Численные модели в интроскопии

8. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Численные модели в интроскопии
Среди объектов контроля много конструкций,
обладающих аксиальной (вращательной) симметрией.
В первую очередь, трубы, проволока, канаты.
Для возбуждения поля используются, как правило,
соленоиды или катушки, тоже обладающие аксиальной
симметрией.
Использование двумерного описания основано
на предположении, что геометрическая структура
не меняется в направлении,
перпендикулярном плоскости исследования и
поле постоянно в этом направленнии.

Численные модели в интроскопии
8.1. Преобразования координат
Задачи с аксиальной симметрией называются
осесимметричными
и рассматриваются в плоскости осевого сечения

Численные модели в интроскопии
Та же плоскость сечения, но в прямоугольных координатах,
представляет собой геометрический образ задачи
с бесконечно длинной пластиной прямоугольного
сечения и с таким же значением тока

Численные модели в интроскопии
Области решения плоско-параллельной задачи
в прямоугольных координатах и осесимметричной
задачи в цилиндрических – совпадают!!
Для задач с осевой симметрией нет компоненты
поля в ? ом направлении
и производная по этому направлению равна нулю.
Существуют лишь компоненты поля в

r

и

z -ом направлении, то есть составляющие
Br и B z

могут быть ненулевыми, а
B ? всегда нуль

Численные модели в интроскопии
Плоскость сечения осесимметричной задачи
в прямоугольных и цилиндрических координатах

Численные модели в интроскопии
Напомним, что в прямоугольных координатах,
функционал записывается следующим образом
Fi ???
fds ???
fdxdy
Si

Si

интеграл берется лишь по поверхности элемента i,
так как в перпендикулярном направлении
? 0 z ? нет изменения поля

Численные модели в интроскопии
В осесимметричном случае область интегрирования
имеет криволинейную форму.
При этом для элемента около оси симметрии эта
криволинейность выше,
чем для элемента вдали от нее.
Для элемента, относительно удаленного от оси ? 0 z ?
задача очень близка задаче в прямоугольных координатах

Численные модели в интроскопии
В цилиндрических координатах локальный энергетический
функционал может быть записан как
Fi ???
fds ???
frd? drdz
Ti

Ti

Ti фигура, которая получается 360-ти градусным
вращением элемента вокруг ? 0 z ?
- осесимметричная фигура - тороид с треугольным сечением.
В плоско-параллельном случае эта фигура –
треугольная призма единичной высоты

Численные модели в интроскопии
При условии, что нет изменения
в ? ом направлении, выражение для Fi
становится равным
Fi ?2? ??
frdrdz
Si

Для упрощения операции интегрирования введем простую
аппроксимацию: допустим, что подынтегральная функция
? не изменяется существенно внутри треугольника,
а потому можно
воспользоваться приближенной формулой
Fi ?2?r0 ??
fdrdz
Si

Численные модели в интроскопии
r0 - расстояние от центра треугольника до оси
r0 ?

r1 ? r2 ? r3
3

Такая замена является вполне удовлетворительной,
особенно, если сеть содержит малые элементы вблизи оси
Уравнения имеют похожую форму
Fi ???
fds ???
fdxdy
Si

Si

Fi ?2?r0 ??
fdrdz
Si

Таким образом, для скалярного потенциала все элементы
матрицы должны умножаться на 2?r0

Численные модели в интроскопии
8.2. Задачи со скалярным потенциалом
Для задач, оперирующих скалярным потенциалом,
получим следующие универсальные формулы
элементных матриц:
а) электростатические поля
S ? n, k ? ?

?r0?
? qn qk ? rn rk ?
D

для электрического заряда
?r0?D
3

Численные модели в интроскопии
б) поля стационарных токов
S ? n, k ? ?

?r0?
? qn qk ? rn rk ?
D

в) магнитные поля
?r0 ?
? qn qk ? rn rk ?
S ? n, k ? ?
D

При использовании скалярного потенциала
напряженность поля определяется по формуле
H ?? grad?
H r ??

??
??
??
, H z ??
, H ? ??
?r
?z
r??

