Численные модели в интроскопии

11. ЗАДАЧА ВИХРЕТОКОВОГО КОНТРОЛЯ
(МЕТОД ГАЛЕРКИНА)

Численные модели в интроскопии
Можно ли всегда найти выражение для энергетического
функционала для конкретной задачи электромагнитного
контроля или нет?
Если нет, то что должно быть предпринято в тех
случаях, когда такой функционал не может быть найден.
Ответ:
Действительно, для многих задач электромагнитного контроля
можно вывести выражения для эквивалентных
энергозависимых функционалов и, следовательно, эти задачи
могут быть решены с использованием вариационного подхода.
Но! некоторые задачи могут не иметь функционалов

Численные модели в интроскопии
В этом случае задача может быть решена с помощью
метода Галеркина.
Продемонстрируем использование метода Галеркина для задачи
вихретокового контроля,
но с учетом движения преобразователя относительно объекта
контроля.
В этом случае для задачи нельзя построить энергетический
функционал

Численные модели в интроскопии
Формулировка, основанная на методе Галеркина
(методе взвешенных невязок),
требует простой подстановки конечно-элементной
аппроксимации решения в соответствующее уравнение поля
и получения невязки.
Система весовых функций определяется
через производные аппроксимирующей функции по
неизвестным переменным, а результирующий интеграл от
взвешенной невязки приравнивается нулю

Численные модели в интроскопии
Ключевые моменты реализации метода:
1.Выбирается формула для аппроксимации искомой функции
A? x, y, z ? ?? f ? x, y, z ? A i
2.Определяется невязка исходного уравнения подстановкой
этой аппроксимирующей функции в исходное уравнение поля
3.Затем определяется система весовых функций по формулам
?f ? x , y , z ?
W ? x , y , z? ?
?K
где K обозначает переменные в области решения
4.И, наконец, формируется следующее интегральное уравнение

?W ? x , y , z? R? x , y , z? dv ?0
V

Численные модели в интроскопии
11.1 Уравнение для задачи вихретокового контроля
с учетом движения датчика
Используем то же уравнение вихретокового контроля с
гармоническим возбуждением, только предположим,
что датчик (источник тока) перемещается по отношению
к контролируемому объекту.
Это типичная ситуация при классическом вихретоковом
контроле теплообменных труб парогенераторов АЭС,
при котором преобразователи проходного типа
(абсолютные или дифференциальные) автоматически
перемещаются внутри трубы с относительно большой
скоростью (до 2-4 м/сек)

Численные модели в интроскопии
Суммарная напряженность электрического поля может
быть записана следующим образом

E ?u ???A ? j?A ? ?V
Первый член представляет собой электрическое поле,
обусловленное движением,
второй - поле вихревых токов,
третий член - поле, обусловленное градиентом
электрического скалярного потенциала.
По-прежнему полагаем источники поля гармоническими,
а все переменные – комплексными

Численные модели в интроскопии
Второе уравнение Максвелла может быть записано как
1
?? ??A ? J S ? ?u ???A ? j??A ? ??V
?

Полагая справедливым условие Кулона

? ?A ?0
1
1
?? ??A ? ? ??A ?J S ? ?u ???A ? j??A ? ??V
?
?

после разложения первого слагаемого (двойного ротора)
член с дивергенцией пропадает, и левая часть становится
лапласианом векторного потенциала

Численные модели в интроскопии
Уравнение

1
1
?? ??A ? ? ??A ?J S ? ?u ???A ? j??A ? ??V
?
?

полностью описывает исследуемое явление, но поскольку
в нем неизвестными являются как магнитный векторный
потенциал, так и электрический скалярный потенциал,
мы должны воспользоваться еще одним уравнением Максвелла,
чтобы можно было решать задачу относительно двух этих
переменных.
Это второе уравнение

??J ?0

??? ?u ???A ? j??A ? ??V ? ?0

Численные модели в интроскопии
11.2 Аппроксимирующие и весовые функции
Формулы аппроксимации для конечного элемента имеет вид
M

A ?? N i A i
i ?1

M

V ?? N iVi
i ?1

Воспользуемся следующими обозначениями
W ?N

W ?N

?N
W ? N ? ?? 0
?? 0

0
N
0

0?
0 ??
N ??

