Тарасов_Лекция по нечетким мерам и нормам

Посмотреть архив целиком
В.Б. Тарасов
МГТУ им. Н.Э.Баумана,
Кафедра «Компьютерные системы автоматизации
производства»
e-mail: tarasov@rk9.bmstu.ru

ЛЕКЦИЯ: КВАЗИМЕРЫ И
МЕРЫ НЕЧЕТКОСТИ

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ
Основными характеристиками любого множества являются границы
и мера.
Понятие меры есть одно из важнейших математических понятий, как,
впрочем, и понятие интеграла, соответствующего данной мере. Оно
является естественным обобщением понятия длины отрезка, площади
плоской фигуры, объема пространственной фигуры. Классические
меры удовлетворяют условию аддитивности.

Пусть А и В– некоторые события, а Х – полное множество
событий.
Мерой называется функция множества

m: 2X ? R+,

R+=[0,? ),

которая удовлетворяет следующим условиям:
1) ?А?2X, А?X ? m (A) ?0;
2) m(?) = 0;
3) ? А, В ?2X, m (A ? B) = m (А) + m (В) – m (A ? B).

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МЕРА И МЕРА ДИРАКА
Наиболее известным случаем классической меры является
нормальная мера или вероятностная мера А.Н.Колмогорова

P: 2X ? [0,1],
которая удовлетворяет следующим условиям:
1) P(?) = 0, P(Х) =1 (ограниченность)

2) ?А,В?2X, А?В ? P(A) ? P(B) (монотонность)
3) ?А,В?2X, А?В=? ? P(A?B)=P(А)+P(В) (аддитивность)
В общем случае, берется ?-алгебра множеств, ? ?2X и аксиома
аддитивности записывается в форме ?Аi??, ?Аi =? ? P (? Аi) = ?P(Аi).
С вероятностной мерой связана статистика средних значений.

Пусть x0 есть заданный элемент в X. Частным случаем вероятностной
меры является примитивный класс мер Дирака mD, определяемый
соотношением: ?А?2X,
1, если x0?A
mD (А) =
0 в противном случае.
Мера Дирака есть частный случай вероятностной меры,
соответствующий детерминированной сингулярной информации

КРИТИКА АКСИОМЫ АДДИТИВНОСТИ
Требование аддитивности меры является слишком жестким
и ограничительным для многих практических задач информатики,
в частности, для процедур экспертного оценивания и
формирования мнений.
Существует гипотеза о том, что неаддитивность есть одно из
фундаментальных отличий процедур оценивания от процедур
измерения.
Тогда в качестве базы для оценивания предлагается
пространство с предмерой Г= (X, ? , u), где предмера u
удовлетворяет лишь условиям ограниченности и монотонности

Таким образом, произвольная псевдомера, называемая
также неклассической (неаддитивной) мерой , строится
как однопараметрическое расширение обычной меры путем
замены стандартной аксиомы аддитивности каким-либо
более общим условием.

МЕРЫ СУГЕНО
Мерой Сугено называется функция множества
g: 2X ? [0,1],
для которой выполняются следующие условия
1) g(?) = 0, g(Х) =1 (ограниченность)
2) ?А,В?2X, А?В ? g(A) ? g(B) (монотонность)
3?) ?А,В?2X, А?В=? ? g(A?B) = g(А)+g(В) + ?g(А)+g(В) (?-правило)
?1 ? ? ? ? .
4) ?Аn?2X, n=1,2,… если А1 ? А2 ?…, или А1 ?А2 ? …, то
lim g(Аn) = g (lim Аn) (непрерывность)
n??

n??

