Численные модели в интроскопии

10. ЗАДАЧА ВИХРЕТОКОВОГО КОНТРОЛЯ

Численные модели в интроскопии
Вихретоковый неразрушающий контроль основан на анализе
взаимодействия переменного электромагнитного поля,
создаваемого катушкой с током,
с электромагнитным полем вихревых токов,
наводимых в объекте контроля этим полем.
Распределение и плотность вихревых токов определяются
источником поля, геометрическими и электрофизическими
параметрами объекта контроля,
а также
взаимным расположением источника поля и объекта

Численные модели в интроскопии
10.1 Уравнения для задачи анализа поля
Подставляя выражение для векторного потенциала
B ???A

в уравнение Максвелла
получаем

? ?E ??

?B
?t

? ?A ?
??E ?? ??? ? .
? ?t ?

Может быть добавлена составляющая, равная
ротору градиента скалярной функции (потенциала),
как величина, тождественно равная нулю.
В этом случае уравнение принимает вид
? ?A
?
??E ?? ???
? ?V?
? ?t
?

Численные модели в интроскопии
Напряженность электрического поля определяется
через производную по времени векторного потенциала
и градиент скалярного потенциала
E ??

?A
? ?V
?t

Для задачи вихретокового контроля характерно
Гармоническое (синусоидальное) возбуждение
и линейность свойств материала
?A
?t

?
j?A
? ? ?V
??
??E? ??? ?? j?A
?

? ? ?V
?
E? ?? j?A

все переменные ?E? , A? , V? ? - комплексные значения

Численные модели в интроскопии
Второе уравнение Максвелла
?
?D
?
?
?
??H ?J S ? J e ?
?t

?D? ??E? ?

? ? ?V
?
E? ?? j?A

?
J? e ??E

?1
? ?? ?J? ? J? ? j?? - ?V
?
? - j ?A
???? ??A
s
e
?
??
?

?

?

Уравнение может быть преобразовано,
используя двойную операцию ротора.
При этом предполагаем, что ?
- кусочно-постоянная функция координат

Численные модели в интроскопии
Уравнение для гармонически изменяющегося во времени поля

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?2 A
? ??J? ? ?? ? ?V
? ? j??? - ?V
?
? - j?A
? - j?A
? ??A
s

?

? ? ?2 A
? ?? ?J? ? ???V
? ? j????V
?
? + j???A
? - ? 2 ??A
? ? ??A
s

При решении большинства задач вихретокового контроля
часто пренебрегают током смещения.
Кроме этого, используют соотношение Лоренца для
определения дивергенции
? ?? j???V
?
? ?A
Нередко пренебрегают и членом

?
???V

Численные модели в интроскопии
Подставляя все эти упрощающие соотношения, получаем
наиболее характерное уравнение вихретокового контроля

? ?? ?J? ? j???A
?
?2 A
s
? ? 2A
? ? 2A
?
? 2A
?
? 2 ? 2 ?? ?J? s ? j???A
2
?x
?y
?z

Это векторное уравнение с комплексными переменными –
координатными составляющими векторного потенциала
и вектора плотности тока источника

Численные модели в интроскопии
10.2 Формулировка задачи для метода конечных элементов
Выражение для полной энергии электромагнитного поля
в заданной области может быть записано следующим образом

? we ? wm ? wd ? wi ?dv
F ? ???
V

we - плотность запасенной электрической энергии,

wm - плотность магнитной энергии,
wd - плотность энергии рассеяния (за счет вихревых токов)
wi - плотность энергии внешних (сторонних) источников

Численные модели в интроскопии
Выражение для энергии электромагнитного поля
в задаче вихретокового контроля

?

?

F ? A ? ????
?H ?dB ? ? j??A ?dA ? ?J ?dA dv
V

B

A

A

плотность энергии имеет вид
f = ?? x Bx dBx ??? y By dBy ??? z Bz dBz ??j??Ax dAx ??j??Ay dAy ?
? ?j??Az dAz ? ?J x dAx ? ?J y dAy ? ?J z dAz

удельное магнитное сопротивление

? ?1 ?

Численные модели в интроскопии
Плотность энергии по объему можно записать в форме
1
j??
f=

2

? B ?H ? ?

2

? A ?A ? ?