Численные модели в интроскопии
Проинтегрируем по объему элемента
1
1
?
?
?
?
W
?
?
A
?
?
?
W
?
?
A
?
W
?
?
?
u
?
?
?
A
?
?
?
?
?
?
W ?J S dv
? dv ??
?V ?
V
? ? j??W ?A ? ?W ??V
?
?
?

?? ?W ???u ???A ? ?
V

j???W ?A ? ??W ??V ? dv ?0

в матричной форме

? a11
?a
? 21

a12 ? ? A ? ? Q?
? ? ?? ?
?
a22 ? ? V ? ? 0 ?

Численные модели в интроскопии
Элементы матрицы находятся заменой
A и V
соответствующими аппроксимирующими выражениями
?
?
1
T
T 1
T
T
?
?
?
?
?
?
a11 ??? ? ?W ? ? ?N ? ? ?W
? ?N ? W ??u ?? ?N ? j??W ?N ? dv
V
?
?
?
?

?

?

a12 ?? ?W T ??N dv
V

?

?

a21 ?? ??W ? ???u ?? ?N ? ? j?? ??W ? ?N dv ?0
V

T

T

a22 ??? ??W ? ??Ndv
T

V

Численные модели в интроскопии
Для составляющей со скоростью можем записать
? ? ?Ay ?Ax ?
? ?Ax ?Az ? ?
?
?
?
u ???A ?x ?u y ?
?
? uz ?
?
?? ?
?
?y ?
?x ? ?
? ?z
? ? ?x
? ? ?Az ?Ay ?
? ?Ay ?Ax ? ?
?? ? u x ??
?? ? ?
? y? ?u z ??
?
?
?z ?
?y ? ?
? ?x
? ? ?y
? ? ?Ax ?Az ?
? ?Az ?Ay ? ?
?? ?
? z? ?u x ?
?
?
? ? u y ??
?x ?
?z ? ?
? ?y
? ? ?z

???W ?

T

1
T
? ??N ? ?? ?W ?
?

? b11 b12 b13 ?
1
? ?N ? W T ???u ???N ? ??b21 b22 b23 ?
?
?
?
??b31 b32 b33 ??

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты сформированной матрицы подобны
коэффициентам матрицы, полученной ранее,
за исключением очевидного различия, связанного с
наличием коэффициента, содержащего скорость, а также
того, что получаемая матрица несимметрична.
Если приравняем скорость нулю, то получим точно такой
же результат, что и ранее
Полученная матрица подобна другим конечно-элементным
матрицам, включая типичную полосовую форму,
связанную с особенностью формирования матрицы
в методе конечных элементов

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты системы вычисляются численным или
аналитическим интегрированием
(подобно тому, как это было ранее)
для каждого элемента и
вводятся в глобальную систему уравнений
Система может быть решена стандартными
методами, хотя и с большими затратами времени и
ресурсов компьютера.
Некоторые методы решения, такие как метод
сопряженных градиентов,
не могут быть использованы напрямую, но, как правило,
эта система может быть решена относительно легко

Численные модели в интроскопии
11.3. Пример решения задачи вихретокового контроля
Большое число применений предполагает использование
соосных между собой цилиндрических объектов и катушек
с током, геометрия которых описывается в цилиндрических
координатах.
Пример - вихретоковый контроль теплообменных
труб парогенераторов АЭС.
Основное преимущество
осесимметричных задач в том, что являясь в принципе
трехмерными, они могут быть решены в двумерной постановке.
Следовательно, решение получается более экономичное и точное

Численные модели в интроскопии
Уравнение гармонического переменного тока для системы
с осевой симметрией имеет вид
? 2 A?
?r 2

2
1 ?A? ? A? A?
?
?
? 2 ?? ?J S ? j???A?
2
r ?r
?z
r

? 1 ?Az ?A? ?
? ?Ar ?Az ? ? 1 ?? rA? ? 1 ?Ar ?
?? ? ?? ?
??
??A ?r? ??
?
?
?
? ? z? ??
?z ?
?r ? ? r ?r
r ?? ?
? ?z
? r ??