В общем случае ?-правило записывается в виде
g? (?Аi ) = ? g(Аi) + ? П g(Аi), ?1 ? ? ? ?.
Это правило получается из уравнения ?+1 = П(1+ ?i).
В результате при ??0 получаем семейство субаддитивных мер:
? А, В ?2X, g?(A ? B) ? g?(А) + g?(B),
а при –1???0 – семейство супераддитивных (синергетических) мер
? А, В ?2X, g? (A? B) ? g?(А) + g?(B).
При ?=0 мера Сугено превращается в обычную аддитивную

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ:
МЕРЫ ДОВЕРИЯ И ПРАВДОПОДОБИЯ
Одними из первых ученых, предложивших применять неклассические
меры (псевдомеры) в интересах описания экспертных суждений
(свидетельств), стали А.Демпстер и Дж. Шейфер.
Так Демпстер ввел функции верхних и нижних вероятностей,
индуцируемых многозначными отображениями.
В свою очередь, Шейфер построил теорию свидетельств на основе
двух классов монотонных неаддитивных мер – мер доверия и мер
правдоподобия.
Мерой доверия называется монотонная функция множества
b: 2X ? [0,1],
удовлетворяющая следующим условиям:
(а) b (?) = 0, b (Х) =1
(б) ?А,В?2X, b (A ? B) ? b (A) + b (B).
Здесь условие (б) определяет свойство супераддитивности.
Пусть A? есть дополнение A. Из определения меры доверия вытекает
ее важное свойство b (A)+b (A?) ?1 (субкомплементарность).

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ:
МЕРЫ ДОВЕРИЯ И ПРАВДОПОДОБИЯ
(продолжение)

Если задана мера доверия, то двойственную к ней меру правдоподобия можно
определить следующим образом

Pl (A) = 1 – b (A), ?А?2X

Монотонная мера правдоподобия Pl удовлетворяет следующим аксиомам:
(а) Pl (?) = 0, Pl (Х) =1
(б?) ?А,В?2X, Pl ( A ? B) ? Pl (A) + Pl (B).
Аксиома (б? ) определяет условие субаддитивности.
Для меры Pl выполняется также условие суперкомплементарности

Pl (A)+ Pl (A?) ?1.
Пусть ? - множество высказываний. Введем функцию mp: ?? [0,1], причем:
1) mp(?) = 0; 2) ? mp(p) = 1.
p??.
??.

Тогда для любых высказываний p,q?? по Шейферу получаем

v(q) = b(q) = ? mp(p).
p влечет за собой q

Аналогично имеем

Pl (q) = ? mp(p)
p не влечет за собой ?q

Легко определить также меру недоверия nb (A) = 1 – b (A) и меру отвержения

МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ
Из аксиомы монотонности для любой предмеры непосредственно вытекают
два важных неравенства, характеризующие два фундаментальных класса
псевдомер

g (A ? B) ? max {g (A), g (B)}
g (A ? B) ? min {g (A), g (B)}.
Тогда в граничных случаях определяются мера возможности П Л.Заде как
минимальная мера правдоподобия и мера необходимости N Дюбуа-Прада как
максимальная мера доверия.
Мера возможности есть функция множества

П: 2X ? [0,1],
для которой справедливы условия:
1. П (?) = 0, П (Х) =1 (ограниченность)
2. ? А, В ?2X, А ?В ? П (А) ? П (В) (монотонность)
3. ?А,В?2X, П (A?B) = max {П (A), П (B)} («либо-либо»-условие)
Меру П можно задать на множестве высказываний ?. Пусть p,q??.
Тогда условие П(p?q) = max{П(p), П(q)} можно интерпретировать следующим образом:
истинность дизъюнкции двух суждений определяется возможностью появления хотя бы
одного из них.

В свою очередь, нечеткое множество может пониматься как функция
(плотность) распределения возможности
?: Х ? [0,1]
удовлетворяющая условию нормировки П (А) = sup ? (x) = 1.

МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ
(продолжение)

Mера необходимости есть функция множества

N: 2X ? [0,1],
для которой выполняются требования:

1. N (?) = 0, N (Х) =1 (ограниченность)
2. ? А, В ?2X, А ?В ? N (А) ? N (В) (монотонность)
3*. ? А, В ?2X, N (A?B) = min {N (A), N (B)} («и-и» условие).
Если определить меру N на множестве высказываний ?, то условие
N (p?q) = min {N(p),N(q)} означает, что истинность конъюнкции двух суждений
определяется необходимостью их одновременного выполнения.
Для мер необходимости и возможности справедливо равенство

N (А) = 1 – П (А?), ?А?2X
Это условие можно записать и в более общей форме

N (А) = n (П (А?)),
где n – некоторая функция отрицания.
Меру необходимости также можно определить по функции распределения
возможности