Численные модели в интроскопии

Таким образом, в наличии простейшего множителя
при формировании матричных уравнений и состоит
различие между постановками в прямоугольной и
цилиндрической системах координат для задач
со скалярным потенциалом

Численные модели в интроскопии
8.3. Стационарное магнитное поле: векторный потенциал

B ?rot A
составляющие вектора B в цилиндрической системе
координат имеют вид:
1 ?? rA? ? 1 ?Ar
Bz ?
?
r ?r
r ??

1 ?Az ?A?
Br ?
?
r ??
?z

В осесимметричном случае A перпендикулярен плоскости 0rz
A ? A? ,

Az ?0,

Ar ?0

Тогда выражения для индукции принимают вид
Br ??

?A?
?z

Bz ?

1 ?? rA? ? A? ?A?
? ?
r ?r
r
?r

Численные модели в интроскопии
Первый член энергетического функционала
?B
?
Fi ???
? ?HdB ? J ?A ? ds
Si ? 0
?

определяется следующим образом:
?B
?
?B
?
Fi1 ???
? ?HdB ? ds ?2?r0 ??
? ?HdB ? drdz
Si ? 0
Si ? 0
?
?

расчет

?Fi1

?Ak

дает выражение

B
? ?B
?Fi1
? ?
?2?r0 ?? ? ?HdB ?
drdz
?Ak
?
B
?
A
Si
?0
? k

?Fi1
D
?B ?r0 D? ?B 2
?2?r0 ?B
?
?Ak
2
?Ak
2 ?Ak

Численные модели в интроскопии
B 2 ?Br2 ? Bz2
?B 2
?B
?B
?2 Br r ? 2 Bz z
?Ak
?Ak
?Ak

Для второго слагаемого справедлива формула
2 Bz

?Bz ? A ?A ? ? ? A ?A ?
?? ? ?
? ? ?
?Ak ? r ?r ? ?Ak ? r ?r ?

Введем аппроксимацию
A ? A?
r
r0

? A ? A2 ? A3 ?
A?? 1

3

среднее значение потенциала трех узлов
A? 3 Al
??
r0 l ?1 3r0

Численные модели в интроскопии
1 3
A? r , z ? ? ? ? pl ? sl r ? ql z ? Al
D l ?1
3
? 1 sl ?
? A ?A ? 3 Al 1 3
B z ?? ? ? ??
? ? sl Al ?? Al ??
? ??
? r ?r ? l ?1 3r0 D l ?1
l ?1
? 3r0 D ?

?Bz
?
?
?Ak ?Ak

? 1 sl ? 1 s k
?
A
? ?? ? ?
?
l?
l ?1
? 3r0 D ? 3r0 D
3

?Bz ? 3 ? 1 sl ? ? ? 1 sk ?
Bz
?? ? Al ??
? ?? ? ??
? ??
?Ak ? l ?1 ? 3r0 D ? ? ? 3r0 D ?

?? D
? ?
?Bz
1 ? 3 ? D
?
?
?
Bz
? 2 ?? ?
? s l ??
? s k ?? Al ?
?Ak D ? l ?1 ? 3r0
?? 3r0
? ?

Численные модели в интроскопии
Определяя f l как f l ?D 3r0 ? sl , можем записать
?Bz
1 ? 3
?
Bz
? 2 ? ? f l f k Al ?
?Ak D ? l ?1
?
?B 2
?B
?B
?2 Br r ? 2 Bz z
?Ak
?Ak
?Ak

?Br ? ?A ? ?
Br
?? ?
?Ak ? ?z ?? ?Ak

которое с учетом

? ?A ?
? ? ?z ?
?
?

1 3
A? r , z ? ? ? ? pl ? sl r ? ql z ? Al принимает
D l ?1
?B
1
Br r ? 2
?Ak D

3

?q q
l

l ?1

k

Al

вид

Численные модели в интроскопии
Подставляя полученные выражения, в результате получим
?B
?B
?B 2
?2 Br r ? 2 Bz z ?
?Ak
?Ak
?Ak
2
? 2
D

3

?? f

l

f k ? ql q k ? Al

l ?1

?Fi1
D
?B ?r0 D? ?B 2
?2?r0 ?B
?
?Ak
2
?Ak
2 ?Ak
?Fi1
D
?B ?r0 D? ?B 2
?2?r0 ?B
?
?
?Ak
2
?Ak
2 ?Ak

?r ?
? 0
D

3

?? f
l ?1

l

f k ? ql qk ? Al

Численные модели в интроскопии
?B
?
Fi ???
H
d
B
?
J
?
A
??
? ds
Si ? 0
?

