Численные модели в интроскопии

4. ЗАДАЧИ С ВЕКТОРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ

Численные модели в интроскопии
4.1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: векторный потенциал
Если необходимо рассчитать поле в области с источниками
тока (как например, в задаче с намагничивающей
системой, включая обмотку и магнитную цепь),
формулировка задачи относительно скалярного потенциала
уже становится несправедливой, потому что в этом случае
подразумевает равенство нулю
вектора плотности тока J. Если же J?0 , то возможно
использование векторного потенциала А, связанного
с вектором магнитной индукции В выражением

B ?rot A

Численные модели в интроскопии
B ?rot A
i
?
rot A ?
?x
Ax

j
?
?y
Ay

k
?
?
?z
Az

? ?Az ?Ay ? ? ?Ax ?Az ? ? ?Ay ?Ax ?
??
??i ? ?
??k
?
?
?
? j ? ??
?z ? ? ?z
?x ? ? ?x
?y ?
? ?y

Почему возможно введение векторного потенциала??

Численные модели в интроскопии
Это следует из уравнения для дивергенции В

divB ?0
Надо доказать, что

div? rot A ? ?0

Доказательство
div? rot A ? ?
? ? ?Az ?Ay ? ? ? ?Ax ?Az ? ? ? ?Ay ?Ax ?
?? ? ?
?? ?
? ??
?
?
?
? ? ??
?x ? ?y
?z ? ?y ? ?z
?x ? ?z ? ?x
?y ?
2
2
? 2 Az ? Ay ? 2 Ax ? 2 Az ? Ay ? 2 Ax
?
?
?
?
?
?
?0
?x?y ?x?z ?y?z ?y?x ?z?x ?z?y

Численные модели в интроскопии

Для двумерных задач векторы J и А имеют только
одну компоненту, перпендикулярную плоскости 0xy

A ?kA

Численные модели в интроскопии
J ?kJ
B ?iBx ? jB y

A ?kA
Чтобы сформулировать задачу относительно потенциала,
воспользуемся уравнениями

rot H ?J
H ??B
где ? удельное магнитное сопротивление (?=1/?)

Численные модели в интроскопии

rot ??B ? ?rot ?? ?rot A ? ?J
в двумерном случае

i
?
B?
?x
0
? ?Az
???
? ?y

j
?
?y
0

B ?rot A

k
?
?
?z
Az

? ? ?Az ?
??i ? ? ?
? j ? Bx i ? B y j
? ? ?x ?

имеет вид

?A
Bx ?
?y
?A
B y ??
?x

Численные модели в интроскопии
Учитывая, что в двумерном случае нет изменений
в направлении 0z, получаем

rot ??B ? ?J
i
j
?
?
rot ??B ? ?
?x ?y
? Bx ? B y

k
i
?
?
?
?z
?x
0
?A
? z
?y

j
?
?y
?A
?? z
?x

k
?
?
?z
0

? ? ?Az ? ? ? ?Az ? ? ? ?Az ? ?Az ?
?? j ? ?? ? ?
??k ?kJ
?? ?
? ?
?i ? ?? ? ?
? ?z ?x ? ? ?z ?y ? ? ?x ?x ?y ?y ?

Численные модели в интроскопии
Записывая уравнение только для z-компоненты

? ?Az ? ?Az
?
? ?
?? J
?x ?x ?y ?y

? 2 Az
? 2 Az
?
??
?? J
2
2
?x
?y
Это уравнение Пуассона для магнитного векторного
потенциала в двумерных задачах

Численные модели в интроскопии
4.2. Физическая интерпретация векторного потенциала

?A
?y
?A
B y ??
?x
Bx ?

?A
?0
?x
?A
B y ??
?0
?x

?A
Bx ? ?0
?y

Магнитный поток
определяется на
единицу протяженности
вдоль оси z

Заключаем, что магнитное поле параллельно линиям
равного потенциала А

Численные модели в интроскопии
? ???
rot AdS ??Adl
? ???
BdS ???
rot AdS
S

S

? ??Adl ? A1 ?P ? A2 ?P
C

S

A1 ? A2 ?

C

?
P

Численные модели в интроскопии

Область с двумя эквипотенциальными линиями.
Область между этими линиями называется
трубкой потока

Численные модели в интроскопии
4.3. Поле постоянного магнита

B ??H ? B r
B r ??H c

Это удовлетворительная аппроксимация для ряда
магнитов (например, ферритов и магнитов на основе
редкоземельных элементов), у которых магнитная
проницаемость близка к единице

Численные модели в интроскопии
Определим напряженность H из выражения
1
H ? ?B ? Br ?
?

и подставим в соотношение

rot H ?0

?1
?
rot H ?rot ?? ? B ? B r ? ?? ?0
??
?

Этот тип задач также может быть решен
с использованием метода конечных элементов и
векторного потенциала в качестве искомой величины

Численные модели в интроскопии
4.4. Электрический векторный потенциал

J ?rot T

?1
?
rot ? rot T ? ?0
??
?

Численные модели в интроскопии
Эквивалентные соотношения
A ?

T

H ? E
B ??H ?

J ??E

?A
?T
? Jx ?
?y
?y
?A
?T
B y ??
? J y ??
?x
?x
Bx ?

? ???
BdS ?

I ???
JdS

?
A1 ? A1 ?
P

I
T1 ? T2 ?
P

S

?

S

Численные модели в интроскопии
Т определяется в Ампер/метр
Р - протяженность устройства (в метрах)
Разность между значениями потенциалов на двух
эквипотенциальных (силовых) линиях определяет
величину тока между линиями (трубка тока)
В электрических задачах поле может создаваться
только разностью потенциалов (скалярных либо
векторных), заданных на границах

? 1 ?T ? 1 ?T
?
?0
?x ? ?x ?y ? ?y






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.