J ?A

Раскрывая скалярные произведения векторов, получим

B ?H ?? x B x2 ? ? y B y2 ? ? z B z2
J ?A ?J x Ax ? J y A y ? J z Az

A ?A ? Ax2 ? A y2 ? Az2
составляющие вектора магнитной индукции имеют вид
?Az ?A y
Bx ?
?
?y
?z

?A x ?A z
By ?
?
?z
?x

?A y

?A x
Bz ?
?
?x
?y

Численные модели в интроскопии
?A j
A jk ?
?k

Обозначив

получим для энергетического функционала
? ?? x ? Azy ? Ayz ? 2 ?? y ? Axz ? Azx ? 2 ?? z ? Ayx ? Axy ? 2 ?? ?
?1?
? ? dv
F ? A ? ????
? ? j?? 2
?
?
2
2
2 ?
Ax ? Ay ? Az ? ? J x Ax ? J y Ay ? J z Az ? ? ?
V ?
?
2
??
? ?

?

?

Чтобы проверить эквивалентность этого функционала
решаемому дифференциальному уравнению в частных
производных, подынтегральное выражение
(плотность энергии f )
подставляется в соответствующее уравнение Эйлера

Численные модели в интроскопии
Уравнение Эйлера выводится при условии,
что в стандартной вариационной форме функционал
представим в виде
F ? A? ????
f ? x, y, z, Ax , Ay , Az , Axx , Ayy , Azz , Axy , Axz , Ayz , Ayx , Azx , Azy ?dxdydz
V

?Ax
A
?
(например, x y
?y ).

Чтобы выполнить условие стационарности (устойчивости)
этого функционала (достижение им минимального значения),
первая его вариация должна быть приравнена нулю, то есть
?f
?f
?f
?f
?f
? ?f
?
?Ax ?
?Ay ?
?Az ?
?Axx ?
?Axy ?
?Axz ? ?
?
?Ay
?Az
?Axx
?Axy
?Axz
? ?Ax
?
?F ? A? ????
dxdydz ?0
? ?f
?
?f
?f
?f
?f
?f
V ?
?
Ayx ?
?
Ayy ?
?
Ayz ?
?
Azx ?
?
Azy ?
?Azz ??
? ?A
?Ayy
?Ayz
?Azx
?Azy
?Azz
? yx
?

Численные модели в интроскопии
Используя очевидное соотношение
?f
?f ?
?
?A jk ?
?A j ?
?A jk
?A jk ?k

получаем
? ?f
?
?f
?f
?
?F ? A ? ???? ?Ax ?
?Ay ?
?Az ?dxdydz ?
? ?A
?
?Ay
?Az
x
V ?
?
? ?f ?
?
?f ?
?f ?
?
??Ax ? ?
??Ax ? ?
??Ax ? ?? dxdydz ?
? ???
? ?A ?x
?Axy ?y
?Axz ?z
xx
V ?
?
? ?f ?
?
?f ?
?f ?
?
?
?
?
? ???
?Ay ? ?
?Ay ? ?
?Ay ? ? dxdydz ?
? ?A ?x
?
?Ayy ?y
?Ayz ?z
yx
V ?
?
? ?f ?
?
?
f
?
?
f
?
?
??Az ? ?
??Az ? ?
??Az ? ??dxdydz ?0
? ???
? ?A ?x
?Azy ?y
?Azz ?z
zx
V ?
?

Численные модели в интроскопии
? ?f
?
?f
?f
?
?F ? A ? ????
?Ax ?
?Ay ?
?Az ?dxdydz
? ?A
?
?Ay
?Az
x
V ?
?
? ? ? ?f
? ? ? ?f
? ? ? ?f
? ??
? ?
?
?
?
?
?
? ???
?
A
?
?
A
?
?
A
x?
x?
x ? dxdydz ?
? ?A
? ?A
? ?A
?
?
x
?
y
?
z
? xx
?
? xz
? ??
V ?
? xy
?
?

? ? ? ?f ?
? ?? ?f ??
? ? ?f ? ??
? ?
?
?
A
?
?
A
?
???
? ?A ? x ?y ? ?A ? x ?z ?? ?A ???Ax ?dxdydz ?
?
?
x
? xx ?
? xz ?
V ?
? xy ?
?