N (А) = inf (1 –? (x))
x?A

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

ВЕРОЯТНОСТЬЮ, ВОЗМОЖНОСТЬЮ И
НЕОБХОДИМОСТЬЮ
Основное соотношение между возможностью и необходимостью записывается
в виде:

П (А) ? P (A) ? N (А)
В отличие от выполняемого для вероятностной меры закона P (A)+P (A?) = 1,
?А?2X, для меры возможности имеем условие

П (A) + П (A?) ? 1, ? А? 2X,
а для меры необходимости выпоняется

N (A) + N (A? ) ? 1, ? А? 2X
Кроме того, из П (А) ? 1 следует N (А) = 0 (неполная возможность события А
приводит к абсолютной неуверенности), а из N(А)?0 вытекает П(А)=1 (наличие
некоторой уверенности в А означает его абсолютную возможность).
В свою очередь, такие понятия как невозможность nП и проблематичность
(ненеобходимость, случайность) nN легко описать c помощью обычного
оператора отрицания на основе мер возможности и необходимости
соответственно:

nП (A) =1?П (А), ?А?2X
nN (A) =1?N (А), ?А?2X

КАЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ
ВОЗМОЖНОСТИ И НЕЧЕТКОСТИ
Идея построения сравнительных оценок возможности восходит к работам
Д.Льюиса, который интерпретировал возможность как отношение сходства.
Затем Дюбуа и Прад показали, что мера возможности индуцирует отношение
?П между событиями: A ? П B тогда и только тогда, когда П (A) ? П (B).
Здесь A ?П B означает, что возможность события А, по крайней мере, не
меньше возможности события B.
Отношение ?П обладает следующими свойствами:

а) T ?П F, где Т и F – истина и ложь соответственно;
б) A ?П B или A ?П B (сравнимость);
в) A ?П B, B ?П C ? A ?ПC (транзитивность);
г) если B ?П C, то для любого А имеем A?B ?П A?С.
В свою очередь, Трильяс и Альсина обобщили идею сравнительных оценок для
произвольных неклассических мер, введя (рефлексивное и транзитивное)
отношение предпорядка ?g. Здесь A ?g B означает, что множество А обладает
неким свойством в степени, не меньшей, чем множество B.
Отношение предпорядка по включению множеств позволяет с единых позиций
описать не только расширения классических мер, определенные на 2 X, но и
функции нечетких множеств, заданные на [0,1] X.

МЕРЫ НА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВАХ
Различные меры на нечетких множеств можно определить, вводя разные
отношения порядка (или предпорядка) на интервале [0,1].
Здесь классическое отношение порядка (порядок вложенности нечетких
множеств) задается в виде:

? ? ? ? ?(x) ? ?(x), ?x?X.
Рассмотрим максимально нечеткое множество с функцией принадлежности
?(x) = 0.5. Тогда новое отношение порядка ? ?, называемое «порядком
заострения», можно задать следующим образом:

?? ?? ? ?(x) ? ? ?(x), ?x?X,

где ?(x)???(x) тогда и только тогда, когда ?(x) ? ?(x) при ?(x) ? 0.5 и ?(x) ? ?(x) при
?(x) ? 0.5.
Отношениям порядка ? и ???ставятся в соответствие два класса мер – меры
энергии и меры энтропии нечетких множеств соответственно.
Пусть высказывание p??. Как известно, противоречие в классической логике
записывается в форме p?? p. В обобщенном виде его можно выразить формулой pTn(p),
где T-треугольная норма, отвечающая лингвистической связке «И», а n – унарная операция
отрицания в функционально-аксиоматической форме.

Введем отношение предпорядка, индицируемое отрицанием n, т.е.
рефлексивное и транзитивное отношение ?n на [0,1]
p ?n q ? p Т n(p) ? q Т n(q)
и будем рассматривать предупорядоченное множество [0,1]n.

МЕРЫ ЭНЕРГИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
(ПОКАЗАТЕЛИ СИЛЫ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Пусть X – базовое множество, на котором определено
нечеткое множество ?: X? [0,1], а [0,1]X = {???: X?[0,1]} –
множество всех нечетких подмножеств.
Обозначим через R+ множество всех неотрицательных
действительных чисел R+ .

