Численные модели в интроскопии

6. РЕАЛИЗАЦИЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО
МЕТОДА

Численные модели в интроскопии
6.1. Конечные элементы первого порядка
Метод конечных элементов основан на разбиении
области решения на малые смежные подобласти,
называемые конечными элементами.
Эти элементы формируют сеть, покрывающую
область решения.
Для каждого из этих элементов строится уравнение
для функционала, из которых затем формируется
система уравнений.
Решение этой системы приводит к решению задачи.
Очевидно, что чем меньше эти элементы (или чем
плотнее сеть), тем ближе численное решение
к точному, непрерывному решению

Численные модели в интроскопии
Задача с двумя диэлектрическими материалами
и заданными потенциалами на границах

Численные модели в интроскопии
Чтобы применить метод конечных элементов к задаче,
необходимо сначала дискретизировать
область решения
на малые подобласти.
В простейшем случае конечные элементы
представляют
собой треугольники

Численные модели в интроскопии
Конечно-элементная сеть в области решения

Численные модели в интроскопии
Отметим, что любой конечный элемент не может
содержать
два различных материала, то есть граница
между двумя материалами должна совпадать
с границей между конечными элементами.
Кроме того, сеть, или ансамбль конечных элементов,
должна быть конформной

Численные модели в интроскопии
Определим термином элемент область внутри
конечного элемента,
а термином узел - вершину треугольника

Численные модели в интроскопии
Неправильная схема дискретизации на конечные элементы.
Некоторые элементы не являются конформными

Численные модели в интроскопии
Треугольные элементы первого порядка
Для этого типа элемента потенциал изменяется
линейно относительно координат внутри элемента

V ? x, y ? ??1 ? ? 2 x ? ? 3 y
Существуют конечные элементы и более высоких порядков,
например, второго, для которых потенциал имеет
квадратичную зависимость от координат внутри элемента

Численные модели в интроскопии
Сложные задачи, например, такие, как расчет
распределения поля в узких зазорах электрических машин,
трудно разрешимы с помощью элементов первого порядка,
и приходится использовать более совершенные элементы
Важно отметить, что решение задач электротехники
в общем случае усложняется еще и наличием нелинейности,
вихревыми токами, и применение простых элементов
упрощает разработку эффективных программ без заметного
усложнения алгоритмов

Численные модели в интроскопии
Треугольный конечный элемент.
Элемент определяется координатами трех вершин

Численные модели в интроскопии
V ? x, y ? ??1 ? ? 2 x ? ? 3 y
Уравнение
должно удовлетворяться для всех трех узлов:

? V1 ??1 ? ? 2 x1 ? ? 3 y1
?
? V2 ??1 ? ? 2 x2 ? ? 3 y2
? V ?? ? ? x ? ? y
1
2 3
3 3
? 3
Найти решение этой системы уравнений!!

Численные модели в интроскопии
6.2. Решение системы уравнений
1 x1
D ?1 x2
1 x3

y1
y2 ?
y3

?? ? x2 y3 ? x3 y2 ? ? ? x3 y1 ? x1 y3 ? ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? ?
1
?1 ? ? ? x2 y3 ? x3 y2 ?V1 ? ? x3 y1 ? x1 y3 ?V2 ? ? x1 y2 ? x2 y1 ?V3 ?
D
1
? 2 ? ? ? y2 ? y3 ?V1 ? ? y3 ? y1 ?V2 ? ? y1 ? y2 ?V3 ?
D
1
? 3 ? ? ? x3 ? x2 ?V1 ? ? x1 ? x3 ?V2 ? ? x2 ? x1 ?V3 ?
D

Численные модели в интроскопии
V ? x, y ? ??1 ? ? 2 x ? ? 3 y
1 3
V ? x, y ? ? ? ? pl ? ql x ? rl y ?Vl
D l ?1

p1 ? x2 y3 ? x3 y2

p2 ? x3 y1 ? x1 y3

q1 ? y2 ? y3

q2 ? y3 ? y1

r1 ? x3 ? x2

r2 ? x1 ? x3

Численные модели в интроскопии
6.3. Определение векторов поля
Частные производные потенциала
определяют значение поля, например,
для скалярного магнитного потенциала справедливо
? ?
??
?
H ?? gradV ?? ? i ? j ??V
?y ?
? ?x
?V
H x ??
?x
?V
H y ??
?y

Численные модели в интроскопии
?
??1 ? ? 2 x ? ? 3 y ? ?? ? 2
?x
?
??1 ? ? 2 x ? ? 3 y ? ?? ? 3
H y ??
?y
H x ??

1 3
H ?? gradV ?? ? ? iql ? jrl ?Vl
D l ?1
?V
1
?? ? q1V1 ? q2V2 ? q3V3 ?
?x
D
?V
1
H y ??
?? ? r1V1 ? r2V2 ? r3V3 ?
?y
D
H x ??






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.