? ? ? ?f ?
? ?? ?f ??
? ? ?f ? ??
?
?
?
???Ax dxdydz ?
? ??? ?
?Ax ?
?Ax ? ??
?
?
?
?
?x ? ?Axx ?
?y ? ?Axy ?
?z ? ?Axz ? ??
V ?
? ? ? ?f
? ? ? ?f
? ? ? ?f
??
? ?
? ???
?Ay ? ? ?
?Ay ? ? ?
?Ay ? ?dxdydz ?
? ?y ? ?A
? ?z ? ?A
??
? ?
V ? ?x ? ?Ayx
?
? yy
?
? yz
??
? ? ? ?f ?
?
?
?
?
?
? ?
??Ay ? ? ? ?f ??Ay ? ? ? ?f ??Ay ?dxdydz ?
? ???
? ?x ? ?Ayx ?
?
?y ?? ?Ayy ??
?z ?? ?Ayz ??
V ?
?
?
?
? ? ? ?f
? ? ? ?f
? ? ? ?f
? ??
?
?
?
? ??? ??
?Az ?? ?
?Az ? ??
?Az ?? dxdydz ?
? ?A
? ?z ?A
?
?
x
?
A
?
y
? zz
? ??
? zx
?
V ?
? zy
?
? ? ? ?f
? ?
? ???
? ?x ?? ?Azx
V ?

?
? ? ?f
???Az ? ?
?y ?? ?Azy
?

?
?
??Az ? ? ? ?f
?
?z ?? ?Azz
?

?
?
???Az ?dxdydz ?0
?
?
?

Численные модели в интроскопии

Второй, четвертый и шестой объемные интегралы
могут быть преобразованы с использованием
теоремы Грина по формуле
??Qdv ???
Qds
???
V

S

Численные модели в интроскопии
? ?f
?
?f
?f
?
?F ? A ? ???x?
?Ax ? y?
?Ax ? z?
?Ax ?ds ?
? ?A
?
?Axy
?Axz
xx
S ?
?
? ?f
?
?f
?f
?
?
?
?
? ??x
?Ay ? y
?Ay ? z
?Ay ?ds ?
? ?A
?
?Ayy
?Ayz
yx
S ?
?
? ?f
?
?f
?f
?
? ??x?
?Az ? y?
?Az ? z?
?Az ?ds ?
? ?A
?
?Azy
?Azz
zx
S ?
?
? ?f
? ? ?f ?
? ?? ?f ??
? ? ?f ? ??
?
??
???Ax ?
???Ax dxdydz ?
? ??? ?Ax ?
?Ax ? ??
?
?
?
?Ax
?x ? ?Axx ?
?y ? ?Axy ?
?z ? ?Axz ? ??
V ?
? ?f
?
? ?? ?f ??
? ?? ?f ??
? ?? ?f ??
?
? ??? ?Ay ?
?Ay ?
?Ay ?
?Ay ?dxdydz ?
? ?Ay
?
?x ?? ?Ayx ??
?y ?? ?Ayy ??
?z ?? ?Ayz ??
V ?
?
? ?f
? ? ?f ?
? ?? ?f
?
??
???Az ?
? ??? ?Az ?
?
?Az
?x ? ?Azx ?
?y ?? ?Azy
V ?

?
?
??Az ? ? ? ?f
? ?A
?
?
z
? zz
?

?
?
???Az ?dxdydz ?0
?
?
?

Численные модели в интроскопии
Поскольку вариации ?Ax ?Ay ?Az
независимы друг от друга во всем объеме,
последние три интеграла должны рассматриваться отдельно
и каждый из них должен быть приравнен нулю.
Таким образом, получаются три уравнения Эйлера
?f
? ? ?f ? ? ? ?f ? ? ? ?f ?
?
??
?
?
??
?
? ?0
?Ax ?x ? ?Axx ? ?y ?? ?Axy ?? ?z ? ?Axz ?

?f
? ? ?f ? ? ? ?f ? ? ? ?f ?
??
?? ?
??
?? ?
??
?? ?0
?
?Ay ?x ? ?Ayx ? ?y ? ?Ayy ? ?z ? ?Ayz ?
?f
? ? ?f ? ? ? ?f ? ? ? ?f ?
??
?? ?
?
?
??
?
? ?0
?Az ?x ? ?Azx ? ?y ? ?Azy ? ?z ? ?Azz ?

Численные модели в интроскопии
Подобным же образом должны быть приравнены
нулю и первые три интеграла, как независимые друг от друга.
Они определяют граничные условия на поверхности S
? ?f
?f
?f ?
?? x?
?? ?ds ?0
? y?
? z?
?Axy
?Axz ?
? ?Axx
? ?f
?f
?f ?
?? x?
?? ?ds ?0
? y?
? z?
?Ayy
?Ayz ?
? ?Ayx
? ?f
?f
?f ?
?
?
?? x?
?? ?ds ?0
?y
?z
?Azy
?Azz ?
? ?Azx

Эти последние три соотношения определяют естественные
граничные условия задачи - однородные граничные условия
Неймана (нулевые производные по нормали к границе)

Численные модели в интроскопии

Запишем отдельные составляющие уравнений Эйлера,
например,
?
?
?
?
?
?

