ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 7:
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
(продолжение)

1. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
a?

p
1? ? 2

OO1 ?

d? 2c 2c
2
? 2 ? 2 ? 1 ? ? cos ? ?
dt r
p
d?

Закон площадей

p?
1? ? 2

a

O1

A1

E r?
B
O

A

p2
t ? t0 ?
2c

?

? ? 1 ? ? cos ? ?

Замена переменных ? ? E

a cos E ? r cos ? ? OO1
p
p cos ?
p?
cos
E
?
?
1? ? 2
1 ? ? cos ? 1 ? ? 2

1? ? 2 ?
? 2 ? ? cos ?
?
1 ? ? cos E ?
?
?
1 ? ? cos ?
1 ? ? cos ?
1 ? ? cos ?
2
2 cos ? ? 1 ? ? cos ? ? ? ? sin ?
cos E dE ? 1 ? ?
d? ?
2
? 1 ? ? cos ? ?
cos E
2
? 1? ?
d?
1 ? ? cos ?
1 ? ? cos ?

2

0

эксцентрическая
аномалия

cos E ?

? ? cos ?
1 ? ? cos ?

1 ? ? 2 sin ?
sin E ?
1 ? ? cos ?

1? ? ?
?
? 1 ? ? cos E ? dE ?

2 3/ 2

d?

? 1 ? ? cos ? ?

2

2. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
E

n ? t ? t0 ? ? ? ? 1 ? ? cos E ? dE ? E ? ? sin E

n?

0

n ? t ? t0 ? ? E ? ? sin E
Период обращения

E ? 2?

T?

2c ? 1 ? ?

?

2 3/ 2

p2

Уравнение Кеплера

2?
n

2?
? t ? t0 ? ? E ? ? sin E
T

T?

? p2

c?1? ?

?

2 3/ 2

3. Задача двух тел: движение
одного тела относительно другого
d 2r1
mm r
m1 2 ? f 1 2 2
dt
r r

d 2r2
mm r
m2 2 ? ? f 1 2 2
dt
r r

? d r2 d r1?
m1m2 (m1 ? m2 ) r
?
?
?
f
2
2?
dt
dt
r2
r
?
?
2

2

m1m2 ?

(m1 ? m2 ) r
d r
?
?
f
dt 2
r2
r

M1

F1

r1

z

r
F2
r2

2

O

M2
y

x

Материальная точка M2 движется относительно M1 как вокруг неподвижного
центра с массой m? ? m1 ? m2
Пренебрежение меньшей массой вносит в расчеты малую погрешность при m = M

m?
?
?c ? f M ? ?c ? f ? M ? m ? ? f M ? 1 ? ?
M?
?
?6
Солнце-Земля m M ? 3 ?10

?3
Солнце-Юпитер m M ? 10

4. Задача двух тел: движение
относительно центра масс
d 2r1
d 2r2
m1 2 ? m2 2 ? 0
dt
dt
1
rC ?
? m1r1 ? m2r2 ?
m?

dr1
dr
? m2 2 ? m? A
dt
dt
r1
drC
1 ?
dr1
dr2? M 1
F1
vC ?
?
? m2 ?
? m1
C
dt m? ?
dt
dt ?

m1

d 2r1
m1m2 r1
m1 2 ? ? f
2
dt
? r1 ? r2 ? r1
d 2r2
m1m2 r2
m2 2 ? ? f
2
dt
r
?
r
? 1 2 ? r2

d 2r1
m22
m1 2 ? ? f
2
dt
? m1 ? m2 ?
d 2r2
m12
m2 2 ? ? f
2
dt
m
?
m
? 1 2?

m1m2 r1
r12 r1
m1m2 r2
r22 r2

vC ? A
r1 m2
?
r2 m1

r2
F2

M2

m1 ? m2
r1
m2
m ? m2
r1 ? r2 ? 1
r2
m1
r1 ? r2 ?

Движение каждой точки относительно центра
масс происходит как движение относительно
неподвижного притягивающего центра

5. Задача двух тел: картина
движения
Траектории – софокусные подобные эллипсы. Отношение их размеров
равно отношению масс тел
M1

C

M2
M2
M1

C

Земля-Солнце
M 1C ? 2 ?108 ?
3 10
? ?6
5
RC ? 6 ?10км

600км
?

Неподвижный центр
глубоко внутри Солнца

6. О задаче трех тел
Задача трех тел: В пустоте находятся три материальные точки,
взаимодействующие по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы
начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех
точек как функции времени.
Ограниченная задача трех тел состоит в изучении движения точки
малой массы под действием притяжения двух конечных масс в
предположении, что точка малой массы не влияет на движение
точек конечных масс.
В ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по
орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух
точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тел
сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Эта
задача значительно проще общей задачи трех тел. Но и она не
интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах.