Мерой энергии нечеткого множества называется функция
e: [0,1]X? R+,
удовлетворяющая следующим аксиомам:
e1) e(?)=0 тогда и только тогда, когда ?(x)=0 для всех x из X;
e2) e(?) принимает максимальное значение тогда и только тогда, когда
?(x)=1 для всех x из X;
e3) ??,??[0,1]X, ?(x) ? ?(x) ? e(?)? e(?).
Примеры. 1. Мощность нечеткого множества ? P (?) = ? ?(xi)
i

2. Информационная энергия нечеткого множества ? IE(?) = ? wi ?(xi)
i

МЕРЫ ЭНТРОПИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Пусть X – базовое множество, на котором определено нечеткое множество
?: X? [0,1], а [0,1]X={???:X?[0,1]} – множество нечетких подмножеств.
Мера энтропии определяется в виде функции

h: [0,1]X? R+,
удовлетворяющей следующим условиям:
h1) h(?) = 0 тогда и только тогда, когда ?(x)=f(x)?{0,1}, т.е. когда f–классическая
характеристическая функция множества;
h2) h(?) = hmax тогда и только тогда, когда ?(x) = 0.5 для всех x?X;
h3) ??,??[0,1]X, ?(x) ???(x) ? h(?)?? h(?).
Примеры. 1. h0(?) = ? ?(xi) (1- ?(xi)). 2. hSH(?) = ? [?(xi) ln ?(xi) +(1- ?(xi)) ln (1-?(xi))]
i

i

Известны и другие определения энтропии, в частности,
А) Энтропии по А.Кофману, как нормализованного расстояния до предельно
нечеткого распределения ?(x)=0.5, ?x?X;
B) Энтропии как расстояния между нечетким множеством и его дополнением .
Согласно И.З.Батыршину, мера энтропии на алгебре может пониматься как
мера ее небулевости.
В общем случае энтропию можно определить через отношение предпорядка ?n
как функцию
h(?) = k S {T(?(x), n(?(x))},
x ?X

где T и S – треугольная норма и конорма соответственно, n – операция

МЕРЫ СПЕЦИФИЧНОСТИ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Меры специфичности (неспецифичности) нечетких множеств
тесно связаны с понятием гранулярности и показывают
степень точности задания нечеткого множества
Пусть X – базовое множество, а [0,1]X ={???: X?[0,1]} –
множество всех нечетких подмножеств, определенных на X.
Мера специфичности по Р.Ягеру есть нормализованная
функция нечеткого множества .
sp: [0,1]X?[0,1],
такая что
sp1) sp(?) = 1 тогда и только тогда, когда ? есть одноточечное
множество, ?={xi};
sp2) sp(?) = 0, если ? – пустое множество;
sp3) ??,??[0,1]X, ?(x) ? ?(x) ? sp(?)? sp(?).

НЕЧЕТКАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

FAS = ?? F(X), R, ? ? ,
где F(X) = {A ? A: X ? L}, R = {r ? r: X? X ? L},
? = {? jj}, ? ст= {? , ? , ', CON, DIL}
Частные случаи FAS
1. Вполне нечеткое множество [Ponasse,1984] интегрированная модель, выражающая представления о
принадлежности и неразличимости элементов множества

А = ? X, ? , ? ? , где ? : X ? [0,1], ? : X ? X ? [0,1].
2. Нечеткая логическая матрица FLM= ? F(V),? ,D? ,
где F(V) = [0, 1]V, D? F(V).

ФОРМИРОВАНИЕ СЕМЕЙСТВ
ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ
МНОЖЕСТВАМИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ СВЯЗОК:
ФУНКЦИОНАЛЬНО-АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
В современной теории нечетких множеств логико-лингвистические
связки «И» и «ИЛИ» определяются в виде треугольных норм и
конорм, т.е. двухместных действительных функций, задаваемых на
интервале [0,1].
Треугольные нормы и конормы были введены в 1951 г. К.Менгером
(Menger,1951] в области стохастической геометрии, а именно с
целью расширения неравенства треугольника в определении
метрического пространства на случай вероятностных метрических
пространств.
Они были подробно изучены Б.Швейцером и А.Скларом (см. [Schweizer
and Sklar,1960,1963 и1983]).

