дискретизации выбраны из условия
1
1
?? xs ? 2? x 0 ,
?? ys ? 2? y 0
?x
?y

Цифровая обработка изображений
Восстановление функции проводится по
интерполяционной формуле

f ? x, y ? ?
?

?

? ?

m ,n ???

? sin ? x? xs ? m ??
f ? m?x, n?y ???
? ? x? xs ? m ??

?? sin ? y? ys ? n ??
???
?
?? ? y? ys ? n ??

?
?
?
?

Цифровая обработка изображений
Задача
Изображение описывается функцией

f ? x, y ? ?2 ?cos 2? ? 3x ? 4 y ?
Дискретизация функции проводится
со значениями интервалов дискретизации

?x ?0.2, ?y ?0.2
Восстановить функцию после дискретизации

Цифровая обработка изображений
Решение
Фурье-образ заданной функции

F ??1 , ? 2 ? ?? ??1 ? 3, ? 2 ? 4? ? ? ??1 ? 3, ? 2 ? 4?
Откуда

? x 0 ?3, ? y 0 ?4
Частоты дискретизации
1
?? xs ?5,
?x

1
?? ys ?5
?y

меньше частоты Найквиста-Котельникова

2? x 0 , 2? y 0

Цифровая обработка изображений
Найдем спектр дискретизированного изображения:
FS ??1 , ? 2 ? ?? xs? ys

?

? ? F ??

1

? k? xs , ? 2 ? l? ys ? ?

k ,l ???
?

?25

? ? ? ? ??

1

? 3 ? 5k , ? 2 ? 4 ? 5l ? ? ? ??1 ? 3 ? 5k , ? 2 ? 4 ? 5l ? ?

k ,l ???

Применим низкочастотный фильтр
1
1
?
? , ? 2.5 ??1 ?2.5, ? 2.5 ?? 2 ?2.5
?
H ??1 , ? 2 ? ?? ?? xs ?? ys ? 25
??
0,
иначе

Цифровая обработка изображений
Получим Фурье-образ

~
F ??1 , ? 2 ? ? H ??1 , ? 2 ? ?FS ??1 , ? 2 ? ?
?? ??1 ? 2, ? 2 ? 1? ? ? ??1 ? 2, ? 2 ? 1?
который при восстановлении дает функцию

~
f ? x, y ? ?2 ?cos 2? ? 2 x ? y ?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.