В.Б.Тарасов
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
E-mail: tarasov@rk9.bmstu.ru

ЛЕКЦИЯ: ОТ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫХ
ЛОГИК К БИРЕШЕТКАМ

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ЛОГИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКИ
1) Принцип бивалентности
T(p) ? F(p)
2) Принцип однозначности
T(p)={t}(p), F(p)={f}(p),
3) Принцип дополнительности
Т(p)+T(? p) = 1
4) Принцип симметрии
T(? p) = – T(p)

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ
НЕТРАДИЦИОННЫХ ЛОГИЧЕСКИХ
СЕМАНТИК
1) Семантика Данна-Белнапа и ее расширения
2) Симбиоз алгебраических и геометрических
семантик (например, решетка Белнапа, решетка
Скотта, симметрические группы)

3) Многомерные (векторные) семантики.
Семантики возможности и необходимости
4) Нечеткие семантики

5) Бирешеточные семантики
6) Игровые семантики

ИНТЕГРАЦИЯ ТРЕХ ПОДХОДОВ К
ПОСТРОЕНИЮ НЕТРАДИЦИОННЫХ
ЛОГИЧЕСКИХ СЕМАНТИК
Диалоговые семантики в моделях обмена
мнениями
Векторные
семантики

ДИАСЕМАНТИКИ

Игровые
семантики

Семантика Данна-Белнапа
и ее расширения

МОДАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИ
по Н. Решеру
Варианты интерпретации истинностных значений как модальностей

ВАРИАНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПОНЯТИЯ“МНЕНИЕ” НА БАЗЕ
МОДАЛЬНЫХ ИСТОННОСТНЫХ ОЦЕНОК

СЕМАНТИКА ДАННА-БЕЛНАПА:
мультиоценки истинности
Основная идея семантики Дж.Данна заключается в отказе
от принципа однозначности с допущением
истиннозначных провалов

N = { } = «ни истина, ни ложь»

и пресыщенных оценок истинности

B = {T, F} = «и истина, и ложь».
В первом случае оценки истинности и ложности понимают как
частичные, а во втором – как составные, амбивалентные.

В целом, речь идет о переходе от обычного множества
значений истинности V (например, V2 = 2 = {T, F}) к
множеству всех подмножеств 2V, задающему мультиоценку
истинности (например, 2V2= 4={T, B, N, F})

ЛОГИКА БЕЛНАПА B4
Логическая матрица:
LM B4 = ? {T,B,N,F}, {? , ?,?,? }, {T}?
Значения истинности:
T – Истина
F – Ложь
B – Истина и Ложь одновременно
N – Неопределенность (ни Истина,
ни Ложь)

От логической решетки L4 к
простейшей бирешетке 4
Логическая решетка: представление
с помощью диаграммы Хассе

Аппроксимационная решетка:

Таблицы истинности логических операций
для B4:
Логика Белнапа как
простейшая бирешетка 4

ДВУХКООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СИСТЕМ МОДАЛЬНОСТЕЙ.

Двухкоординатная интерпретация
модальностей

МНОГОМЕРНОСТЬ ИСТИННОСТИ:
ВЕКТОРНЫЕ СЕМАНТИКИ
Другая, пожалуй, менее известная идея Дж.Данна связана
с предложением понимать истинность как отношение,
которое не обязательно является функциональным.
Здесь можно провести параллель с трактовкой общей системы как отношения
на декартовом произведении «входы – выходы» в отличие от вход-выходной
функции в теории автоматов.

При этом в общем случае F(p) ? 1– T(p), т.е. «ложь» больше уже не
является дополнением «истины», а выступает в качестве вполне
самостоятельного понятия; таким образом, условия ложности
предложения должны определяться параллельно с условиями их
истинности.
Подобная двухмерная (векторная) семантика, исходящая из
независимости (симметрии) понятий истинности и ложности , была
предложена еще Н.А.Васильевым. Им ложность трактуется не как
отрицание истинности, а как независимое понятие (см. также работы
Л.В.Аршинского).
Двухмерная (двухосновная) семантика, может быть получена путем прямого

ОТ БИВАЛЕНТНОСТИ К N-ВАЛЕНТНОСТИ
Примерами естественных расширений принципа
бивалентности служат:
? принцип тривалентности T(p) ? F(p) ? I(p)
в трехзначных семантиках (например, в
семантике Клини)
? принцип тетравалентности T(p)? F(p)? B(p)? I(p)
в четырехзначной семантике Данна и Белнапа
и пр.
Дальнейшее обобщение подхода Данна и Белнапа
заключается в переходе к множеству нечетких
подмножеств значений истинности [0,1]V,
множеству L –нечетких подмножеств (в смысле
Дж.Гогена) значений истинности LV и т.д.

