ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ. МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИНФОРМАЦИИ И ЗНАНИЙ
В.Б.Тарасов
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана
E-mail: tarasov@rk9.bmstu.ru

ОНТОЛОГИИ В СИСТЕМЕ МОДЕЛЕЙ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ КЛАССИФИКАЦИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Универсальные алгебры:
Группоиды, Бинарные
алгебры, Многообразия
алгебр
Абстрактные алгебры:
Полугруппы, Группы,
Полурешетки, Решетки,
Полукольца, Кольца, тела

Основоположник алгебраической
логики в СССР – А.И.Мальцев

Анатолий Иванович
Мальцев (1909-1967)

Конкретные алгебры:
Симметрическая группа
cтепени n, Абелев моноид
треугольных норм,
Логическая решетка L4

Алгебраическая система
AS = ?? X, ? , П? ,
где X – непустое множество, называемое носителем или основой алгебраической
системы, ? – множество операций, П – множество предикатов.
Заметим, что в ? могут входить константы, которые рассматриваются как
нульместные функции. Объединение множеств операций и предикатов ? ? П
называется сигнатурой. Сам А.И. Мальцев называет сигнатуру типом, а две

АБСТРАКТНЫЕ АЛГЕБРЫ
Алгебраические системы
? Универсальные алгебры
? Реляционные системы
Алгебры
? Группоиды
? Полугруппы
? Моноиды
? Группы
? Группировки

?Упорядоченные множества
?Решетки
?Дистрибутивные решетки
?Алгебры де Моргана
?Алгебры Клини

УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО
Частично упорядоченное множество есть пара

POSET = ? X, ? ? ,

где X – множество,
? – отношение частичного порядка
(антисимметричное: если x ? y и y ? x, то x = y, ?x,y?X, x ? y
рефлексивное: x ? x, ?x?X
транзитивное: если x ? y и y ? z, то x ? z, ?x,y,z?X ).

Частично упорядоченное множество становится
цепью или линейно упорядоченным множеством,
если помимо условий антисимметричности,рефлексивности
и транзитивности выполняется еще и условие полноты
(линейности): либо x ? y, либо y ? x, ?x,y?X

РЕШЕТКА
Решеткой L называется такое частично упорядоченное
множество, в котором два любых элемента x и y имеют
точную нижнюю грань (пересечение) inf (x,y) = x ? y
и точную нижнюю грань (объединение) sup (x,y) = x ? y.
Любую решетку можно представить как алгебру
L = ? X, ? , ? ? ,
для которой выполняются следующие законы
1) идемпотентность:
2) коммутативность:
3) ассоциативность:
4) поглощение:

x?x=x
x?y=y?x
x ? (y ? z) = (x ? y) ? z
x ? (x ? y) = x

x?x=x
x?y=y?x
x ? (y ? z) = (x ? y) ? z
x ? (x ? y) = x

Таким образом, решетки представляют собой примитивный класс универсальных
алгебр с двумя бинарными операциями.

Решетка называется ограниченной, если в ней выполняются требования:
существования наименьшего элемента x ? 0 = 0 и x ? 0 = x
и наибольшего элемента x ? 1 = x и x ? 1 = 1.
Ограниченные решетки называются алгебрами (в узком смысле слова)

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic. J. Beziau, University of Neuchatel,
Switzerland (Ed.) Birkhauser Verlag, 2008.

Универсальная логика – это не новая логика, а скорее попытка построить
общую теорию логик, рассматриваемых как математические (в частности,
алгебраические, геометрические, топологические) структуры.
Причина возникновения: реакция на логический плюрализм, появление сотен новых
логик в последнее время, что влечет за собой потребность их систематизации и
упорядочения.
Главный инициатор: Ж.-И. Безье (универсальная логика играет роль, аналогичную
роли универсальной алгебры при изучении различных алгебраических структур)
Прародители: А.Тарский, А.Линденбаум, С.Яськовский
Примеры основных понятий универсальной логики: логическая система, логическая
операция, логическое следование, логическая матрица, многозначные логики
Логической матрицей называется тройка LM = ? V, ? , D ? ,
где V есть непустое множество значений истинности;
? – множество операций над значениями истинности v из V;
D ? V – множество выделенных значений истинности.
Замечание. Логическая матрица LM может быть представлена
парой LM = ? UA, D ? , где UA – универсальная алгебра с
сигнатурой ?1,…,?n.

Под логикой (по Р.Вуйцицкому)
понимается пара ? = ? X, Cn? ,
где X – множество логических
формул, а Сn – оператор
присоединения следствий,
который удовлетворяет условиям:
монотонности, рефлексивности,
идемпотентности, структурности.

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
Последовательно убираются основные законы КЛ Дж.Буля:

0) закон тождества p=p;
1) закон полноты (исключенного третьего) p ?? p;
2) закон непротиворечивости ? (p ? ? p);
3) закон отрицания отрицания (закон инволютивности)? (? p)= p;
4) закон материальной импликации (из лжи следует все что угодно)
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ
ЛОГИКИ
нет 2)

нет 1)
ПАРАПОЛНЫЕ
ЛОГИКИ

нет 3)

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВЫЕ
ЛОГИКИ
нет 4)

ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ
ЛОГИКИ

РЕЛЕВАНТНЫЕ
ЛОГИКИ

ПАРАНОРМАЛЬНЫЕ
(НЕЧЕТКИЕ) ЛОГИКИ

нет 1) и 2)

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ЛОГИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКИ
1) Принцип бивалентности
T(p) ? F(p)
2) Принцип однозначности
T(p)={t}(p), F(p)={f}(p),
3) Принцип дополнительности
Т(p)+T(? p) = 1
4) Принцип симметрии
T(? p) = – T(p)

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
LM2 = < {0,1}, { ? , ? , ? , ? , ? }, {1} >

РАСШИРЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ

ПЕРЕОСМЫСЛЕНИЯ
КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Примеры

Логика возможностей Л.Заде
LMPL= < {0,1}, { ?, ?, ?, ?, ?, П}, {1} >
1) П(р) = 1 – N(? p), N(р) = 1 – П(? p);
2) П(p?q) = max{П(p), П(q)},
N(p?q) = min {N(p), N(q)};
3) П(р) + П(? p) ? 1, N(р) + N(? p) ? 1;
4) П(р?Т) =1, N(р ? F) = 0;
5) П(р) = П(? p) = 1, N(р) = N(? p) = 0.