поскольку Ar ? Az ?0
? ?A? ? ? 1 ?? rA? ? ?
?
?? ? z? ??
??
??A ?r?? ?
? ?z ? ? r ?r ?

Численные модели в интроскопии
Вариационный подход с энергозависимым функционалом,
рассчитываемым в цилиндрической системе координат
2
2 ?
? 1 ? ? ?A ? 2
?
?
A
A
??
A
?
?
?
? ?
?? ?? z ?? ? ? ? ?? ? ? J ? A? ? j
F ? A? ??? ?? r ??
rdrdzd ?
? 2 ? ? ?z ?
?
r ? ?
2
? ?r
V
?
? ?
?

со всеми изменениями энергозависимый
функционал примет вид
? 1 ? ? ?A
F ? A? ??? ?? x ?? z
? 2 ? ? ?y
V
? ?

2

? ?Az A? ? ?
?
??Az2 ??
?? ?? y ??
? ?? ? ? J z Az ? j
rc drdzd?
?
rc ? ?
2
?
? ?x
?
?
2

Численные модели в интроскопии
Беря производную функционала по отношению к каждой
переменной и приравнивая ее нулю, получаем следующую
элементную матричную систему

? ? S ? e ? j?? ? R? e ?? A? e ?? Q? e
В качестве примера решения осесимметричной задачи
рассмотрим расчет импеданса измерительной катушки
при вихретоковом контроле трубы

Численные модели в интроскопии
Система вихретокового контроля труб с датчиком,
работающим в абсолютном или дифференциальном режиме
(осесимметричный дефект – проточка на внешней поверхности)

Численные модели в интроскопии
Сеть дискретизации для задачи

Численные модели в интроскопии
В результате решения задачи для каждого положения
датчика становятся известными значения векторного
магнитного потенциала во всех узлах сети.
По этим данным может быть рассчитан ряд важных параметров,
помимо магнитной индукции в элементах.
Эти параметры включают импеданс (или вносимое
напряжение) катушки, локальную и глобальную энергию
Импеданс катушки, сечение которой занимает K конечных
элементов, рассчитывается по формуле
j? 2?J S K
Z?
? i Aci rci
?
2
IS
i ?1

Численные модели в интроскопии
Годограф импеданса датчика в абсолютном
режиме работы
100

Im (U ), мВ

50

0

-50

-100

-100

-50

0
Re(U), мВ

50

100

Численные модели в интроскопии
Силовые линии магнитного поля вихретокового датчика
в абсолютном режиме: действительная и мнимая составляющие

Численные модели в интроскопии
После расчета распределения магнитного векторного
потенциала в узлах конечно-элементной сети, импеданс
рассчитывается каждой из катушек по формуле
j? 2?J S K
Z?
? i Aci rci
?
2
IS
i ?1
С учетом того, что направление плотности тока во второй
катушке имеет противоположное направление по отношению
к направлению в первой, выражение для расчета импеданса
принимает вид
j? 2?J S 1 K1
j? 2?J S 2
Z?
? i Aci rci ?
?
2
I S1
I S22
i ?1

K2

?? A r
i

i ?1

ci ci

Численные модели в интроскопии
Годограф импеданса датчика в дифференциальном
режиме работы
40

Im (U ), м В

20

0

-20

-40

-40

-20

0
Re(U), мВ

20

40

Численные модели в интроскопии
Силовые линии магнитного поля вихретокового датчика
в дифференциальном режиме: действительная
и мнимая составляющие

Численные модели в интроскопии
? 2?J S
? 2?J S
? k
?
? k
?
Z ?R ? j?L ??
Imag
?
A
r
?
j
Real
?
A
r
?? i ci ci ?
?? i ci ci ?
I S2
I S2
? i ?1
?
? i ?1
?

Индуктивность катушки может быть рассчитана по формуле
2?J S
? k
?
L ? 2 Real? ? ? i Aci rci ?
IS
? i ?1
?
В двумерном плоскопараллельном случае
JS
? k
?
L ? 2 Real? ? ? i Aci ?
IS
? i ?1
?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.