ОБОБЩЕННАЯ АЛГЕБРО-ЛОГИКОГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЛАСТИ
ЗНАЧЕНИЙ ИСТИННОСТИ
Пусть имеется множество X = [0,1]. Тогда множество всех биекций
f: X ? X образует группу.
Если ? X? = n, то данная группа называется симметрической группой
степени n и обозначается через Sn.
Будем использовать в качестве обобщенной геометрической
структуры для значений истинности правильный многоугольник
П n.

Диэдральная группа состоит из множества симметрий Пn.
Иными словами, это группа всех симметрических операций на
многоугольнике Пn, которые сохраняют его форму (топологические
свойства). Число таких операций, характеризующее порядок
группы, есть 2n.

БИУПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
КАК ОСНОВА МОДЕЛИРОВАНИЯ МЯГКИХ ОЦЕНОК
Биупорядоченным множеством [Avron,1995] называется
структура

BOS = ? X, ? 1, ? 2? ,
где X – непустое множество, содержащее, по крайней мере,
два элемента, ?1 и ?2 – два различных отношения порядка
(например, порядок истинности ? t и порядок знаний
? k),
а ?X,?1? и ?X,?2? – два различных упорядоченных множества.
Эта структура становится предбирешеткой, если оба
упорядоченных множества ?X, ?1? и ?X, ?2? образуют полные
решетки.

ОБЩИЙ СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МОДАЛЬНОСТЕЙ КАК
БИУПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА
Представление произвольной
системы модальностей как
биупорядоченного множества

Решетка 4 как общий
способ представления
модальностей

Сила модальности
Сильная
отрицательная
модальность,
? ? p = (0,1)

Сильная положительная
модальность, ? p = (1,1)

Сильная положительная модальность,
? p = (1,1)
Сильная
отрицательная

модальность,
Знак модальности ? ? p = (0,1)
Слабая отрицательная
модальность, ? p = (0,0)

Слабая
положительная
модальность,
? p = (1,0)

Слабая
положительная
модальность,
? p = (1,0)

Слабая отрицательная модальность,
? p = (0,0)

ПЕРЕХОД К ПРЕДБИРЕШЕТКЕ
МОДАЛЬНОСТЕЙ
Отношение “уверенности”

?p1 ?( x1 , y1 ), p2 ?( x2 , y2 ) ? P ; p1 ?v p2 ? x1 ? x2 и y1 ? y2
Отношение “предположения”

?pG
1 ?( x1 , y1 ), p 2 ?( x 2 , y 2 ) ? P ; p1 ?u p 2 ? x1 ? x 2 и y1 ? y 2
Предбирешетка модальностей:

Множество ? = {V,U,Y, W } с заданными на нем порядками образуют предбирешетку по
определению, однако, не образует бирешетку, т.к. не выполняется условие связи двух порядков.

ЧЕТЫРЕХЗНАЧНАЯ ЛОГИКА ML4
LMML4
ML4 = ? {V,U,W,Y}, {? , ? , ? }, {V}?
M = {V,U,W,Y}
V – Уверен в p
U – Допускаю p
W – Сомневаюсь в p
Y – Отвергаю p
? vm?? M, vm = (x,y)
x – сила модальности
y – знак модальности
Логические операции:
? = (min , max)
?= (max, min)

Интерпретация истинностных значений
в логике мнений ML16
Решетка логики мнений агента ML16 получается произведением логической
решетки L4 и решетки модальностей ML4. В результате получаем 16 значений,
отражающие истинность суждения и степень уверенности в нем.
Интерпретация истинностных значений в ML16.

Обозначим систему, включающую 16
приведенных в таблице логических
значений, как V16.

БИРЕШЕТКИ
Математическое понятие бирешетки ввел М.Гинзберг в 1988г.
Задание бирешетки требует введения специального
условия связи между двумя порядками..
У Гинсберга для этого предложена составная унарная
операция отрицания ? , такая, что
1) если x ? 1y, то ? x ? 1 ? y; 2) если x ? 2 y, то ? x ? 2 ? y;
3) ? (? x) = x.
По сути эта операция есть обобщение отрицания Белнапа.