7. Пример: олимпиадная
задача 2007 г.
Две материальные точки М1 и М2 с одинаковыми массами m, соединенны
пружиной жесткостью с. Длина недеформированной пружины l. Условие
разрыва пружины М1М2 =L (L>l). Вначале пружина недеформирована. Точка
v0
М1 получает начальную скорость под острым
углом
к М1?
М2 .
v0
Начальная скорость М2 равна нулю. Какой должна быть , чтобы через
v0
некоторое время произошел разрыв пружины.
1) Задача сводится к исследованию движения М1 при
M1
?
закрепленной М2 с пружиной удвоенной жесткости

-

d 2r1
r ?r
m 2 ? ? c ? r1 ? r2 ? l ? 1 2
dt
r1 ? r2
d 2r2
r ?r
m 2 ? ? c ? r1 ? r2 ? l ? 1 2
dt
r1 ? r2
d 2r
r
m 2 ? ?2 c ? r ? l ?
dt
r

r ? r1 ? r2

M2

8. Пример: олимпиадная
задача 2007 г.
2) Силовое поле центральное, поэтому справедлив закон площадей

rv? ? const ? lv0? ? lv0 sin ?
3) Закон сохранения энергии

m 2
m 2
2
v ? c ? r ? l ? ? const ? v0 ? 0
2
2
v0крит
?v
4) При критическом значении v0 имеем
r ? L, vr ? 0 ? v ? v?

Lv? ? lv0 sin ?
m 2
m 2
2
v? ? c ? L ? l ? ? v0
2
2

v0 ?

2c
m

L

v0крит
?v

L( L ? l )
L2 ? l 2 sin 2 ?

v0крит
?v

9. Движение в поле тяготения Земли
A

?
?

v0
M

Сила притяжения на
поверхности Земли

R
O
?0
P

c 2 v02 cos2 ?
p? ?
?
g

Постоянные площади
и энергии
Орбита

Fr ? ?

?m
2
?
?
mg
?
?
?
gR
R2
c ? Rv0 cos ?
v02 ? v02
e ? ? ? ? gR
2 R 2

p
r?
1 ? ? cos ?

c2
v02 cos2 ? 2
? ? 1? 2 2 e ? 1?
v0 ? 2 gR ?
?
2 2
?
g R

Тело, получившее начальную скорость v0 ? 2 gR , направленную под
любым углом к горизонту, будет неограниченно удаляться от Земли,
При начальной скорости v0 ? 2 gR брошенное тело или превращается
в искусственный спутник Земли, или падает обратно на Землю.
Вторая космическая скорость v II ? 2 gR ? 11.2км/с

10. Искусственные спутники
A

?
?

R
O
?0
P

v0

r?R

M
2
p

v xp

p
p
?
1 ? ? cos ? 1 ? ? cos ?0

M -перигей ? ?0 ? 0 ?

? ?0

v02 R
v02
??
?1 ?
?1 ?
?1 ? 0
2
?
gR
gR

v0 ? gR ? v I ?

vII
2

Первая космическая скорость
Чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в искусственный
спутник Земли, необходимо выполнение двух условий ? ? 0 , v I ? v0 ? v II
Практически для запуска ИСЗ используется ракета, которая поднимает спутник на
высоту H и сообщает ему в пункте М скорость v0 под углом
? ?к 0горизонту
v0 ? vmin
vmin ? v0 ? v1

v0
H

v0 ? v1
v1 ? v0 ? v2

R
v1 ? gR
R?H

vmin ? v1

v2 ? 2v1
2R
2R ? H

11. Эллиптические траектории
A

v0

?

M1

v02 cos 2 ?
p?
g

M

?
O

r?

R
?0

Дальность полета

Оптимальный угол

0.5

v02
2 gR

0.4

v02 ?

D ? 2 R?

2 gR tg ?
sin 2? ? 2 cos 2 ? tg ?

? ? ? ? ?0

tg ? ? ? tg ?0

? /3
? /4
? /6

? ??

v0min ? 2 gR

? /12

0.2

F ?(? ) ? 2cos 2? ? 2sin 2? tg ? ? 0
ctg 2? ? tg ?

0.3

? ?
?
4 2

sin ?
1 ? sin ?

? ? ? / 40

0.1

настильные тр-ии навесные тр-ии
0

v02 cos 2 ? 2
? ? 1?
? v0 ? 2 gR ?
g 2 R2

v02 cos 2 ?
? cos ?0 ?
?1
gR
2
v0 cos 2 ?
? sin ?0 ?
tg ?
gR

v02 cos 2 ?
tg ? ?
tg ?
gR ? v02 cos 2 ?

P

5? /12

p
1 ? ? cos ?

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

?

Бухгольц I (изд. 1965 г.) с.400-402






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.