Численные модели в интроскопии

3. ЗАДАЧИ СО СКАЛЯРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ

Численные модели в интроскопии
3.1 Общая модель Максвелла
Уравнения электромагнитной cвязи:
(закон электромагнитной индукции)
(закон полного тока)

?B
?
? rot E ??
,
?
?t
?? rot H ?J ? ,

Численные модели в интроскопии
Уравнения непрерывности поля
(1-й закон Кирхгофа)

? divB ?0
?
? divD ??
? divJ ?0
?

Численные модели в интроскопии
При этом суммарная плотность тока в общем случае
имеет 4-е составляющие
(сторонний ток, индуцированный ток, ток смещения,
движение проводника в магнитном поле)

?E
J ? ?J e ? ?E ? ?
? ? ? V ?B ?
?t

Численные модели в интроскопии
Уравнения связи (описывающие свойства материалов)
(закон Ома)

?
? ?? 0 H
?
?
? B ?B? H ? ?? ? 0 ? ? H ? H
? ? ?H
?
0
?
?
? D ?D(E) ??? 0 E
?
J ?J(E) ??E
?
?
?
?

Численные модели в интроскопии
3.2.ЭЛЕКТРОСТАТИКА: диэлектрические материалы

Численные модели в интроскопии
Электростатика характеризуется уравнением
rot E ??

?B
?0
?t

Введение скалярного потенциала

E ?? gradV
Это возможно, если справедливо

rot ? gradV ? ?0

Доказать это!

Численные модели в интроскопии
?V
?V
?V
gradV ? i ?
j?
k
?x
?y
?z

i
?
rot E ?
?x
Ex

j
?
?y
Ey

k
?
?
?z
Ez

? ?E z ?E y ? ? ?E x ?E z ? ? ?E y ?E x ?
??
??i ? ?
??k
?
?
?
? j ? ??
?z ? ? ?z
?x ? ? ?y
?y ?
? ?y

Численные модели в интроскопии

i
?
rot ? gradV ? ?
?x
?V
?x

j
?
?y
?V
?y

k
?
?
?z
?V
?z

? ? 2V
?2V ? ? ?2V
?2V ? ? ?2V
?2V ?
??
??i ? ??
?? j ? ??
??k ?0
?
?
?
? ?y?z ?z?y ? ? ?z?x ?x?z ? ? ?x?y ?y?x ?

Численные модели в интроскопии
Основные уравнения

divD ??
D ??E

div? ?E ? ??
div? ? ? ?gradV ? ??
в трехмерном случае для прямоугольных координат
?V ?V ?V ?V ?V ?V
div? ? ?gradV ? ? ?
?
?
?
?
?? ?
?x ?x ?y ?y ?z ?z

Численные модели в интроскопии
в двумерном
?V ?V ?V ?V
?
?
?
?? ?
?x ?x ?y ?y
Если область содержит лишь один материал,
а диэлектрическая проницаемость постоянна, то

? 2V ? 2V ? 2V
?
? 2 ? 2 ??
2
?x
?y
?z
?
? 2V ? 2V
?
? 2 ??
2
?
?x
?y
Это уравнение Пуассона, которое описывает
распределение потенциала в области

Численные модели в интроскопии
В практических задачах часто плотность
заряда нулевая. В этом случае уравнение Пуассона
преобразуется в уравнение Лапласа
?V ?V ?V ?V
?
?
?
?0
?x ?x ?y ?y

Здесь источником поля являются граничные
условия, определяемые заданными
потенциалами на границах

Численные модели в интроскопии
3.3. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ: проводящие материалы
Разность потенциалов (Va - Vb) обусловливает токи в
комбинированной области с проводимостями отдельных участков

Численные модели в интроскопии
?B
?0
?t
Чтобы вывести уравнение, описывающее
это явление,
rot E ??

воспользуемся соотношением
E ?? gradV
а также уравнением непрерывности для тока

divJ ?0

Учитывая закон Ома для любой точки области

J ??E

или в более подробной форме

divJ ?div??E ? ?div?? ? ? gradV ? ? ?0

Численные модели в интроскопии
в трехмерном случае для прямоугольных координат
div?? ?gradV ? ?

?V ?V ?V ?V ?V ?V
?
?
?
?
?
?0
?x ?x ?y ?y ?z ?z

в двумерном
?V ?V ?V ?V
?
?
?
?0
?x ?x ?y ?y

Если область содержит лишь один материал,
а электрическая проводимость может считаться
постоянной, получим
?2V ?2V ?2V
? 2 ? 2 ?0
2
?x
?y
?z

Численные модели в интроскопии

3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: скалярный потенциал
Предполагаем, что магнитодвижущая сила намагничивающей
обмотки приложена к области между линиями А и В.
Это приближение удовлетворительно лишь в случае,
если проницаемость магнитной цепи высокая.
Тогда необходимо рассмотреть лишь область
воздушного зазора, показанного отдельно,
где магнитное поле обусловлено разностью
потенциалов на границах.

Численные модели в интроскопии

Токи в области А-В отсутствуют

J ? ?0

Численные модели в интроскопии
Так как

rot H ?J ? ?0
становится возможным определить скалярный
магнитный потенциал ? (размерность потенциала Ампер!),
который связан с напряженностью магнитного поля выражением

H ?? grad?
Это возможно, поскольку

rotH ?rot ? ? grad? ? ?0

Численные модели в интроскопии
Используя соотношения

B ??H

divB ?0
получаем

divB ?div? ?H ? ?div? ? ? ? grad? ? ? ?0
которое может быть переписано в виде
?? ?? ?? ?? ?? ??
div? ? ?grad? ? ?
?
?
?
?
?
?0
?x ?x
?y ?y
?z
?z

Численные модели в интроскопии
?? ?? ?? ??
?
?
?
?0
?x ?x
?y ?y

Проницаемость ? в общем случае не является
постоянной величиной, так как почти все
электротехнические устройства имеют
ферромагнитные элементы из нелинейных материалов.

Численные модели в интроскопии
3.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: векторный потенциал
Если необходимо рассчитать поле в области с источниками
тока (как например, в предыдущей задаче, включая обмотку
и магнитную цепь),
формулировка задачи относительно скалярного потенциала
уже становится несправедливой, потому что в этом случае
подразумевает равенство 0
вектора плотности тока J. Если же J?0 , то возможно
использование векторного потенциала А, связанного
с вектором магнитной индукции В выражением

B ?rot A

Численные модели в интроскопии

Для двумерных задач векторы J и А имеют только
одну компоненту, перпендикулярную плоскости 0xy

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.