Бирешетка есть четверка BL = ? U, ? 1, ? 2, ? ? ,
Очевидно, что бирешетка может рассматриваться как алгебраическая
структура BL = (X, ? 1, ? 1, ? 2, ? 2) с парами различных операций
пересечения и объединения.

ПРИМЕРЫ БИРЕШЕТОК КАК
НЕТРАДИЦИОННЫХ ЛОГИЧЕСКИХ СЕМАНТИК
?i

?i

i

(1, 1)
(0.5, 1)

f

t

(0, 1)

(1, 0.5)

(0.5, 0.5)

(0, 0.5)

(1, 0)
(0.5, 0)

(0, 0)

u

?t
Наименьшая бирешетка 4=22

?t
Бирешетка 9=32

Пример 1. Оценки теоретической и эмпирической истинности
Пример 2. Совместные оценки истинности и информации
Пример 3. Теория свидетельств (оценок на полярных шкалах)
EBL = {(x, y)?x?L1, y?L2},
где x – положительная оценка (степень уверенности, аргумент), а y – отрицательная оценка

20
(степень сомнения, контраргумент). В логике пара (x, y) часто называется суррогатом высказывания,

ДИАЛОГИЧЕСКИЕ VS МОНОЛОГИЧЕСКИЕ
КАТЕГОРИИ В ПРИКЛАДНОЙ ЛОГИКЕ
Вертикальная иерархия
логических категорий
для индивидуального
мышления
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сетевая структура
основных диалоговых
категорий
СОГЛАШЕНИЕ
ПЕРЕГОВОРЫ
ВОПРОСЫ

ОЦЕНКА

МНЕНИЕ ДИАЛОГ

СУЖДЕНИЕ

ОТВЕТЫ

НОРМА

ПОНЯТИЕ

ТРЕБОВАНИЕ

МНЕНИЕ

ОЦЕНКА

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И ПРИНЦИПЫ
ДИАЛОГИКИ И ДИАСЕМАНТИКИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

1. В отличие от вертикальной структуры классической
логической триады
«понятие – суждение – рассуждение»,
занимающей центральное место в традиционной
монологической структуре знания, в диалогике
на первый план выходят горизонтальные структуры,
определяемые обменом мнениями (переговоры)
между агентами в интересах построения соглашений
и коллективного принятия решений.
Соответственно, любое рассуждение здесь
рассматривается как диалогическое, а не как
монологическое.

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И ПРИНЦИПЫ
ДИАЛОГИКИ И ДИАСЕМАНТИКИ
(окончание)

2. Мнения агентов в диалогике строятся как комплексные
модализированные суждения, характеризуемые
частичной истинностью (ни у одного из агентов, если это
специально не оговорено, нет «монополии на истину»).
Соответственно, допускается возможность появления
истиннозначных провалов (разрывов) или, наоборот,
пресыщенных оценок истинности в МАС.
3. Отличительная особенность рассуждений в диалогике
заключается не столько в том, чтобы извлечь заключение
из посылок, сколько в том, чтобы увеличить уверенность
в этом заключении (или, в том, чтобы его опровергнуть).
4. Истинность любого суждения (валентность любой
формулы) в диалогике носит распределенный характер,
что обусловливает важность построения векторных
(многомерных) оценок истинности в МАС. Двухмерность
(многомерность) семантики есть следствие наличия двух
(или большего числа) ролей в МАС.

РАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИСТИННОСТИ:
ДИАЛОГОВЫЕ СЕМАНТИКИ
В диалоговых семантиках валентность любой
формулы p из множества Р определяется двумя
агентами: пропонентом a1 и оппонентом a2.
Пропонент a1, выдвигающий некоторый тезис (формулу) p,
стремится доказать его истинность, а оппонент a 2,
напротив, хочет опровергнуть его.
Пространство значений истинности имеет вид
VD = V1 ? V2,
так что оценка истинности формулы p в переговорах двух
агентов является двухосновной, vD: P? V1? V2.
Сам их диалог может быть представлен в виде четверки
DLG = ? А, P, v1, v2? ,
где А ={a1, a2}, p? Р, v1: Р? V1, v2: Р? V2

ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
СОГЛАШЕНИЙ: ПРОСТАЯ РЕШЕТКА
ПЕРЕГОВОРОВ (РЕШЕТКА СОГЛАСИЯ)
[Тарасов и Смагин , 2008]

T1

T2
?

