ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 5:
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ

1. Изменение количества движения
тела переменной массы
Под телом переменной массы понимается тело, масса которого
изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к
нему материальных точек
dm?
Q ? ? t ? ? M (t )V (t ) ? v ? dm?

Q ? ? t ? dt ? ? M (t ? dt )V (t ? dt ) ? v ? dm?
dQ ? d
dm?
dm?
Fe ?
? ? MV ? ? v ?
? v?
dt
dt
dt
dt
Теорема об
изменении
кол. движ.

M (t )
v?
M (t ? dt )

dm?
v?

Q

dQ e
dm
dm
? F ? v? ? ? v? ?
dt
dt
dt

t

Теорема об изменении
количества движения тела
переменной массы

t ? dt

2. Уравнение Мещерского
dm?
dm?
dQ
? Fe ? v ?
? v?
dt
dt
dt
dm
dm?
dm?
mw ? v
? Fe ? v?
? v?
dt
dt
dt
mw ? F e ? ? v ? ? v ?

mw ? F??
e

dm?
dm?
? ? v? ? v ?
dt
dt

? ? ? ? v? ? v ?

Q ? mv
dm dm? dm?
?
?
dt
dt
dt

Уравнение Мещерского

dm?
dm?
? ? v? ? v ?
dt
dt

Реактивная сила

Наибольший технический интерес (ракеты) представляет отделение частиц
?

mw ? F e ? ? v ? ? v ?

dm?
dm
dm
? Fe ? ? v? ? v ?
? F e ? v отн
dt
dt
dt

?0
? направлена в сторону, противоположную v отн

3. Задача Циолковского
В пренебрежении всеми внешними силами (гравитация, сопротивление
атмосферы) движение ракеты описывается уравнением
dv
dm
m ? ?vотн
dt
dt
m0 - начальная масса ракеты
dm
dv ? ?vотн
m* - масса ракеты без топлива
m
m
z - число Циолковского
v ? ?vотн ln m ? C ? vотн ln 0
m
Формула
Циолковского

vmaxотн? v

ln z

z?

m0
m*

4. Задача Циолковского: оценки
vmaxотн? v

vотн

м
? 2500
с

ln z

vmax ? 8000

z?

m0
m*

м
м
м
? 1000 ? 9000
с
с
с

первая космическая потери на гравитацию,
сопротивление,…=10-15%
скорость

z ? exp(vmaxотн
/ v ) ? exp ? 9000 / 2500 ? ? exp(3.6) ? 42.5
масса топлива должна составлять 98% начальной массы ракеты
Вывод : получение космических скоростей с помощью одноступенчатой
ракеты в настоящее время вряд ли возможно

5. Двухступенчатая ракета
1??

1-й этап: выгорание 1-й ступени
1
2
? vmaxпг
?
начальная
масса
m
?
m
?
m
0
0
? ln
?
? ? ln
1
2
v
масса
в
конце
1
этапа
m
?
m
?
m
пг
*
0
? отн? I

mпг - масса полезного груза

?

Обозначения:

m0i - начальная масса i-ой ступени
m*i - масса i-ой ступени без топлива

2-й этап: выгорание 2-й ступени
? vmax?
?
?
v
? отн? II

?

1
2
2
?
vmaxпг
начальная
масса
на
2
этапе
m
?
m
?
m
m
?
m
0
0
пг
0
??
? ln
? ln
? ? ln
1
2
2
v
масса
в
конце
2
этапа
m
?
m
?
m
m
?
m
отн
пг
*
0
пг
*
?
?
I

? vmax?
1? M
1 ? (1 ? ? ) M
?
V
(
?
,
M
,
z
)
?
ln
?
ln
?
?
v
1 ? (1 ? ? ) M ? ? z ?1M
1 ? (1 ? ? ) z ?1M
? отн? II

m01 ? m02 масса бесполезного груза
M?
?
mпг
масса полезного груза

m01
?? 1
m0 ? m02

m01 m02
z? 1 ? 2
m* m*
m02
1?? ? 1
m0 ? m02

6. Двухступенчатая ракета: как
распределить массу по ступеням
Оптимизация распределения масс по ступеням V (? , M , z?
)?
1??