Расширенная нечеткая
лингвистическая логика

LMЕFLL=
где [?,1] ? [0,1], а операции: отрицание
n, треугольная норма T, треугольная
конорма S, обобщенная импликация I,
эквиваленция E заданы
функционально-аксиоматическим
способом

ПРИНЦИП НЕСОВМЕСТИМОСТИ Л.Заде
По мере роста сложности
исследуемой системы наша
способность точно описывать
ее поведение уменьшается
вплоть до порога, за которым
точность и содержательность
(релевантность) становятся
взаимоисключающими
характеристиками
Лотфи Заде и Президент
Российской ассоциации нечетких
систем и мягких вычислений,
проф. Н.Г.Ярушкина (Канкун,2007)

КОНЦЕПЦИЯ ГРАНУЛЯЦИИ
ИНФОРМАЦИИ Л.ЗАДЕ
МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ
ИНФОРМАЦИИ

Zadeh L.A. Fuzzy Sets and Information
Granularity// Advances in Fuzzy Sets
Theory and Applications/ Ed. by
M.M.Gupta, R.K.Ragade, R.R.Yager. –
Amsterdam: North-Holland Publishing
Company, 1979. – P.3-20.

ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ
НЕЧЕТКАЯ
ЛОГИКА

ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ

ОБОБЩЕННЫЕ
ОГРАНИЧЕНИЯ

ВЫЧИСЛЕНИЯ
СО СЛОВАМИ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

АНАЛИЗ ОСНОВАНИЙ НЕЧЕТКИХ
ЛОГИК ДЛЯ ИНФОРМАТИКИ И
ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
1. ЧТО ТАКОЕ «ЛОГИЧЕСКИЙ ПЛЮРАЛИЗМ»?
2. ЧТО ЕСТЬ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА?
3. ЧТО ТАКОЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ?
4. ЧТО ТАКОЕ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА?
5. ЧТО ТАКОЕ НЕЧЕТКИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И
ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА?
6. ЧТО ТАКОЕ НЕЧЕТКИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И
ЗАКОНЫ?

ЧТО ЕСТЬ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА?
НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
Нечеткая логика, как правило, понимается в двух смыслах:
широком и узком.
Основоположник теории нечетких множеств Л.Заде стал
инициатором широкой трактовки нечеткой логики как
системы формальных средств обработки естественного
языка, включающую лингвистические переменные, нечеткие
правила и ограничения, композиционное правило вывода,
гранулирование информации, нечеткую семантику,
вычисления со словами.
Нечеткая семантика ? Семантика обобщенных ограничений

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА В УЗКОМ СМЫСЛЕ

В узком смысле, нечеткая логика – это некоторая логическая система,являющаяся

расширением многозначной логики. Однако, даже в этом случае список основных
операций нечеткой логики очень отличается как по духу, так и по содержанию от
списка основных операций для систем многозначных логик.
По мнению П.Хаека, базовые системы нечеткой логики опираются на:
интервал значений истинности [0,1], непрерывные треугольные нормы T,
используемые в качестве конъюнкций, и их резидуалы – как функции
импликации I.
Таким образом, соответствующая логическая матрица имеет вид:

LMFL= ? [0,1], n, T, I ? .
Наиболее известными примерами нечетких логик служат логика Заде,
мультипликативная логика, логика Лукасевича,

Tz(x,y) = min {x, y}, ? x, y ? [0,1]
Iz(x,y) = max {1–x, y}, ? x, y ? [0,1]
Tp(x,y) = x ? y , ? x, y ? [0,1]
Ip(x,y) = 1 – x + xy, , ? x, y ? [0,1]
TL(x,y) = max {0, x + y –1}, ? x, y ? [0,1]
IL(x,y) = min {1, 1–x+y}, ? x, y ? [0,1]

Petr Hajek (1940) Vilem Novak(1951

ПРИРОДА ГРАНУЛ: НЕ-ФАКТОРЫ
В ИНФОРМАТИКЕ И ИИ
Термин «НЕ-факторы», введенный А.С.Нариньяни
(1980), служит для обозначения комплекса факторов,
которые выражаются словами, имеющими негативные
оттенки в естественном языке, слабо отражены в
классической математике, но оказываются
неотъемлемыми характеристиками человеческих знаний.
НЕ-факторы лексически и содержательно отрицают одно
из свойств классических моделей знаний, например,
Александр Семенович
классической логики предикатов 1-го порядка:
Нариньяни (1937-2010)
определенность, полноту, непротиворечивость,
«Недоопределенность в системе
точность, однозначность, замкнутость, монотонность,
представления и обработки знаний»;
и пр.
«Между знанием и незнанием:
Сегодня моделирование как отдельных НЕ-факторов,
так и взаимосвязей между ними становится одной из
ключевых задач искусственного интеллекта, в особенности,
теории агентов и многоагентных систем.

наивная топография»
Международная конференция
«ДИАЛОГ. Компьютерная лингвистика
и интеллектуальные технологии»

Разработка проблематики НЕ-факторов уже не ограничивается промежуточной областью
между знанием и незнанием, «наивную топографию» которой очертил А.С.Нариньяни, а
охватывает куда более обширную сферу построения интеллектуальных систем новых
поколений, включая моделирование интенций, процессов коммуникации, кооперации,
координации, переговоров и др.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
(по А.Н.Борисову)

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
ОБЪЕКТИВНАЯ
СТОХАСТИЧЕСКАЯ
случайность

НЕИЗВЕСТНОСТЬ

ПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

СУБЪЕКТИВНАЯ
НЕСТОХАСТИЧЕСКАЯ
(лингвистическая)

НЕТОЧНОСТЬ

НЕЧЕТКОСТЬ

ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА
РАННИХ СТАДИЯХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ:
ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ + ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ

НЕПОЛНОТА,
фрагментарность
исходных данных и
экспертных суждений,
связанные с незнанием
(частичным знанием)
отдельных свойств
будущей системы и
условий ее работы

НЕТОЧНОСТЬ:
НЕЧЕТКОСТЬ
принципиальные
представлений
ограничения
о взаимосвязях
по точности
проектных параметров,
определения как
отсутствие аналитических
качественных факторов,
зависимостей,
так и количественных
вычислительная
параметров
сложность

ИНФОРМАЦИОННЫЕ НЕ-ФАКТОРЫ
НЕ-ФАКТОРЫ

НЕПОЛНОТА

1.
2.
3.
4.

5.

ПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

НЕТОЧНОСТЬ

НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ

НЕЧЕТКОСТЬ

Неполнота информации – локальное восприятие среды.
Неточность – интервальное ограничение по точности восприятия.
Противоречивость информации, поступающей из разных
источников.
Неоднозначность предполагает наличие некоторого распределения
информации (вероятности, возможности, правдоподобия,
уверенности и пр.).
Нечеткость. Нечеткое значение приписывается лингвистическим,
качественным оценкам.

НЕ-ФАКТОРЫ РАЗВИТИЯ
НЕ-ФАКТОРЫ РАЗВИТИЯ
НЕОБРАТИМОСТЬ

НЕРАВНОВЕСНОСТЬ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНОСТЬ

1. Необратимость – направленность эволюции (во времени)
Необратимость выступает как всеобщая асимметрия природы,
как процесс постоянного нарушения симметрии при развитии.
Необратимость ? Кооперативность
2. Неравновесность – порождение порядка из хаоса, причина
спонтанного структурогенеза в системах
Неравновесность ? Упорядочение
3. Неустойчивость – несохранение близости состояний системы в ходе ее
эволюции. Неустойчивое состояние системы – необходимое условие ее развития.
Связь неустойчивости и эволюции через бифуркации
Неустойчивость ? Самоорганизация
4. Нелинейность – нарушение аддитивности в процессе развития системы
(принцип суперпозиции не работает)
Нелинейность ? Интеграция

НЕ-ФАКТОРЫ В МАТЕМАТИКЕ:
некоторые примеры
Альтернативная теория множеств (П.Вопенка, М.Сохор) –

предлагается интерпретация бесконечности как нечеткости,
свойственной «необозримому конечному». Также в русле идей
релятивизма вводится понятие «горизонта», вблизи которого
возникают феномены неразличимости и нечеткости

Теория некорректных задач
В 1923 г. Ж.Адамар высказал предположение, что всякая
математическая задача, соответствующая той или иной технической
проблеме, должна быть корректной, т.е. ее решение должно быть
единственным и устойчивым. Последнее означает, что малым
изменениям исходных данных должны отвечать малые отклонения
решения.
К некорректным относится широкий класс обратных задач физики, в
частности, задач обработки результатов экспериментов или задач с
приближенно определенной информацией. Для решения подобных
задач А.Н.Тихонов и сотр. Разработали специальную теорию
регуляризацию, которая позволяет строить эффективные численные
алгоритмы решения.

ПОНЯТИЕ ГРАНУЛЫ
Понятие «гранула» и термин «грануляция информации ввел Л.Заде в 1978 г.
Однако предшественником теории грануляции может по праву считаться
Ст.Лесьневский

Грануляция информации основана на неклассическом представлении
множества. Классическое понятие множества опирается на два
основных принципа: принцип принадлежности и принцип
различимости его элементов.
В то же время, гранула есть совокупность неразличимых объектов,
определяемая только их типом и количеством.
Онтология гранул – это онтология представления сложных единиц
информации и выявления знаний из данных.
Под гранулой понимается группа объектов, объединяемых
неразличимостью, сходством, близостью (т.е. отношениями,
обладающими, по крайней мере, свойствами симметричности и
рефлексивности).
По сути, термин «гранула»
означает динамическую
целостную информационную
структуру, организованную
для достижения некоторой
цели.

МЕРЕОЛОГИЯ Ст. ЛЕСЬНЕВСКОГО
Важным примером онтологии является мереология.
Мереологией называется учение о частях целого. Как известно, в
классической теории множеств активно используются постулат
различимости элементов, а также понятие пустого множества.
В отличие от этого мереология:
1)
делает акцент на целостности множества как «коллективного класса»,
что позволяет считать ее прямой предшественницей теории грануляции
Л.Заде;
2)
основана на единственном отношении «быть частью»;
3)
обходится без пустого множества.
Мереология Лесьневского (партономия) опирается на следующие аксиомы,
которые положены в основу ряда моделей пространства:
1. Любой предмет есть часть самого себя (аксиома рефлексивности).
2. Две различные вещи не могут быть частями друг друга: если P – часть
предмета Q, то Q не есть часть предмета P (аксиома
антисимметричности).
3. Если P есть часть предмета Q, а Q – часть предмета R, то P есть часть
предмета R (аксиома транзитивности).
Таким образом, отношение «часть–целое» рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением нестрогого
порядка.

ПРИМЕРЫ СИНГУЛЯРНЫХ И
ГРАНУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ТИПИЧНЫЕ МОДЕЛИ ГРАНУЛ
? Интервалы
? Вложенные множества
? Недоопределенные множества
? Переопределенные множества
? Приближенные множества
? Мультимножества
?
Нечеткие множества
? Лингвистические переменные
Примитивы языка гранулярных вычислений
– покрытия, разбиения, окрестности

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЧЕТКИХ ГРАНУЛ:
разбиение на основе отношения эквивалентности
Простейший вариант грануляции информации есть разбиение
универсального множества, т.е. его разделение на n непустых и
неперекрывающихся подмножеств:
X = A1 ?... ?An (покрытие),
где Ai ?Aj = ?, i, j = 1,...,n
Пример четкой гранулы
Хорошо известным примером функциональной грануляции служит антропоморфная
грануляция автономного робота на базовые мехатронные компоненты: А1 – «тело»
(двигательная система, обеспечивающая перемещение робота); А2 – «голова» или «мозг» –
системы управления; А3 – «органы чувств» (сенсорные системы); А4 – «языки» (система
коммуникации).

Разбиение можно определить как фактор-множество, индуцируемое
отношением эквивалентности. Бинарное отношение R?X?X называется
отношением эквивалентности E, если оно удовлетворяет условиям
рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение
эквивалентности E разбивает исходное множество X на
непересекающиеся подмножества. Это разбиение множества X называется
фактор-множеством, индуцированным отношением эквивалентности E и
обозначается в виде
X/E ={[x]E ?x?X},
где [x]E = {y ?y?X; xEy} – класс эквивалентности, содержащий x.

ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ
МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИЙ
Еще Дж.фон Нейман отмечал, что понятия функции и множества
являются взаимозаменяемыми: функция может быть рассмотрена
как множество упорядоченных пар, а множество может быть
выражено с помощью его характеристической функции:
1, если x? X
f(x) =
0, если x? X

Нечеткое множество – это совокупность упорядоченных пар
А = {(x, ? A(x)}, x?Х, ? A(x)?[0,1] [Zadeh, 1965] или
нечеткое множество есть функция ? A: Х ? [0, 1]
L-нечеткое множество А: X ? L [Goguen, 1967], где L – решетка.
Если взять понятие функции как первичное, то можно строить разные
теории путем наложения ограничений на область определения и область
значений рассматриваемой функции. Этот единый подход приобрел
особую актуальность при построении нестандартных нечетких теорий и
гибридных нечетких моделей, например, теории интуиционистских
нечетких множеств или теории нечетких мультимножеств.

