Цифровая обработка изображений
4 Математические аспекты. Z-преобразование и
Матричная Алгебра
4.1 Определение Z-преобразования
Прямое Z-преобразование цифрового двумерного сигнала

X ? z1 , z 2 ? ??

?

?m ?n
?
?
x
m
,
n
z
?
1 z2

m , n ???

Обратное Z-преобразование - восстановление двумерного сигнала

1
x? m, n ? ?
2
? j 2? ?

m? 1 n? 1
?
?
X
z
,
z
z
?? 1 2 1 z 2 dz1dz 2

Цифровая обработка изображений
Свертка двух функций эквивалентна произведению их Z-образов

Y ? z1 , z 2 ? ?H ? z1 , z 2 ? X ? z1 , z 2 ?
Y ? z1 , z 2 ?
? H ? z1 , z 2 ? ?
X ? z1 , z 2 ?
Область сходимости – единичный круг

z1 ?1,

z 2 ?1

Если, в частном случае,

z1 ?exp? j?1 ?,

z 2 ?exp? j? 2 ?

то Z-преобразование становится преобразованием Фурье

Цифровая обработка изображений

В случае, если Z-образ сигнала можно разложить в ряд по
степеням комплексных переменных , то цифровой
двумерный сигнал представляет собой коэффициенты при
соответствующих слагаемых ряда этого разложения

Цифровая обработка изображений
4.2 Свойства двумерных Z-преобразований

Отражение

x? m, n ?, y ? m, n ?, h? m, n ?

X ? z1 , z2 ?, Y ? z1 , z2 ?, H ? z1 , z2 ?

x? ? m,? n ?

X z1? 1 , z 2? 1

?1 x1 ? m, n ? ? ? 2 x2 ? m, n ?

Линейность
?
Комплексная x
сопряженность
Сепарабельностьx1

? m, n ?
? m ? x2 ? n ?

Смещение
Модуляция
Свертка
Произведение

x? m ?m0 , n ?n0 ?

a mb n x? m, n ?
h? m, n ? ? x? m, n ?
h? m, n ? x? m, n ?

?

?

?1 X 1 ? z1 , z2 ? ? ? 2 X 2 ? z1 , z2 ?

?

X ? z1? , z2?

?

X 1 ? z1 ? X 2 ? z 2 ?
z1?m0 z2?n0 X ? z1 , z2 ?
? z1 z 2 ?
X? , ?
?a b?
X ? z1 , z2 ? H ? z1 , z 2 ?
? 1 ?
??
??
? 2?j ?

2

? ?
?z z ?
dz
?
?
? 1 , 2 ?Y ?? z , z ?? 1 dz2
X
??
? ?? ? 1 2 ? ? ?
?
z1 z 2
C1 C2
? z1 z 2 ?

Цифровая обработка изображений
4.3 Стабильность и причинная обусловленность
?

H ? z ? ?? h? n ?z ? n
n ?0

?

? h? n ? ? ?

n ???

?

? ? h? m, n? ? ?
m , n ???

Цифровая обработка изображений
4.4 Оптическая и модуляционная передаточная функции
H ??1 , ? 2 ?
OTF ?
H ? 0,0 ?

H ??1 , ? 2 ?
MTF ?
H ? 0,0 ?
Задача
2
h? x, y ? ?2 sin 2 ? ? ? x ? x0 ? ? /? ? ? x ? x0 ? ? ?
sin 2 ? ? ? y ? y 0 ? ? /? ? ? y ? y 0 ? ?

2

H ??1 , ? 2 ? ?2tri ??1 , ? 2 ? exp? ? j 2? ? x0?1 ? y 0? 2 ? ?
OTF ?tri ??1 , ? 2 ? exp? ? j 2? ? x0?1 ? y 0? 2 ? ?
MTF ?tri ??1 , ? 2 ?

Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры

Матрица (изображение)

A ?? a? m, n ??

Транспонирование

AT ?? a? n, m ??

Комплексное сопряжение

A ? a ? m, n ?

Единичная
Нулевая
Сумма матриц (изображений)

?

?

?

?

I ?? ? ? m ? n ??
O ?? 0?
A ? B ?? a? m, n ? ? b? m, n ??

Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры (продолжение)

Умножение на скаляр
Перемножение матриц

?A ?? ?a? m, n ??
K

c? m, n ? ?? a? m, k ?b? k , n ?
k ?1

Коммутативность
Скалярное произведение
(если оно равно нулю –
ортогональность)
Векторное произведение

AB ?BA
x, y ? x ?T y ?? x ? ? n ? y ? n ?
n

xy T ?? x? m ? y ? n ??

Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры (продолжение)

Симметрия
Матрица Эрмита

A ? AT
A ? A?T
A

Детерминант

A? 1 A ? AA? 1 ?I

Обратная матрица

A? 1

Собственные числа

A ? ?k I ?0

Собственные функции

A?k ??k?k , ?k ?0

Цифровая обработка изображений
4.6 Правила транспонирования и сопряжения

? ?

T ?

?T

A ?A

? AB?

T

?BT AT

? A ? ?? A ?
?1 T

? AB?

?

T ?1

?

?A B

?

Цифровая обработка изображений
4.7 Теплициевы матрицы

? t 0 t ? 1 t ? 2 ? t ? N ?1 ?
? t
?
t
t
?
t
0
?1
? N ?2 ?
T ?? 1
? ?
? ? ?
? ?
?
?
t
?
t
t
t
2
1
0 ?
? N?1
c1
c2 ?
cN ? 1 ?
? c0
?c
?
c
c
?
c
N?1
0
1
N? 2?
?
C?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? cN ? 2 cN ? 1
c0 ?
? c1

Цифровая обработка изображений
Задача: линейная свертка
4

y ? n ? ?h? n ? ? x? n ? ?? h? n ? k ? x? k ?
k ?0

h? n ? ?n, ? 1 ?n ?1,
0
0 0?
? y ? ? 1? ? ? ? 1 0
? y? 0? ? ? 0 ? 1 0
? x? 0 ?
0
0
?
?
? ?
??
? y ?1? ? ? 1
0 ? 1 0 0 ? ?? x?1? ??
?
? ?
?
0 ? 1 0 ? ? x? 2 ? ?
? y ? 2 ? ? ?? 0 1
?
?
? y ? 3? ? ? 0
?
0 1
0 ? 1 ? x? 3? ?
?
? ?
?
0
0 1
0 ? ?? x? 4? ??
? y? 4? ? ? 0
? y ? 5? ? ? 0
0
0
0 1 ??
?
? ?

Цифровая обработка изображений
Задача: циркулярная свертка
N?1

y ? n ? ?? h? n ? k ? x? k ?, 0 ?n ? N ? 1
k ?0

h? ? n ? ?h? N ? n ?
? y? 0? ? ? 3
? y? 0? ? ?0
?
? ??
? y ? 0? ? ?1
?
? ?
? y? 0? ? ? 2

2
3
0
1

1
2
3
0

0? ? x? 0? ?
?
?
?
1 ? ? x?1? ?
2? ? x? 2 ? ?
??
?
3? ? x? 3? ?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.