ТРЕУГОЛЬНЫЕ НОРМЫ И КОНОРМЫ
В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
В теорию нечетких множеств треугольные нормы и конормы ввели
К.Альсина, Э.Трильяс и Л.Вальверде (см. [Alsina et al., 1980 и 1983;
Трильяс и др., 1986] в интересах развития концепции плюрализма
операций над нечеткими множествами и построения единого
функционально-аксиоматического подхода к определению операций
пересечения и объединения нечетких множеств.
Треугольные нормы и конормы были подробно исследованы и
использованы с целью упорядочения по силе различных видов
пересечения и объединения нечетких множеств, а также в рамках
построения новых обобщенных параметризованных нечетких
операторов (семейства операторов Гамахера, Сугено,Ягера, Домби,
Франка и др.). Появились меры неопределенности на базе треугольных
норм и конорм, меры противоречивости и пр.
См. работы [Dubois and Prade, 1980 и 1982; Klement, 1982; Weber, 1983; Yager, 1980].

Понятие треугольных полунорм и полуконорм предложили Suarez Garcia и Gil
Alvarez [Suarez Garcia и Gil Alvarez, 1986].
Обобщение исходных понятий треугольных норм и конорм на случай
ограниченных упорядоченных множеств предложено в работе [De Cooman and

ТРЕУГОЛЬНЫЕ ПОЛУНОРМЫ
И ПОЛУКОНОРМЫ
Пусть L – решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.

Бинарная операция

T: L ? L? L

S: L ? L ? L,

называется
треугольной полунормой, треугольной полуконормой,
если удовлетворяются следующие условия:
? ограниченность
1) T(0, 0) =0, T(x, 1) = T(1, x) = x,
1?) S (1, 1) = 1, S(x, 0) = S(0, х) = x,
? x ? L;
? монотонность
2) x? u, y? v ? T(x,y) ? T (u,v),
2?) x ? u, y ? v ? S(x, y) ? S (u,
v),
? x , y , u , v ?L .

ТРЕУГОЛЬНЫЕ НОРМЫ И КОНОРМЫ
Пусть L – решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.

Бинарная операция

T: L ? L ? L

треугольной нормой,

S: L ? L ? L,

называется

треугольной конормой,

если удовлетворяются следующие условия:
?
ограниченность
1) T(0, 0) =0, T(x, 1) = T(1, x) = x,
1?) S (1, 1) = 1, S(x, 0) = S(0, х) = x,
? x ? L;

?
монотонность
2) x? u, y? v ? T(x,y) ? T (u,v),
2?) x ? u, y ? v ? S(x, y) ? S (u,
v),
? x, y, u, v ?L;
?
коммутативность
3) T(x, y) = T(y, x),
3?) S(x, y) = S (y, x),
?x, y ? L;

?
ассоциативность
4) T(T(x, y), z) = T(x, T (y, z)),

4? ) S(S(x, y), z) = S(x, S (y, z)),
?x, y, z ?L

ПРИМЕРЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ НОРМ И КОНОРМ
Треугольные нормы Т

Треугольные конормы S

Каноническая (максимальная)
треугольная норма
T0 (x,y) = min{x,y}, ? x,y ? L

Каноническая (минимальная)
треугольная конорма
S0 (x,y) = max{x,y}, ? x,y ? L

Вероятностная треугольная норма
Tpr(x,y) = x y, }, ? x,y ? L

Вероятностная треугольная конорма
Spr (x,y) = x +y – x y, }, ? x,y ? L

Треугольная норма Лукасевича
(ограниченное произведение)
Tb (x,y) = max {0, x+y -1}, ? x,y ? L

Треугольная конорма
Лукасевича(ограниченная сумма)
Sb (x,y) = min {1, x+y}, ? x,y ? L

ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ
НОРМЫ И ОТРИЦАНИЯ
Примеры. 1. Семейство треугольных норм Гамахера TH
TH(x,y) = x y / [? + (1 – ? )(x+y – xy)],

0 ??? ? ?

При ?=1 имеем Tp(x,y).
2. Семейство треугольных норм Сугено TS
TS(x,y) = max [0, x + y – 1 – ? (1-x) (1 – y )],

– 1 ?? ? ? ?