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ
НА ОСНОВЕ ПОНЯТИЯ ОКРЕСТНОСТИ
Понятие гранулы можно задать как окрестность элемента (точки) x.
Напомним, что на числовой оси окрестность точки – любой
интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку.
Пусть ? X, ? ? – метрическое пространство. В этом случае
окрестностью с центром в точке y называют множество
А? = { x? X ? ? (x, y) ? ? }
Таким образом, каждой точке x?X можно поставить в соответствие
некоторое подмножество, называемое окрестностью точки, а
семейство таких подмножеств образует систему окрестностей.
В частности ?-окрестность можно описывать как расстояние.
Бинарное отношение R называется расстоянием (метрикой) ?, если
оно удовлетворяет следующим условиям:
1) R(x, x) = 0 , ?(x, x)? X ? X (антирефлексивность);
2) R(x, y) = R(y, x), ?(x, y), ( y, x) ? X ? X (симметричность);
3) R(x, z) ? R(x, y) ? R(y, z)}, ? (x, z), (x, y), (y, z) ? X ? X
(транзитивность).
По сути, понятия разбиения и окрестности являются примитивами
языка гранулярных вычислений, где им соответствует термин
«гранула»

НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Нестандартные множества с областью недоопределенности или
переопределенности

X = ?X +, X ?, X 0?, где X+= {x? x?X }, X ? = {x? x?X }, X 0 = {x? x ?X }
Представление трехзначной характеристической функцией в духе идей
Н.А.Васильева f (x)?{+1, 0,5, 0}
Область
определенности

X+
X
Область
неопределенности

CВЯЗЬ МЕЖДУ ИЕРАРХИЕЙ И
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
H = (X+,X0), X+?X, X0 = X \ X+

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ
НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ
1. Переопределенное множество – это множество с избыточной и
противоречивой информацией относительно принадлежности
его элементов
Аsd

+1, если x? A;
? f(x) = 0.5, если x(??? )А;
0, если x? А.

2. Недоопределенное множество – это множество с неполной
информацией относительно принадлежности его элементов
Аud ? f(x) =

+1, если x? A;
0.5, если x(? ?? ? ? )А;
0, если x? А.

ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть Х – множество, а R ? X?X –
отношение неразличимости
(эквивалентности).

Павляк З. Приближенные
множества – основные
понятия// Логические
исследования. Вып.1. – М.:
Наука, 1993. – С.6-19.

Тогда пара?=(Х, R) образует пространство приближений.
Классы эквивалентности по отношению R называются
элементарными множествами в пространстве приближений
?, а любая совокупность элементарных множеств образует
составное множество в ?.
Произвольное подмножество A? X можно точно определить
на основе имеющейся информации, т.е. классов
эквивалентности.
Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами,
которые называются нижним приближением RХ = {x? ? x? R? X}
(наибольшее составное множество, содержащееся в Х)
и верхним приближением RХ = {x? ? x? R? X} (наименьшее

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО
МНОЖЕСТВА

Нижнее приближение есть множество всех объектов, которые определенно принадлежат Х,
а верхнее приближение – множество всех объектов, которые возможно принадлежат Х.
Приближенное (аппроксимируемое) множество расположено между этими двумя приближениями

RХ ? Х? RХ
Для каждой пары приближений различаются три различных области:
1) POSR (Х) = RХ (R – положительная область X, в которой все объекты определенно принадлежат
множеству X);
2) NEGR (Х) = U \ Х (R – отрицательная область X, в которой все объекты определенно принадлежат
дополнению X' к множеству X);
3)BNDR(Х) = Х \ RХ (R-пограничная область X, где содержатся все объекты, которые не могут быть с

ОБОБЩЁННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ И
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Понятие обобщенного ограничения является ключевым
для общей теории неопределенности Л.Заде.
Речь идет о переводе предложений, естественного языка
на язык обобщенных ограничений (ЯОО)

X isr R,
где X – переменная, R – гибкое, эластичное ограничение
на эту переменную, а isr – связка, в которой r является
переменной, а ее значение определяет способ, которым R
ограничивает X.

ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
Лингвистической переменной называется
такая переменная, значениями которой
могут быть не только числа, но и слова
или словосочетания какого-либо
естественного или искусственного языка
[Заде,1976].
Формально лингвистическая переменная
описывается пятеркой

LV = ?L, T, U, G, M?,

где
L – название переменной;
T – терм-множество, т.е. совокупность ее
лингвистических значений (лингвистических
меток);
U – универсальное (числовое) множество;
G – множество синтаксических правил, с
помощью которых производится расширение
исходного множества Т, т.е. генерируются новые
термы t с применением слов (модификаторов)
естественного или искусственного языка,
G: T ? T*, где T* – расширенное множество
лингвистических значений;
M – множество семантических правил, т.е. нечетких
соответствий вида M: T U, выражающих отношение
полиморфизма (соответствия «один – ко – многим»)
между множеством лингвистических значений T и
универсальным множеством U; отдельное
семантическое правило m?M ставит в соответствие

На Всемирной конференции
Международной ассоциации нечетких
систем IFSA-2007 (Мексика, Канкун, 2007)

ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ
ПЕРЕМЕННАЯ
«СТОИМОСТЬ» [Заде, 1976]
СТОИМОСТЬ
ТОВАРА

Название
лингвистической
переменной

Очень
дешево

Дешево

0,4
1
0

0,7

Довольно
дешево

1
0,8
2500

Не дешево
Довольно Дорого
и не
дорого
дорого

0,3
0,5

L

1
5000

0,3

1

0,4

Очень
дорого

0
0,9

7500

T
1

0,6
10000

X

ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
«ИСТИННОСТЬ» [Заде, 1976]

ИСТИННОСТЬ

Не истинно
Скорее
Более
Абсолютно
Абсолютно
Ложно ложно, чем
и не
или менее Истинно
ложно
истинно
истинно
истинно
ложно

