Численные модели в интроскопии

5. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

Численные модели в интроскопии

Вариационный принцип - это математический метод,
который сам по себе не имеет отношения к методу
конечных элементов.
Метод конечных элементов - это численный алгоритм,
который совместно с вариационным принципом обеспечивает
получение результата в процессе решения задачи.
Согласно вариационному принципу, вместо непосредственного
решения соответствующих дифференциальных уравнений
предполагается минимизировать так называемый
энергетический функционал.

Численные модели в интроскопии
Используя очень простые аналогии, можно описать
математические идеи,
лежащие в основе такого подхода, с помощью
следующего несложного примера.
Предположим, что необходимо решить уравнение

ax ? b ?0
Вместо того, чтобы решать его непосредственно,
можно минимизировать функцию
ax 2
f ? x? ?
? bx ? c
2

Очевидно, что эта функция принимает минимальное
значение в точке, для которой
?f
?ax ? b ?0
?x

Численные модели в интроскопии
5.1. Энергетический функционал. Уравнение Эйлера
Предположим, что функционал F, связанный
с энергией, существует и является функцией
переменной P и ее частных производных
Px? ??P

?x

, Py? ??P

?y

, Pz???P

F ????
f ? P, Px?, Py?, Pz??d?

?z

?

Необходимое и достаточное условие того, чтобы F имел
минимальное значение, это требование равенства нулю
вариации F для любого малого изменения переменных
? ?f
?
?
f
?
f
?
f
? ?P ?
?F ????
?Px? ?
?Py? ?
?Pz??? d?
? ?P
?Px?
?Py?
?Pz? ?
? ?

Численные модели в интроскопии
Заметим, что
?Px??? dP dx ?d dx??P ?
Подобные выражения для ?Py? ?Pz?
Очевидно также, что
?
?
?
i ??P ? ? j ??P ? ? k ??P ? ? grad ??P ?

?

?x

?y

?

?z

Введем обозначение
?f
?f
?f
i
?j
?k
?g
?
?
?
?Px
?Py
?Pz

Три слагаемые подинтегрального выражения
можно записать в следующем виде
?f
?f
?f
?Px? ?
?Px? ?
?Px??g ?grad ??P ?
?Px?
?Py?
?Pz?

Численные модели в интроскопии
Операция дивергенции произвольной векторной функции
cd (с - скаляр, d - вектор) равно

div? cd ? ?c ?div? d ? ? d ?grad ? c ?
Следовательно, можно записать

g ?grad ??P ?d? ????
div??P ?g ?d? ? ???
?P ?? divg ?d?
???
?

?

?

Применяя теорему о дивергенции, получим

g ?grad ??P ?d? ???
?P ?g ?nds ? ???
?P ?? divg ?d?
???
?

S

?

Численные модели в интроскопии
Вариация функционала принимает вид

? ?f
?
?
f
?
f
?
f
? ?P ?
?F ????
?Px? ?
?Py? ?
?Pz?? d? ?
? ?P
?Px?
?Py?
?Pz? ??
? ?
? ?f
?
????
? divg ??Pd? ? ??
?P ?g ?nds ?0
?
?P
?
? ?
S

Так как оба интеграла независимы, для равенства
нулю их суммы необходимо, чтобы
? ?f
?
?
div
g
?
??Pd? ?0
???
?
? ? ?P

?P ?g ?nds ?0
??
S

Численные модели в интроскопии
Поскольку ?P произвольно, то получим

? ?f
?
?
div
g
?
? ?0
? ?P
?

?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ?? ? ? ?f ?
??
?? ?
??
?? ?0
?
?
?P ?x ? ?Px? ? ?y ?? ?Py? ?? ?z ? ?Px? ?

Это уравнение известно как уравнение Эйлера.
Другими словами, для того, чтобы функционал F можно
было бы использовать для описания энергетического
состояния системы, необходимо выполнение
уравнения Эйлера

Численные модели в интроскопии
Уравнение

?P ?g ?nds ?0
??
S

Для равенства нулю этого выражения
либо ?P, либо (g?n) должны равняться нулю.
Возможно разделение поверхности S

S1

- часть границы, на которой ?P ?0
- условие Дирихле

S 2 ?S ? S1 - часть границы, на которой (g?n=0)

- условие Неймана
g ?n ?

?f
?f
?f
nx ?
ny ?
n z ?0
?Px?
?Py?
?Pz?

n ?in x ? jn y ? kn z

Численные модели в интроскопии

В заключение отметим, что распределение потенциала,
минимизирующее энергетический функционал F,
влечет за собой:
- выполнение уравнения Эйлера;
- установление граничных условий, при которых
либо потенциал Р фиксирован (условие Дирихле),
либо выполняется условие Неймана

Численные модели в интроскопии
5.2. Энергетический функционал для электростатики
Электростатическое поле в диэлектрической среде
характеризуется энергетическим
функционалом вида
?1
?
?
?
?
F ????
f V ,V ,V d? ????
? ?E
?2

?
? ?V ?d?
x
y
?
?
?
Уравнение Эйлера для двумерного случая
2

?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?0
?
?
?V ?x ? ?Vx? ? ?y ? ?V y? ?