Второй член функционала
учитывает плотность тока J (умноженную на 2?r0 ), поэтому
?Fi ?Fi1
?
?
?
?Ak ?Ak ?Ak

?r ?
? 0
D

3

? ? J ?A? ds ?
??
Si

? ? f l f k ? ql qk ? Al ?
l ?1

?r0 JD
3

Окончательно, для коэффициента элементной
матрицы получаем выражение
?r0?
? qn qk ? f n f k ?
S ? n, k ? ?
D

Численные модели в интроскопии
8.4. Поле постоянного магнита
1
1 2
2
?
?
Fi ????
? B ? Br dv ????
?Bi dv ?
2
2
Vi
Vi
1 2
D 2
?2?r0 ???Bi ds ??r0? Bi
2
2
Si
2

?Fi
D ?Bi
??r0?
?Ak
2 ?Ak

Bi2 ?? Br ? Brr ? ? ? Bz ? Brz ?
2

2

Численные модели в интроскопии
2

?Bi
?B
?B
?2 Bir ir ? 2 Biz iz
?Ak
?Ak
?Ak

Br ??

?A?
?z

1 ?? rA? ? A? ?A?
Bz ?
? ?
r ?r
r
?r

?Bi
?? Br ? Brr ?
?? Bz ? Brz ?
?2? Br ? Brr ?
? 2? Bz ? Brz ?
?Ak
?Ak
?Ak
2

Численные модели в интроскопии
?Bz ? 3 ? 1 sl ? ? ? 1 sk ?
Bz
?? ? Al ??
? ?? ? ??
? ??
?Ak ? l ?1 ? 3r0 D ? ? ? 3r0 D ?

Используя выражение
остаточной магнитной индукции, получаем

с учетом

?Bz ? 3 ? 1 sl ? ? ? 1 sk ?
Bz
??? Al ??
? ?? ? ??
? ??
?Ak ? l ?1 ? 3r0 D ? ? ? 3r0 D ?
?? 1 sk ?
?? Bz ? Brz ? ? 3 ? 1 sl ?
? Bz ? Brz ?
?? ? Al ??
? ?? ? Brz ? ??
? ??
?Ak
? l ?1 ? 3r0 D ?
? ? 3r0 D ?

f l ? D ? sl
Введем обозначение
3r0
??
?? Bz ? Brz ? ? 3 ? 1 sl ?
? Bz ? Brz ?
?? ? Al ??
? ?? ? Brz ? ??
?Ak

1
? 2
D

3

?
l ?1

fk
f l f k Al ? Brz
D

? l ?1

? 3r0

D?

, тогда

1 sk ?
? ?? ?
? ? 3r0 D ?

Численные модели в интроскопии
Оставшийся член в выражении
2
?Bi
?? Br ? Brr ?
?2? B ? B ?
? 2? B
r

?Ak

? Br ?

Brr ?

rr

?Ak

z

? Brz ?

?? Br ? Brr ? ? ?A
? ?
?? ?
? Brr ?
?Ak
? ?z
? ?Ak

?? Bz ? Brz ?
?Ak

? ?A
?
? Brr ? ?
??
? ?z
?

? 1 3
?? q ?
?? ? ? ql Al ? Brr ?? ? k ?
? D l ?1
?? D ?

?? Br ? Brr ?
1
? Br ? Brr ?
? 2
?Ak
D

Brr q k
ql qk Al ?
?
D
l ?1
3

Численные модели в интроскопии
2

?Fi
?r0?
D ?Bi
??r0?
?
?Ak
2 ?Ak
D

3

?? f

l

f k ? ql qk ? Al ? ?r0? ? Brr q k ? Brz f k ?

l ?1

Как видно из полученной формулы,
коэффициент элементной матрицы
?r0?
? qn qk ? f n f k ?
S ? n, k ? ?
D

а источник поля - постоянный магнит - отображается
в правой части системы выражением

?r0? ? Brr qk ? Brz f k ?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.