1

0,4
0,7

0

1
0,8
0,25

0,3
0,5

1
0,5

0,3

1

0,4

0
0,9

0,75

1
0,6
1

Идея градуированных и гранулированных значений истинности

ЧТО ТАКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
В СМЫСЛЕ Л.ЗАДЕ?
Полиморфное соответствие между
лингвистическими и числовыми значениями
лингвистической переменной – пример
перехода от измерения к оцениванию
M: T

X

M-1: X

T

Типичная область использования: нечеткие
регуляторы: 1) M-1 – фаззификация;
2) M - дефаззификация

ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ
МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИЙ
Еще Дж.фон Нейман отмечал, что понятия функции и множества
являются взаимозаменяемыми: функция может быть рассмотрена
как множество упорядоченных пар, а множество может быть
выражено с помощью его характеристической функции:
1, если x? X
f(x) =
0, если x? X

Нечеткое множество – это совокупность упорядоченных пар
А = {(x, ? A(x)}, x?Х, ? A(x)?[0,1] [Zadeh, 1965] или
нечеткое множество есть функция ? A: Х ? [0, 1]
L-нечеткое множество А: X ? L [Goguen, 1967], где L – решетка.
Если взять понятие функции как первичное, то можно строить разные
теории путем наложения ограничений на область определения и область
значений рассматриваемой функции. Этот единый подход приобрел
особую актуальность при построении нестандартных нечетких теорий и
гибридных нечетких моделей, например, теории интуиционистских
нечетких множеств или теории нечетких мультимножеств.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
1. Всем подмножествам универсального множества
X cтавится в соответствие упорядоченная структура:

x ? F y ? x есть в большей степени F, чем y
2. Упорядочение по принадлежности производится на
шкале принадлежности M: x ? Fy ? ? F (x) ? ? F

(y )

3. Шкала принадлежности может быть как числовой:
интервалы [0, 1], [?1, +1], [0,?), подинтервалы этих
интервалов, так и нечисловой: упорядоченное
множество, решетка L и пр.

СЕЧЕНИЕ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА:
МНОЖЕСТВО ?-УРОВНЯ
Четкое множество уровня (?-сечение)
нечеткого множества определяется в виде

A? = {x? ? А(x) ?? },
x?X, ??[0, 1].
C другой стороны, A? есть образ интервала
[?, 1] при обратном отображении ?–1, т.е.

A?= ? –1 [? , 1].

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЦЕПЕЙ И РЕШЕТОК
КАК ОБЛАСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
1.ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

? ? : X ? [0,1]m

[De Luca and Termini, 1974]

? ? : X ? F1 ? … ? Fm

[Koczy, 1974],

где Fi , i = 1,…, m ? ограниченные линейно
упорядоченные множества

2. ГЕТЕРОГЕННЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

?? L1{x1} ? L2{x2} ? … ? Ln{xn} [Kaufmann, 1977]

ПУТИ МОДИФИКАЦИИ ИСХОДНОГО
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЧЕТКОГО
МНОЖЕСТВА Л.ЗАДЕ

U = X;

? : X ? [0,1]

2. Область определения функции
принадлежности U
? Множество всех подмножеств: U = 2X –
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА УРОВНЯ [Radecki, 1977]
? Множество всех нечетких подмножеств
U = [0,1]X – НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА ТИПА 2
? Множество действительных чисел U = R –
НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
и пр.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
И ИХ СВОЙСТВА
Обозначение отношений

Название отношений

R1 – быть дальше
R2 – быть ближе

Р

С

Т

АР

АС

Строгий порядок

+

+

+

Строгий порядок

+

+

+

R3 – быть равноудаленным

+

R4 – быть рядом

+

R5 – быть спереди (напротив)

Строгий квазипорядок

+

+

R6 – быть сзади

Строгий квазипорядок

+

+

R7 – быть сбоку

Строгий квазипорядок

+

+

R8 – быть правее

Строгий квазипорядок

+

+

R9 – быть левее

Строгий квазипорядок

+

+

R10 – быть больше

Строгий порядок

+

+

+

R11 – быть меньше

Строгий порядок

+

+

+

R12 – быть равным

Тождество

R13 – быть внутри

Строгий порядок

+

+

+

+

+
+

НЕЧЕТКАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

FAS = ?? F(X), R, ? ? ,
где F(X) = {A ? A: X ? L}, R = {r ? r: X? X ? L},
? = {? jj}, ? ст= {? , ? , ', CON, DIL}
Частные случаи FAS
1. Вполне нечеткое множество [Ponasse,1984] интегрированная модель, выражающая представления о
принадлежности и неразличимости элементов множества
А = < X, ? , ? >, где ? :

X ? [0,1], ? : X ? X ? [0,1].

2. Нечеткая логическая матрица FLM=,
где F(V) = [0, 1]V, D? F(V).

ТРЕУГОЛЬНЫЕ НОРМЫ И КОНОРМЫ
В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
В теорию нечетких множеств треугольные нормы и конормы ввели
К.Альсина, Э.Трильяс и Л.Вальверде (см. [Alsina et al., 1980 и 1983;
Трильяс и др., 1986] в интересах развития концепции плюрализма
операций над нечеткими множествами и построения единого
функционально-аксиоматического подхода к определению операций
пересечения и объединения нечетких множеств.
Треугольные нормы и конормы были подробно исследованы и
использованы с целью упорядочения по силе различных видов
пересечения и объединения нечетких множеств, а также в рамках
построения новых обобщенных параметризованных нечетких
операторов (семейства операторов Гамахера, Сугено,Ягера, Домби,
Франка и др.). Появились меры неопределенности на базе треугольных
норм и конорм, меры противоречивости и пр.
См. работы [Dubois and Prade, 1980 и 1982; Klement, 1982; Weber, 1983; Yager, 1980].

Понятие треугольных полунорм и полуконорм предложили Suarez Garcia и Gil
Alvarez [Suarez Garcia и Gil Alvarez, 1986].
Обобщение исходных понятий треугольных норм и конорм на случай
ограниченных упорядоченных множеств предложено в работе [De Cooman and

ТРЕУГОЛЬНЫЕ ПОЛУНОРМЫ
И ПОЛУКОНОРМЫ
Пусть L – решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.

Бинарная операция

T: L ? L? L

S: L ? L ? L,

называется
треугольной полунормой, треугольной полуконормой,
если удовлетворяются следующие условия:
? ограниченность
1) T(0, 0) =0, T(x, 1) = T(1, x) = x,
1?) S (1, 1) = 1, S(x, 0) = S(0, х) = x,
? x ? L;
? монотонность
2) x? u, y? v ? T(x,y) ? T (u,v),
2?) x ? u, y ? v ? S(x, y) ? S (u,
v),
? x , y , u , v ?L .

ПРИМЕРЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ НОРМ И
КОНОРМ
Треугольные нормы Т

Треугольные конормы S

Каноническая (максимальная)
треугольная норма
T0 (x,y) = min{x,y}, ? x,y ? L

Каноническая (минимальная)
треугольная конорма
S0 (x,y) = max{x,y}, ? x,y ? L

Вероятностная треугольная норма Вероятностная треугольная конорма
Tpr(x,y) = x y, }, ? x,y ? L
Spr (x,y) = x +y – x y, }, ? x,y ? L
Треугольная норма Лукасевича
(ограниченное произведение)

Треугольная конорма Лукасевича
(ограниченная сумма)

ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ
НОРМЫ И ОТРИЦАНИЯ
Примеры. 1. Семейство треугольных норм Гамахера TH
TH(x,y) = x y / [? + (1 – ? )(x+y – xy)],

0 ??? ? ?

При ?=1 имеем Tp(x,y).
2. Семейство треугольных норм Сугено TS
TS(x,y) = max [0, x + y – 1 – ? (1-x) (1 – y )],

– 1 ?? ? ? ?

При ? =0 имеем Tb(x,y).
3. Семейство треугольных норм Ягера TY
TY(x,y) = 1 – min [1, (1 – x)q + (1 – y)q]1/q,
При q ? ? имеем TZ(x,y)

0 ?? q ? ?

УНИНОРМЫ
Обобщения t-норм и t-конорм – унинормы U.
Пусть L – решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1.

Бинарная операция

U: L ? L? L
называется унинормой, если выполняются следующие
условия:
? наличие нейтрального элемента

e ? L, такого, что U (x, e) = U (e, x) = x, ? x ? L;
? монотонность
x? u, y? v ? U (x,y) ? U (u,v), ? x, y, u, v ? L;
? коммутативность
U (x, y) = U (y, x), ? x, y ? L;
? ассоциативность
U (U (x, y), z) = U (x, U (y, z)), ? x, y, z ? L .

УНИНОРМЫ
Унинормы в интервале [0,1] были предложены Р.Ягером
и В.Рыбаловым [Yager and Rybalov, 1996] и исследованы
в работах Я.Фодора,С.-К.Ху и З.-Ф.Ли, М.Маэс. Структура
унинорм подробно описана в [Fodor et al., 1997; Yager, 2001].
В общем случае нейтральный элемент e может отличаться от нуля
или единицы. При e = 0 унинорма превращается в t-норму, а при e =1
она становится t-конормой.
Унинормы ведут себя поочередно как операции конъюнкции и
дизъюнкции в различных зонах области [0, 1]2. Для n–арной операции
берется область [0, 1]n или даже произвольный гиперкуб [a,b]n. Тогда
многие операции, применяемые в экспертных системах, оказываются
унинормами (в частности, операции, использованные в системах MYCIN и
PROSPECTOR, являются унинормами, например x?y = xy / [xy + (1-x)(1-y)].
Важный класс унинорм, называемый представимыми унинормами, обладает
аддитивными генераторами: g: [0,1] ? [–? ,+? ], g (e) = 0, g (0) = – ? , g(1)= +? .
При этом унинорма определяется выражением

f (x, y) = g–1(g(x)+g(y)

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ
Основными характеристиками любого множества являются границы
и мера.
Понятие меры есть одно из важнейших математических понятий, как, впрочем,
и понятие интеграла, соответствующего данной мере. Оно является
естественным обобщением понятия длины отрезка, площади плоской фигуры,
объема пространственной фигуры. Классические меры удовлетворяют условию
аддитивности.

Пусть А и В– некоторые события, а Х – полное множество
событий.
Мерой называется функция множества

m: 2X ? R+,

R+=[0,?),

которая удовлетворяет следующим условиям:
1) ?А?2X, А?X ? m (A) ?0;
2) m(?) = 0;
3) ? А, В ?2X, m (A ? B) = m (А) + m (В) – m (A ? B).

КРИТИКА АКСИОМЫ АДДИТИВНОСТИ
Требование аддитивности меры является слишком жестким
и ограничительным для многих практических задач информатики,
в частности, для процедур экспертного оценивания и
формирования мнений.
Существует гипотеза о том, что неаддитивность есть одно из
фундаментальных отличий процедур оценивания от процедур
измерения.
Тогда в качестве базы для оценивания предлагается
пространство с предмерой Г= (X, ? , u), где предмера u
удовлетворяет лишь условиям ограниченности и монотонности

Таким образом, произвольная псевдомера, называемая
также неклассической (неаддитивной) мерой , строится
как однопараметрическое расширение обычной меры путем
замены стандартной аксиомы аддитивности каким-либо
более общим условием.

МЕРЫ СУГЕНО
Мерой Сугено называется функция множества
g: 2X ? [0,1],
для которой выполняются следующие условия
1) g(?) = 0, g(Х) =1 (ограниченность)
2) ?А,В?2X, А?В ? g(A) ? g(B) (монотонность)
3?) ?А,В?2X, А?В=? ? g(A?B) = g(А)+g(В) + ?g(А)+g(В) (?-правило)
?1 ? ? ? ? .
4) ?Аn?2X, n=1,2,… если А1 ? А2 ?…, или А1 ?А2 ? …, то
lim g(Аn) = g (lim Аn) (непрерывность)
n??

n??

В общем случае ?-правило записывается в виде
g? (?Аi ) = ? g(Аi) + ? П g(Аi), ?1 ? ? ? ?.
Это правило получается из уравнения ?+1 = П(1+ ?i).
В результате при ??0 получаем семейство субаддитивных мер:
? А, В ?2X, g?(A ? B) ? g?(А) + g?(B),
а при –1???0 – семейство супераддитивных (синергетических) мер
? А, В ?2X, g? (A? B) ? g?(А) + g?(B).
При ?=0 мера Сугено превращается в обычную аддитивную

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ:
МЕРЫ ДОВЕРИЯ И ПРАВДОПОДОБИЯ
Одними из первых ученых, предложивших применять неклассические
меры (псевдомеры) в интересах описания экспертных суждений
(свидетельств), стали А.Демпстер и Дж. Шейфер.
Так Демпстер ввел функции верхних и нижних вероятностей,
индуцируемых многозначными отображениями.
В свою очередь, Шейфер построил теорию свидетельств на основе
двух классов монотонных неаддитивных мер – мер доверия и мер
правдоподобия.
Мерой доверия называется монотонная функция множества
b: 2X ? [0,1],
удовлетворяющая следующим условиям:
(а) b (?) = 0, b (Х) =1
(б) ?А,В?2X, b (A ? B) ? b (A) + b (B).
Здесь условие (б) определяет свойство супераддитивности.
Пусть A? есть дополнение A. Из определения меры доверия вытекает
ее важное свойство b (A)+b (A? ) ?1 (субкомплементарность).