?

V (? , M , z ) ? ln

?

max

1? M
1 ? (1 ? ? ) M
?
ln
1 ? (1 ? ? ) M ? ? z ?1M
1 ? (1 ? ? ) z ?1M

z ?1 ? 1? M
?
?V
M
z ?1 M
??
?
?
??
1 ? (1 ? ? ) M ? ? z ?1M 1 ? (1 ? ? ) M 1 ? (1 ? ? ) z ?1M
z ?1 ? 1? M
z ?1 ? 1? M
?
?
??
?
1 ? (1 ? ? ) M ? ? z ?1M ? 1 ? (1 ? ? ) M ? ? 1 ? (1 ? ? ) z ?1M ?
?V
? 0 ? ? ? 1 ? (1 ? ? ) M ? ? z ?1M ? ? ? 1 ? (1 ? ? ) M ? ? 1 ? (1 ? ? ) z ?1M ? ? 0
??
1 ? (1 ? ? ) z ?1M ? (1 ? ? ) M ? (1 ? ? ) 2 z ?1M 2

(1 ? ? ) 2 M ? 1 ? 2? ? 0 ? ? ? 1 ?

1 ? 1 ? 4M
1
? 1?
2M
M

M? 1

7. Двухступенчатая ракета:
каков выигрыш?
1 ? (1 ? ? opt ) M
? vmax?
1? M
?
V
(
?
,
M
,
z
)
?
ln
?
ln
?
?
opt
v
1 ? (1 ? ? opt ) M ? ? opt z ?1M
1 ? (1 ? ? opt ) z ?1M
? отн? II

1??

? ln

?

? opt ? 1 ?

1
M

M
1? M
M
?
ln
?
2
ln
? 2 ln z
?1
?1
?1
1? M ? z M
1? z M
1? z M

M ? z

Оптимум характеризуется тем, что приращение скоростей
на обоих этапах полета одинаково
Оценка

z ? exp( vmaxотн
/ 2v ) ? exp ? 1.8 ? ? 6.5

Для одноступенчатой ракеты
1
2
vmaxпг
m
?
m
?
m
1? M
0
? ln 0
?
ln
? ln z
1
2
?1
vотн
mпг ? m* ? m*
1? z M

z ? exp( vmaxотн
/ v ) ? exp ? 3.6 ? ? 42.5

8. Задача о ракете в поле
силы тяжести
Ракета движется вертикально вверх в поле силы тяжести с постоянным
ускорением (k ? 1) g . Найти высоту подьема.
k -к-т перегрузки
1-й этап : вплоть до времени выгорания топлива
m
m&
kgt ? vотн ln 0
m
m
? kg ?
Топливо должно расходоваться по
m
? exp ? ?
t?
экспоненциальному закону
m0отн
? v ?
2
2
vотн
v
ln
z
k
?
1
k
?
1
tfin ?
ln z
vfinотн?
v ln z
hfin ? 2 отн
kg
k
k
2g
2-й этап : свободный полет
2
m(k ? 1) g ? ? mg ? vотн m&

kg ? ?vотн

2
2
k ? 1? vотн
?
ln 2 z
vfin
hII ?
?
2g
k2
2g
2
vотн
ln 2 z
k ?1
h? ? hfin ? hII ?
?H max
H max ?
k
2g

9. Задача о ракете в поле
силы тяжести
k ?1
h? ? hfin ? hII ?
?H max
k

H max

2
vотн
ln 2 z
?
2g

Наилучшая стратегия: выбрать все топливо как можно быстрее

k ? ? ? h? ? H max

Мгновенное сгорание топлива

При ограничении перегрузки неизбежен проигрыш в высоте






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.