?f
? ?f
? ?f
? ?f
?
?
?
?
?
??
?
? ?0
?
?
?Ax ?x ? ?Axx ? ?y ? ?Axy ? ?z ? ?Axz ?

используя выражение
? ?? x ? Azy ? Ayz ? 2 ?? y ? Axz ? Azx ? 2 ?? z ? Ayx ? Axy ? 2 ?? ?
?1?
?
?
F ? A ? ????
? ? j?? 2
? dv
?
2
2
2 ?
?
Ax ? Ay ? Az ? ? ? J x Ax ? J y Ay ? J z Az ? ? ?
V ?
?
2
??
? ?

Численные модели в интроскопии
Различные составляющие имеют вид

?f
?f
?f
?? J x ? j??Ax ,
?? J y ? j??Ay ,
?? J z ? j??Az
?Ax
?Ay
?Az
?f
?0 ,
?Axx

?f
?0 ,
?Ayy

?f
?? ? z Bz ,
?Axy

?f
?? y By ,
?Axz

?f
?? ? x Bx ,
?Ayz

?f
?? ? y By ,
?Azx

?f
?0
?Azz

?f
?? z Bz
?Ayx
?f
?? x Bx
?Azy

Численные модели в интроскопии
После подстановки этих выражений в
?f
? ? ?f ? ? ? ?f ? ? ? ?f ?
??
?? ?
?
?
??
?
? ?0
?Ax ?x ? ?Axx ? ?y ? ?Axy ? ?z ? ?Axz ?

оно принимает вид
J x ? j??Ax ?

?
?
?
?
B
?
? y By ? ?0
? z z?
?
?y
?z

или, переставляя члены и записывая

B

через A

?
?
? z ? Ayx ? Axy ? ? ? ? y ? Axz ? Azx ? ? ? J x ? j??Ax
?y
?z

?

?

Подобным образом получим
?
?
? z ? Azy ? Ayz ? ?
? z ? Ayx ? Axy ? ? J y ? j??Ay
?z
?x

?

?

?

?
?
?
A
?
A
?
? z ? Azy ? Ayz
?
?
?
y
xz
zx ?
?x
?y

?

?
?? ?J

z

? j??Az

Численные модели в интроскопии
Поскольку полученные выражения идентичны
исходному дифференциальному уравнению

? ?? ?J? ? j???A
?
?A
s
2

найденная точка стационарности энергетического
функционала (то есть соответствующее распределение
векторного потенциала в расчетной области)
будет полностью удовлетворять полевому уравнению
в рассматриваемом объеме

Численные модели в интроскопии
Как уже упомянуто ранее, вариации ?Ax ?Ay и ?Az
произвольны и поэтому три объемных интеграла
должны быть приравнены нулю независимо.
При этом условии должны выполняться равенства
?f
?0
?Axx

?f
?? z Bz ?0
?Ayx

?f
?0
?Ayx

?f
?0
?Azx

?f
?? ? y By ?0
?Azx

Таким образом, чтобы удовлетворить этим уравнениям,
B y и Bz должны равняться нулю вдоль границы S.
Естественные (типа Неймана) граничные условия:
Btan gential ?0

Численные модели в интроскопии
10.3 Вывод выражений для конечно-элементной матрицы
Чтобы вариационные выражения были
эквивалентны исходному уравнению поля,
необходимо выполнение условия стационарности для
соответствующего функционала.
Это достигается дифференцированием выражения для
функционала по отношению к неизвестным и приравниванием
этих производных нулю для всех неизвестных в области решения,
то есть
?F ? A ?
?0 , i ?1,2 ,3... N ; k ? x , y , z
?Aki

Численные модели в интроскопии

Вместо того, чтобы реализовывать эту процедуру сразу
по всей области, удобно сделать это последовательно
для каждого элемента, а затем просуммировать вклады
каждого отдельного элемента для получения 3 ?N
линейных алгебраических уравнений с 3 ?N
неизвестными компонентами векторного потенциала
во всей области решения