При ? =0 имеем Tb(x,y).
3. Семейство треугольных норм Ягера TY
TY(x,y) = 1 – min [1, (1 – x)q + (1 – y)q]1/q,
При q ? ? имеем TZ(x,y)

0 ?? q ? ?

УНИНОРМЫ
Обобщения t-норм и t-конорм – унинормы U.
Пусть L – решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.

Бинарная операция

U: L ? L? L
называется унинормой, если выполняются следующие
условия:
? наличие нейтрального элемента

e ? L, такого, что U (x, e) = U (e, x) = x, ? x ? L;
? монотонность
x? u, y? v ? U (x,y) ? U (u,v), ? x, y, u, v ? L;
? коммутативность
U (x, y) = U (y, x), ? x, y ? L;
? ассоциативность
U (U (x, y), z) = U (x, U (y, z)), ? x, y, z ? L .

УНИНОРМЫ
Унинормы в интервале [0,1] были предложены Р.Ягером
и В.Рыбаловым [Yager and Rybalov, 1996] и исследованы
в работах Я.Фодора,С.-К.Ху и З.-Ф.Ли, М.Маэс. Структура
унинорм подробно описана в [Fodor et al., 1997; Yager, 2001].
В общем случае нейтральный элемент e может отличаться от нуля
или единицы. При e = 0 унинорма превращается в t-норму, а при e =1
она становится t-конормой.
Унинормы ведут себя поочередно как операции конъюнкции и
дизъюнкции в различных зонах области [0, 1]2. Для n–арной операции
берется область [0, 1]n или даже произвольный гиперкуб [a,b]n. Тогда
многие операции, применяемые в экспертных системах, оказываются
унинормами (в частности, операции, использованные в системах MYCIN и
PROSPECTOR, являются унинормами, например x?y = xy / [xy + (1-x)(1-y)].
Важный класс унинорм, называемый представимыми унинормами, обладает
аддитивными генераторами: g: [0,1] ? [–? ,+? ], g (e) = 0, g (0) = – ? , g(1)= +? .
При этом унинорма определяется выражением

f (x, y) = g–1(g(x)+g(y)

ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
Одной из наиболее важных логических связок является
импликация, которая отражает структуру рассуждений, в
частности, математических. Импликация является основной
связкой в теории рассуждений, поскольку она соединяет
условие и утверждение в теореме.
Первый ее операнд называется посылкой (антецедентом), а
второй – заключением (консеквентом). Импликация является
единственной связкой, удовлетворяющей следующим
требованиям:
1) если первый операнд истинный, то значение истинности
совпадает со значением второго операнда;
2) значение истинности зависит от двух операндов;
3) связка некоммутативна.

Программа нейронечеткого вывода

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИМПЛИКАЦИИ
Табличный (таблицы истинности),
например, импликация в классической логике

Импликации в трехзначных логиках
импликация Лукасевича

импликация Клини

Программа нейронечеткого вывода

импликация Гейтинга

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИМПЛИКАЦИИ (продолжение)
2. Аксиоматический
Закон материальной импликации
x ? y = ? x ? y.
Расширенный закон материальной
импликации на основе различных
отрицаний и треугольных конорм
I (x,y) =S (n (x), y)
Программа нейронечеткого вывода

Способы представления импликации
3. Функционально-аксиоматический
Импликация есть двухместная действительная функция
I: [0,1] ? [0,1] ?[0,1], которая удовлетворяет следующим
условиям:
1) I(0, x) = 1 (условие ложности);
2) I(1,x) = x, ?x?L (условие нейтральности);
3) I(x, I(y, z) = I (y, I (x, z), ?x, y, z ? [0,1] (условие
обмена);
4) x ? u ? I(x, y) ? I(u, y), ?x, y, u ?[0,1];
5) y ? u ? I(x, y) ? I(x, u), ?x, y, u ?L.

Программа нейронечеткого вывода

НЕСТАНДАРТНЫЕ
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
1. Нейтрософские множества [Smarandache, 1995].
Пусть T, I, F – числа или подинтервалы из интервала [0,1],
характеризующие степени принадлежности, неизвестности
(принадлежит ли или не принадлежит) и непринадлежности
элемента x множеству A.