Численные модели в интроскопии
Рассчитаем различные составляющие
?f
? ?1 2
?
? ? ?E ? ?V ? ?? ?
?V ?V ? 2
?
?V
?? E x ,
?x
?V
?
Vy ?
?? E y
?y
Vx? ?

?f
?f
?
??
??
?
?Vx
?E x
?E x

? ?1 2?
?1 2
?
? ?E ? ?V ? ??
? ?E ?
?E x ? 2
?2
?
?

Модуль вектора напряженности поля

E 2 ?E x2 ? E y2

Численные модели в интроскопии
После несложных алгебраических преобразований получим
? ? 1 2 ? ?E
?E
?1 2?
?
E
?
?
?
E
?
?
?
E
?
?
?
?
?
?E ? 2
?E x
?2
?
? ?E x
?
?? ?E
E x2 ? E y2 ?? ?E x
?E x
?

?
?E x

?

?

Таким образом

?f
?? ?E x
?Vx?

аналогично

?f
?? ?E y
?V y?

Численные модели в интроскопии
Подставляя полученные выражения
в уравнение Эйлера, получаем

?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?
?V ?x ? ?Vx? ? ?y ?? ?V y? ??
?
?
?? ? ? ? ?E x ? ? ? ?E x ? ?0
?x
?y
которое можно переписать в векторной форме
??
? ?
? i ? j ? ??i?E x ? j?E y ? ??
?x ?
? ?x
или, с учетом D ??E
divD ??

Численные модели в интроскопии
Что касается граничных условий Неймана, то

?f
?f
g ?n ?
nx ?
n y ?0
?Vx?
?V y?
Это выражение сводится к
?f
?f
nx ?
n y ?? ?E x ? n x ? ??E y ?n y ?
?Vx?
?V y?
?Dx n x ? D y n y ?D ?n ?0

Численные модели в интроскопии
Граничные условия Неймана.
Если не определены условия на границе,
напряженность электрического поля параллельна ей

Граничные условия Дирихле.
Напряженность поля перпендикулярна к границе

Численные модели в интроскопии
5.3. Энергетический функционал для поля
стационарного тока (скалярный потенциал)
Для задачи со стационарными токами энергетический
функционал имеет вид

?1 2?
F ????
f ?V ,Vx?,V y??d? ????
? ?E ?d?
2
?
?
? ?
?f
?? ?E x ?? J x
?Vx?
?f
?? ?E y ?? J y
?V y?

Численные модели в интроскопии
После подстановки этих производных
в уравнение Эйлера получаем
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?
?V ?x ? ?Vx? ? ?y ?? ?V y? ??
?
?
? ? ? J x ? ? ? ? J y ? ?0
?x
?y

или, в более компактной форме

divJ ?0

Численные модели в интроскопии
5.4. Энергетический функционал для магнитостатики
Для задач со скалярным магнитным потенциалом
энергетический функционал должен учитывать тот факт,
что ферромагнитный материал - нелинейный
(явление насыщения на кривой B(H)).
Энергетический функционал определяется формулой
?H
?
F ????
? ?BdH ?d?
? ?0
?

Рассчитаем составляющие уравнения Эйлера
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?0
?
?
?V ?x ? ?Vx? ? ?y ? ?V y? ?

Численные модели в интроскопии
Производная для x-компоненты в этом случае имеет вид
?f
?f
?f ?H
??
??
?Vx?
?H x
?H ?H x

Каждый из сомножителей рассчитывается
следующим образом:
H

?f
?
?
BdH ? B
?
?H ?H 0
?H
?
?
?H x ?H x

H x2 ? H y2 ?

1
2

2H x
H x2 ? H y2

?

Hx
H

Численные модели в интроскопии
В результате получаем
?f
?? ?H x ?? Bx
?Vx?

Aналогично для у - компоненты
?f
?? ?H y ?? B y
?
?V y

Уравнение Эйлера в этом случае
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
?
??
?
?
?V ?x ?? ?Vx? ?? ?y ?? ?V y? ??
?
?
? ? ? Bx ? ? ? ? B y ? ?0
?x
?y

или, в компактной форме

divB ?0

Численные модели в интроскопии
5.5. Функционал для стационарного магнитного поля

Поскольку ??H = J является наиболее общим уравнением
стационарного магнитного поля, рассмотрим сначала
функционал для области с плотностью тока J и нелинейной
проницаемостью ?. Области с постоянными магнитами будут
учтены с помощью незначительной модификации нелинейного
энергетического функционала

Численные модели в интроскопии
Энергетический функционал для стационарного
магнитного поля имеет вид
?B
?
F ????
? ?HdB ? J ?A ?d?
? ?0
?
Расcчитаем компоненты уравнения Эйлера,
отмечая, что в этом случае
P ? A,

Px? ? Ax?, Py? ? A?y

?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?0
?A ?x ? ?Ax? ? ?y ?? ?A?y ??