Численные модели в интроскопии
Производные функционала принимают вид
? ?Az
?
? ?Az ?Ay
? ?Ay ?Ax
? ?Ax
?
?
?
?
?
?
x
y
? ?y x ?A ?y
?
?
z
?
A
?
z
?
z
?
A
?
z
ki
ki
ki
?
?
? ?Az
?
? ?Az ?Ax
? ?Ax ?Ay
? ?Ay
?y
?
?z
?
?z
?
??
?
?
x
?
A
?
x
?
y
?
A
?
y
?
y
?
A
?
x
ki
ki
ki
?
?
?
?F ? A ?
? ? ?Az ?Ay ?
? ? ?Ax ?Az ?
? ? ?Ay ?Ax ? ?
?? ? x
??
?? ? ? y
??
?? ??dxdydz ?0
????
?
? ? ?z
?Aki
?Aki ? ?y ?z ?
?Aki ? ?z ?x ?
?Aki ? ?x ?y ? ?
V ?
?
?
?
A
?
A
?
A
y
x
? ? j??A
?
? j??Ay
? j??Az z
x
?
?
?Aki
?Aki
?Aki
?
?
?
A
?Az
y
? ? J ?Ax ? J
?
?
J
x
y
z
?
?
?Aki
?Aki
?Aki
?
?

Численные модели в интроскопии
Рассчитав производные по формулам, приведенным выше,
и подставив вместо векторного потенциала соответствующее
аппроксимирующее выражение через функцию формы

A? x, y, z ? ?? N i ? x, y, z ? A i
в результате для каждого узла элемента получаем
следующие подматрицы
? ?N i ?N j ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
S 3i ? 2,3 j ? 2 ????
?z
?
?y
?y
?y
?z
?z ?
Vi ?
? ?N i ?N j ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
S 3i ? 1,3 j ? 1 ????
?x
?
?z
?z
?z
?x
?x ?
V ?
i

S 3i , 3 j

? ?N i ?N j ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
????
?x
?
?y
?y
?y
?x
?x ?
Vi ?

Численные модели в интроскопии
? ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
S 3i ? 1,3 j ? 2 ?? ???
?z
?x
?y ?
Vi ?
? ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
S 3i ,3 j ? 1 ?? ???
?x
?y
?z ?
Vi ?
? ?N i ?N j ?
??
??dxdydz
S 3i ,3 j ? 2 ?? ???
?y
?x
?z ?
Vi ?
R3i ? 2,3 j ? 2 ?R3i ? 1,3 j ? 1 ?R3i ,3 j ????
N i N j dxdydz
Vi

Q3i ? 1 ????
J y N i dxdydz

Q3i ? 2 ????
J x N i dxdydz
Vi

Q3i ????
J z N i dxdydz

Vi

Vi

где индексы i, j изменяются от 1 до M , а все коэффициенты
симметричны относительно диагонали

Численные модели в интроскопии
Каждый коэффициент в этих выражениях получается
либо численным интегрированием с использованием
квадратур Гаусса (например, для гексаэдрального элемента),
или аналитически (для тетраэдрального элемента),
а затем коэффициенты объединяются в глобальную
элементную матрицу, имеющую вид

? ? S ? ? j?? ? R? ? ? A? ?? Q?
?S?

действительная часть элементной матрицы

? R?

мнимая часть

? Q?

вектор источников

Численные модели в интроскопии
Заметим, что в задаче магнитного контроля в статическом
или стационарном поле будет использована лишь
действительная часть глобальной матрицы, а вектора
? A? и ? Q? действительны.
В этом случае матричное уравнение примет вид

? S ? ? A? ?? Q?
В этой постановке магнитная восприимчивость ? ?1 / ?
может изменяться в пространстве, в то время как
электропроводность предполагается постоянной в каждом
элементе. Электропроводность может также пространственно
изменяться, если ввести ее компоненты в мнимый коэффициент
вместо умножения мнимой части матрицы

Численные модели в интроскопии
Ряд обзорных замечаний:
- Выражение для энергетического функционала должно
быть сначала выведено, а затем проверено на
корректность,
то есть на соответствие уравнению Эйлера
- Этот функционал либо непосредственно отражает
энергетическое состояние системы, либо связан
с этой энергией, то есть является энергозависимым
- Граничные условия Неймана являются естественными
и не требуют специального определения
- Точка стационарности функционала определяется
обращением первых производных функционала
по каждой переменной в нуль
- Получаемая система уравнений симметрична


Случайные презентации

Файл
292781.ppt
227531.ppt
149552.pptx
292776.ppt
Лекция 01р.ppt




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.