Нейтрософское множество задается в виде

A* = {(x, ТA(x), IA(x), FA(x)},
где

0? inf(T) + inf(I) + inf(F) ? sup(T) + sup(I) + sup(F) ? 3.
Согласно данному подходу, в общем случае любое высказывание
имеет некоторый процент истинности T%, некоторый процент
неопределенности I и некоторый процент ложности F%.

НЕСТАНДАРТНЫЕ НЕЧЕТКИЕ
МНОЖЕСТВА (продолжение)
2. Интуиционистские нечеткие
множества [Atanassov, 1983-1986]
Интуиционистское нечеткое
множество есть совокупность
упорядоченных троек
А = {(x, ? А(x), ? А (x)},
где ? А ? степень принадлежности,
а ? А ? степень непринадлежности
элемента множеству,

? А: X ? [0,1], ? А: X ? [0,1].
0 ? ? А(x) + ? А (x) ? 1

Кrassimir
Atanassov
(1954)

(0,1)

X2

X

(0,0)

X1

(1,0)

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ОЦЕНОК
НА ПОЛЯРНЫХ ШКАЛАХ
Двухосновная нечеткая оценка на полярной шкале
есть совокупность пар положительных и отрицательных
оценок с соответствующими значениями принадлежности

А = {(x, y) | (? А+(x), ? А?(y))},
где ? А+ и ? А? ? функции принадлежности, которые
характеризуют силу проявления свойств А+ и А? ,
например, ?А+ ? «средняя» и ?А- - «довольно малая»
?А-

-1

?

?А+

+1

+1

BL-НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Пусть BL– бирешетка, например, BL = [0,1]2.

BL-нечетким множеством называется
функция А: X ? BL, где BL = ? L2, ? , ? , ? , ? ? .
Класс всех BL-нечетких множеств обозначим
BLX = {А: X ? BL}.
Алгебру L-нечетких множеств можно представить в виде
ограниченной импликативной решетки FAL= ? LX,n,T,S,I,0,1 ? .
Соответственно алгебру BL-нечетких множеств можно
представить в виде FABL= ? BLX, n*,T*,S*,I*,0*,1* ? .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИИ T*
НА ОСНОВЕ СВОЙСТВА t-представимости
Определение 1. Операция пересечения BL-нечетких
множеств есть функция T*: BL ? BL ? BL, такая, что

T* (x,y) = (T (x1, y1), S (x2, y2)), ? x, y ? ? BL,
где T – треугольная норма и S – треугольная конорма.
Пусть BL = [0,1]2.
Пример 2. x ? y = (x1 ? y1, x2 ? y2), ? (x, y) ? [0,1]2
Пример 3. T*р (x, y) = (x1y1, x2+y2 – x2y2), ? (x, y)? [0,1]2
Пример 4. T*b (x, y) = ((0 ? (x1+y1 –1), (1 ? (x2+y2))),
? (x, y)? [0,1]2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИИ S*
НА ОСНОВЕ СВОЙСТВА t-представимости
Определение 2. Операция объединения BL-нечетких
множеств есть функция S*: BL ? BL ? BL, такая, что

S*(x,y) = (S (x1, y1), T (x2, y2)), ? x, y ? ? BL,
где T – треугольная норма и S – треугольная конорма.
Пусть BL = [0,1]2.
Пример 5. x ? y = (x1 ? y1, x2 ? y2), ? (x, y) ? [0,1]2
Пример 6. S*р (x, y) = (x1+y1 – x1y1, x2y2), ? (x, y)? [0,1]2
Пример 7. S*b (x, y) = ( (1 ? (x1+y1)), (0 ? (x2 +y2 –1))),
? (x, y)? [0,1]2

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ
ИНТУИЦИОНИСТСКИХ СЕМАНТИК
Интуиционистская семантика опирается
на пару v(p) = (T(p), F(p)) и условие
T(p) + F(p) ? 1.
Ее непосредственными обобщениями
являются интервальнозначная
интуиционистская семантика, когда
T, F ? [0,1] и
нечеткая интуиционистская семантика
T, F? [0,1][0,1].






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.