Численные модели в интроскопии
Компоненты уравнения Эйлера:
?A
?
Ax ? ?? B y ,
?f
?? J
?x
?A
?A
A?y ? ?Bx
?y
B
? ?B
?f
? ?
?
??
H
d
B
?
J
?
A
?
?
H
?
?
?Ax?
?B ? ?
?B y
0
? ?B y

Bx2 ? B y2

By
By
?f
?? H
??
?? H y
?Ax?
B
?

Аналогично для у-компоненты
B
B
?f
?f
?f ?B
?
?
?H x ? x ?H x
?A?y ?Bx ?B ?Bx
B
?

Численные модели в интроскопии
Подставляя найденные выражения в уравнение
Эйлера, получим
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?
?
?
?A ?x ? ?Ax? ? ?y ? ?A?y ?
?
?
?? H y ? ? ? H x ? ?0
?? J ?
?x
?y

или (доказать!)

rot H ?J

Численные модели в интроскопии
При граничных условиях Дирихле на участке S1
потенциал А задан и постоянен, а поле тангенциально
этой части поверхности
По условию Неймана на участке границы S 2
должно удовлетворяться
g ?n ?

?f
?f
nx ?
n y ?0
?Ax?
?A?y

Используя полученные выражения, имеем
?f
?f
nx ?
n y ?? H y n x ? H x n y ?0
?Ax?
?A?y

или в векторной форме

H ?n ?0

Численные модели в интроскопии
Граничные условия
для магнитного векторного потенциала.
Напряженность магнитного поля параллельна границе
с постоянным значением потенциала

Численные модели в интроскопии
5.6. Функционал для поля постоянных магнитов
Для прикладных задач с постоянными магнитами
энергетический функционал имеет вид

B ??H ? B r ,
H i ?H,
B i ?B ? B r
? H i ?B i ?
? H ?? B ? B r ? ?
F ????
d? ?
? 2 ?d? ????
?
?
2
?
?
? ?
? ?
? ? B ? B r ? ?? B ? B r ? ?
? B i ?B i ?
????
d? ????
d?
?
?
?
?
2?
2? ?
?
? ?
? ?

Численные модели в интроскопии
Чтобы записать уравнение Эйлера, расcчитаем
?f
?0
?A
?f
? ? B i ?B i ?
? ? Bi2 ?
?f ?Bi
??
?
?
?
?
? ?
?Ax?
?B y ?? 2 ? ??
?B y ? 2 ? ?
?Bi ?B y

?f
?
??
?Ax?
?Bi

? Bi2 ? ?Bi
Bi ?Bi
1 ?Bi2
??
??
?
? ?
? ?B y
2? ?B y
? 2 ? ? ?B y

2
2
2
2
?f
1 ?? Bix ? Biy ?
1 ?? Biy ?
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
B y ? Bry ?
?Ax?
2?
?B y
2? ?B y
2? ?B y

где ? B y ? Bry ? является y-компонентой вектора B i ?B ? B r

Численные модели в интроскопии
Biy
?f
1
?? ?? B y ? Bry ? ??
?A?x
?
?

Bix
?f
1
? ? Bx ? Brx ?
?A?y ?
?
Подставляя эти результаты в уравнение Эйлера,

?

получим

?

?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?0
?
?
?A ?x ? ?Ax? ? ?y ? ?A?y ?

? ? Biy ?
? ? Bix ?
?
?
??
?? ?0
?
?
??
?
?
?x ? ? ?
?y ? ? ?

?B ?
или rot ?? i ?? ?0
? ? ?

? B ? Br
rot ??
? ?

?
?? ?0
?

Численные модели в интроскопии
5.7. Функционал для поля стационарного тока
(векторный потенциал)
Для практических задач с электрическим векторным
потенциалом энергетический функционал имеет вид
P ?T ,

Px? ?Tx?,

Py? ?Ty?

? J2
??
F ????
f ?T , Tx?, Ty??d? ????
2?
?
? ?

?
??d?
?

Получим уравнение Эйлера
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?0
?
?
?
?
?T ?x ? ?Tx ? ?y ? ?Ty ?

Численные модели в интроскопии
?T
?? J y ,
?x
?T
Ty??
?J x
?y
Tx? ?

Получим производные плотности электрической энергии
по производным векторного потенциала
Jy
?f
?f
?f ?J
??
??
?
??
?? E y
?Tx?
?J y
?J ?J y
?

Jx
?f
?f
?f ?J
?
?
?
? ?E x
?Ty? ?J x ?J ?J x ?

Численные модели в интроскопии
После подстановки полученных выражений
в уравнение Эйлера получаем
?f
? ? ?f ? ? ?? ?f ??
??
?? ?
?
?
?
?
?T ?x ? ?Tx? ? ?y ? ?Ty? ?
?
?? E y ? ? ? ? E x ? ?rot E ?0
??
?x
?y

характеризующее физическое явление для этого случая

Численные модели в интроскопии
Граничные условия
для электрического векторного потенциала.
Вектор плотности тока параллелен границе
с постоянным потенциалом






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.