F1

T = (T1,T2)
= I = (T1,F2)

F2

С4

F = (F1,F2)

E = (F1,T2)

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗНАЧЕНИЙ
ИСТИННОСТИ В ПЕРЕГОВОРНОЙ
РЕШЕТКЕ (РЕШЕТКЕ СОГЛАСИЯ)
Интерпретация полученных истинностных значений интуитивно ясна:
T= (Т1, T2) – «истина для обоих агентов» (согласованная истина);
F= (F1, F2) – «ложь для обоих агентов» (согласованная ложь);
I = (T1, F 2) – «истина для первого агента, ложь для второго»
(внутренняя истина);
E = (F1, T 2) – «ложь для первого агента, истина для второго» (внешняя
истина)
Если цель диалога формулируется как достижение соглашения, то
соответствующее отношение порядка можно интерпретировать как
порядок cогласия ?С.
Например, (F1, F2) ? С (T1, F 2) ? С (Т1, T2) означает, что ситуация «истина
для обоих агентов», равнозначная наличию согласия между ними,
будет предпочтительнее ситуации «истина одного агента – ложь
другого», когда согласия между агентами нет, но оно считается
возможным. Последняя ситуация предпочтительнее, чем «ложь для
обоих агентов», которая здесь отождествляется с невозможностью
согласия (или отказом от него).

ПЕРЕХОД ОТ РЕШЕТКИ ПЕРЕГОВОРОВ
С4 К РЕШЕТКЕ ДИСПУТА D4
T = (T1,T2)
I=(T1,F2)

С4

F=(F1,F2)

I
Е =(F1,T2)

F

D4

E

T

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗНАЧЕНИЙ
ИСТИННОСТИ В РЕШЕТКЕ ДИСПУТА
Повернув переговорную решетку С4 по часовой стрелке
на 90 градусов, получаем решетку диспута D4 с отношением
порядка ?D (порядок выигрыша).
Здесь можно использовать аргументационную семантику,
например, T – «аргумент найден», а F – «возражение не найдено».
При этом пара (T1,F2) интерпретируется как победа в диспуте
(споре) первого агента и поражение второго, поскольку первый
агент нашел неопровержимый аргумент;
(F1,T2) – как обратная ситуация;
(Т1,T2) – как ничья (аргументы обоих агентов взаимно опровержимы)
(F1,F2) – как отказ от спора.
Тогда, например, имеем (F1,T2) ? D (T1,T2) ? D (T1,F2), т.е. в логике
диспута D4 значение (T1,F2) следует брать в качестве выделенного
значения.

ЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
АГЕНТОВ ТИПА «ПОСТАВЩИК-ПРОДАВЕЦ»
на основе произведения двух четырехзначных логик
ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕФЛЕКСИИ АГЕНТА-ПРОДАВЦА

Логика действий поставщика A

Логика мнений продавца B о поставщике A

Agr
Fl

Bel
Crof

x
запрос

Dagr
Agr - принять заказ и выполнить
Dagr - отклонить заказ
Crof - выступить с контрпредложением
Fl - принять заказ и не выполнить

Dbt

Hyp
DBel

Bel - быть уверенным
Hyp - предполагать
Dbt - сомневаться
Dbel - не верить (или быть уверенным в
обратном)

Bel (B; Agr (A, p)) - Продавец B “уверен”, что поставщик A примет и выполнит заказ p
Hyp (B; Agr (A,p)) - Продавец B “предполагает”, что поставщик A примет и выполнит заказ p
Dbt (B; Agr (B,x)) - Продавец B “сомневается”, что поставщик A примет и выполнит заказ p
Dbel (А; Agr (B,x)) - Продавец B “не верит”, что поставщик A примет и выполнит заказ p

НЕЧЕТКАЯ ДИАЛОГОВАЯ ЛОГИКА
Нечеткие диалоговые логики
в бирешетках
Обобщение многозначных логик – нечеткая логика
переговоров
LMСFL = ? {[0,1] ? [0,1]}, {n, T, S, I}, {[?? ,1] ? [? ,1]}? ,
T1C(x,y) =(min {x1,y1}, min {x2,y2}) T1D(x,y) =(min {x1,y1}, max {x2,y2})
S1C(x,y) =(max {x1,y1}, max {x2,y2}) S1D(x,y)=(max {x1,y1}, min {x2,y2})






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.