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ:
МЕРЫ ДОВЕРИЯ И ПРАВДОПОДОБИЯ
(продолжение)

Если задана мера доверия, то двойственную к ней меру правдоподобия можно
определить следующим образом

Pl (A) = 1 – b (A), ?А?2X

Монотонная мера правдоподобия Pl удовлетворяет следующим аксиомам:
(а) Pl (?) = 0, Pl (Х) =1
(б?) ?А,В?2X, Pl ( A ? B) ? Pl (A) + Pl (B).
Аксиома (б? ) определяет условие субаддитивности.
Для меры Pl выполняется также условие суперкомплементарности

Pl (A)+ Pl (A?) ?1.
Пусть ? - множество высказываний. Введем функцию mp: ?? [0,1], причем:
1) mp(?) = 0; 2) ? mp(p) = 1.
p??.
??.

Тогда для любых высказываний p,q?? по Шейферу получаем

v(q) = b(q) = ? mp(p).
p влечет за собой q

Аналогично имеем

Pl (q) = ? mp(p)
p не влечет за собой ?q

Легко определить также меру недоверия nb (A) = 1 – b (A) и меру отвержения

МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ
Из аксиомы монотонности для любой предмеры непосредственно вытекают
два важных неравенства, характеризующие два фундаментальных класса
псевдомер

g (A ? B) ? max {g (A), g (B)}
g (A ? B) ? min {g (A), g (B)}.
Тогда в граничных случаях определяются мера возможности П Л.Заде как
минимальная мера правдоподобия и мера необходимости N Дюбуа-Прада как
максимальная мера доверия.
Мера возможности есть функция множества

П: 2X ? [0,1],
для которой справедливы условия:
1. П (?) = 0, П (Х) =1 (ограниченность)
2. ? А, В ?2X, А ?В ? П (А) ? П (В) (монотонность)
3. ?А,В?2X, П (A?B) = max {П (A), П (B)} («либо-либо»-условие)
Меру П можно задать на множестве высказываний ?. Пусть p,q??.
Тогда условие П(p?q) = max{П(p), П(q)} можно интерпретировать следующим образом:
истинность дизъюнкции двух суждений определяется возможностью появления хотя бы
одного из них.

В свою очередь, нечеткое множество может пониматься как функция
(плотность) распределения возможности
?: Х ? [0,1]
удовлетворяющая условию нормировки П (А) = sup ? (x) = 1.

МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ
(продолжение)

Mера необходимости есть функция множества

N: 2X ? [0,1],
для которой выполняются требования:

1. N (?) = 0, N (Х) =1 (ограниченность)
2. ? А, В ?2X, А ?В ? N (А) ? N (В) (монотонность)
3*. ? А, В ?2X, N (A?B) = min {N (A), N (B)} («и-и» условие).
Если определить меру N на множестве высказываний ?, то условие
N (p?q) = min {N(p),N(q)} означает, что истинность конъюнкции двух суждений
определяется необходимостью их одновременного выполнения.
Для мер необходимости и возможности справедливо равенство

N (А) = 1 – П (А?), ?А?2X
Это условие можно записать и в более общей форме

N (А) = n (П (А?)),
где n – некоторая функция отрицания.
Меру необходимости также можно определить по функции распределения
возможности

N (А) = inf (1 –? (x))
x?A

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

ВЕРОЯТНОСТЬЮ, ВОЗМОЖНОСТЬЮ И
НЕОБХОДИМОСТЬЮ
Основное соотношение между возможностью и необходимостью записывается
в виде:

П (А) ? P (A) ? N (А)
В отличие от выполняемого для вероятностной меры закона P (A)+P (A?) = 1,
?А?2X, для меры возможности имеем условие

П (A) + П (A?) ? 1, ? А? 2X,
а для меры необходимости выпоняется

N (A) + N (A? ) ? 1, ? А? 2X
Кроме того, из П (А) ? 1 следует N (А) = 0 (неполная возможность события А
приводит к абсолютной неуверенности), а из N(А)?0 вытекает П(А)=1 (наличие
некоторой уверенности в А означает его абсолютную возможность).
В свою очередь, такие понятия как невозможность nП и проблематичность
(ненеобходимость, случайность) nN легко описать c помощью обычного
оператора отрицания на основе мер возможности и необходимости
соответственно:

nП (A) =1?П (А), ?А?2X
nN (A) =1?N (А), ?А?2X

КАЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ
ВОЗМОЖНОСТИ И НЕЧЕТКОСТИ
Идея построения сравнительных оценок возможности восходит к работам
Д.Льюиса, который интерпретировал возможность как отношение сходства.
Затем Дюбуа и Прад показали, что мера возможности индуцирует отношение
?П между событиями: A ? П B тогда и только тогда, когда П (A) ? П (B).
Здесь A ?П B означает, что возможность события А, по крайней мере, не
меньше возможности события B.
Отношение ?П обладает следующими свойствами:

а) T ?П F, где Т и F – истина и ложь соответственно;
б) A ?П B или A ?П B (сравнимость);
в) A ?П B, B ?П C ? A ?ПC (транзитивность);
г) если B ?П C, то для любого А имеем A?B ?П A?С.
В свою очередь, Трильяс и Альсина обобщили идею сравнительных оценок для
произвольных неклассических мер, введя (рефлексивное и транзитивное)
отношение предпорядка ?g. Здесь A ?g B означает, что множество А обладает
неким свойством в степени, не меньшей, чем множество B.
Отношение предпорядка по включению множеств позволяет с единых позиций
описать не только расширения классических мер, определенные на 2 X, но и
функции нечетких множеств, заданные на [0,1] X.

НЕКОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
ТРАДИЦИОННОЙ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
Нечеткое множество (Fuzzy Set), введенное Лотфи Заде
(L.Zadeh, 1965), есть прямое обобщение двузначной
характеристической функции множества f? {0,1}:
1, если x? X

f(x ) =
0, если x? X

Здесь принимаются весьма сильные допущения о природе
принадлежности. Главными из них являются:
а) допущение о полноте принадлежности:
любой элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству:
третье исключено
б) допущение о различимости принадлежности: любые два
элемента множества различимы на шкале принадлежности.
в) допущение о взаимной компенсации: при возрастании
степени принадлежности убывает степень непринадлежности и

ПРИНЦИПЫ БИВАЛЕНТНОСТИ
И ОДНОЗНАЧНОСТИ
ДЛЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
С логической точки зрения (когда значение принадлежности
интерпретируется как значение истинности) базовая логика
принадлежности удовлетворяет двум главным принципам
классической логической семантики. Это:

1) Принцип бивалентности ? ? ?
(каждый элемент либо принадлежит, либо не принадлежит
множеству, третьего не дано, т.е. неопределенные оценки
или разрывы принадлежности ??? ?? = ? (??? ) недопустимы);

2) Принцип однозначности ? (? , ? )
(только одноточечные множества ? = {? }, ? ={? } могут
использоваться при оценивании принадлежности , составные
значения {? , ? }, выражающие одновременно принадлежность
и непринадлежность элемента множеству, запрещены.

ПРИМЕРЫ ОБОБЩЁННЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ
Вероятностное ограничение:

Время (операция_транспортировки) isp (0,3/малое 0,6/среднее
0,1/большое),
где Время – случайная переменная, которая принимает значения малое,
среднее, большое с вероятностями 0,3; 0,6; 0,1 соответственно.
?

Обычностное ограничение:

Время (операция_сборки) isu малое ? Вероятность {Время
(операция сборки) is малое} обычная,
где обычная – нечеткая вероятность нечеткого события {Время
(операция сборки) is малое}.
?

Истинностное ограничение:

Занятость (транспортный_робот) isv (0,9|нормальная 0,7|высокая
0,5|низкая),
где 0,9, 0,7 и 0,5 – соответственно значения истинности суждений:
занятость транспортного робота нормальная, занятость
транспортного робота высокая, занятость транспортного робота
низкая.
?

ПРИМЕРЫ ОБОБЩЁННЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ЕСЛИ ?? есть положительно нулевое,
ТО ?q1 есть отрицательно нулевое.
ЕСЛИ ?? есть положительно большое,
ТО ?q1 есть отрицательно большое.
ЕСЛИ ?L есть положительно нулевое,
ТО ?q2 есть отрицательно нулевое.
ЕСЛИ ?L есть положительно большое,
ТО ?q2 есть отрицательно большое.
ЕСЛИ ?L есть положительно нулевое,
ТО ?q3 есть отрицательно нулевое.
ЕСЛИ ?L есть положительно большое,
ТО ?q3 есть отрицательно большое.
Нечёткий график функции управления

f is ? Ai ?Bi
i

ЯЗЫК ОБОБЩЕННЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ
Язык обобщенных ограничений ЯОО порождается
путем комбинирования, квалификации,
распространения и снятия обобщенных ограничений.
Примеры элементов ЯОО:
Х/Отклонение(Манипулятор) is R/небольшое
Если Х is А, то Y is В («если расстояние до препятствия
небольшое, то повернуть немного правее»)
Язык нечетких продукционных правил является
подъязыком языка ЯОО.
Здесь дедукция сводится к распространению и снятию
обобщенных ограничений.

КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО
ВЫВОДА
Пусть U и V — два универсальных
множества с базовыми переменными u и v,
соответственно. Пусть A и F — нечеткие
подмножества множеств U и UxV . Тогда
композиционное правило вывода
утверждает, что из нечетких множеств A и F
следует нечеткое множество B=A?F .
Согласно определению композиции нечетких
множеств, получим
http://www.intuit.ru/department/ds/fuzzysets/10/

СЕМАНТИКА ОБОБЩЕННЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ
Семантика обобщенных ограничений открывает
возможность представления смысла высказываний и
запросов, содержащих:
а) нечеткие предикаты такие как «намного ближе»,
«существенно дороже» и т.д.;
б) нечеткие кванторы, например «большинство»,
«несколько», «не очень много», «часто», «редко» и т.д.;
в) модификаторы такие, как «очень», «довольно»,
«более или менее» и пр.
Эта возможность играет существенную роль для
обеспечения компьютерной обработки информации,
описанной на естественном языке.

ВЫЧИСЛЕНИЯ СО СЛОВАМИ
В отличие от традиционных вычислений, имеющих
дело с числами и символами, вычисление со словами
оперирует словами и предложениями естественного
языка.
Значениями лингвистических переменных являются
слова, которые выражаются как нечёткие множества,
определённые на множестве значений переменных.
При этом слова рассматриваются как ограничения на
переменную, и основной компонентой процесса
вычисления со словами является распространение
ограничений (Constraint Propagation) с одних
переменных на другие.
В общем случае решение задачи рассматривается как
распространение ограничений с посылок на заключения,
от множества входных данных (Initial Data Set) на
множество выходных данных (Terminal Data Set),
задаваемых совокупностью предложений естественного
языка.

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
ВЫЧИСЛЕНИЙ СО СЛОВАМИ
Входное
множество
данных (IDS)

Утвержден
ие на ЕЯ

Уточнение
ограничени
я

Вычисления
со словами
(ВС)

Расширени
е
ограничени
я

Выходное
множество
данных(ВМС)

Ретрансляц
ия
ограничения

Утвержден
ие на ЕЯ

ОСНОВНЫЕ ПРИЧИНЫ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ СО
СЛОВАМИ
Отсутствие чёткого логического объяснения ситуации. В этом случае,
значения переменных и/или параметров с заданной точностью не
оправдывают использование обычных методов числового вычисления.
Типичным случаем является принятие решения с неточно определенными
вероятностями.
Ситуация не нуждается в логическом объяснении. В этом случае
использование неточной и нечеткой информации вполне достаточно для
достижения необходимой надежности, низкой стоимости решения и лучше
соответствует действительности. Примером служит проблема парковки
автомобиля.
В ситуации нет рационального решения. В этом случае проблема не может
быть решена с помощью числовых вычислений. Примером является проблема
автоматического управления движением в пробке.
Невозможно численно определить ситуацию. В этом случае, понятие, которое
необходимо определить, слишком сложно для определения в терминах
числовых критериев. Типичный пример – понятие причинной связи.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.