ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 2:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть материальная точка движется вдоль оси x. Тогда во время движения y=z=0.

&? Fy
my&

Fy ? 0

&? Fz
mz&

Fz ? 0

необходимые условия
движения по прямой

Эти условия не достаточны! (см. пример)
Для того, чтобы материальная точка двигалась по прямой необходимо и достаточно,
чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости
движения точки.
Д-во достаточности: Ось x направим по начальной скорости, а начало координат
совместим с начальным положением точки.

Fy ? Fz ? 0

&
y&? 0
&
z&? 0

y&? C1 , y ? C1t ? C3
z&? C2 , z ? C2t ? C4

y (0) ? 0, y&(0) ? 0

z (0) ? 0, z&(0) ? 0

C1 ? C3 ? 0
C2 ? C4 ? 0

2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ:
РЕШЕНИЯ В КВАДРАТУРАХ
В силу нелинейности дифференциального уравнения,
определение его решения в общем случае возможно только
численно (приближенно).
Однако существуют частные случаи, в которых нахождение
решения уравнения при выполнении начальных условий
сводится к квадратурам – взятию интегралов.
Выделим три таких случая:

F ?F (t );

F ?F ( x);

F ?F ( x&)

3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(t)
&? F (t )
mx&

dx& 1
? F (t )
dt m

x?

x&?

1
F (t )dt ? C1
?
m

1 ?
m ??

? F (t )dt??

dt ? C1t ? C2

4. ПРИМЕР: ГАРМОНИЧЕСКИ
ИЗМЕНЯЮЩАЯСЯ СИЛА
&? F (t )
mx&
x(0) ? x&(0) ? 0
F (t ) ? P cos ?t
P
x(t ) ? ?
cos ?t ? C1t ? C2
2
m?

F (t ) ? P sin ?t
P
x(t ) ? ?
sin ?t ? C1t ? C2
2
m?
12

P
m?

P
x(t ) ?
? ?t ? sin ?t ?
m? 2

10

C2 ?

8

m ?2x/P

C2 ? 0, C1 ?

F=Pcos(? t)
F=P sin(? t)

6

x(t ) ?

4
2
0
0

P
, C1 ? 0
2
m?

2

4

? t

6

8

10

P
? 1 ? cos ?t ?
m? 2

5. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(x)
&? F ( x) ? x&
mx&

&&
&? F ( x ) x&
mxx

m d ? x&?
&&
&?
mxx
2 dt

2

F ( x) x&?

? x&? ?
2

d
dt

? ? F ( x)dx ?

2
F ( x)dx ? C1
?
m

dx
2
??
F ( x) dx ? C1
dt
m?
dt ? ?
t??

?

dx
2
F ( x)dx ? C1
?
m

? C2

dx
2
F ( x )dx ? C1
?
m
t ? ? ? x; C1 , C2 ?

x ? ? ? t ; C1 , C2 ?

6. ПРИМЕР : ПАДЕНИЕ ЗЕМЛИ НА
СОЛНЦЕ
&
x&? ?

x&?

fM
x2

x(0) ? x0

x&(0) ? 0

Mкг? 2 ?1030

xм?
1.5 ?1011
0
м3
?11
f ? 6.6 ?10
кг ?с 2

1 d
fM
d ? 1?
2
&
&
x
?
?
x
?
f
M
? ?
? ?
2 dt
x2
dt ? x?
2

? 1 1?
1 ? dx?
? ? ? fM? ? ?
2 ? dt?
? x x0?

? 1 1?
dx
?? 2f M? ? ?
dt
? x x0?

1

2 f Mt ? x

3/ 2
0

0.8
0.6
x/x0

t
?
t0

0.4
0.2
0
0

0.5

1
t/t0

1.5

2

?
??
?

2 f Mt ?

x0

?
x

dx
x ?1 ? x0?1

x
x
x ??
1 ? ? arcsin
? ?
x0
x0
x0 2?
?

x
x
x ?
1 ? ? arcsin
?
x0
x0
x0 2

x03
tдня
? 42
0 ?
2f M

t fin ?

?
tмес
0 ? 2
2

.

7. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
F(dx/dt)
СПОСОБ 1

&? F ( x&)
mx&

v ? x&

x ? ? ? (t , C1 )dt ? C2

dv
dt
?
F (v ) m

mv&? F (v)
x&? ? (t , C1 )

t ? ? ( x&, C1 )

dv
t
?
C
?
? F (v ) 1 m

СПОСОБ 2

&? F ( x&)
mx&
t??

&
x&?

dv dv dx
dv
?
?v
dt dx dt
dx

dx
? C2
? ( x, C1 )

x&? ? ( x, C1 )

mvdv
? dx
F (v )
x ? m?

vdv
? C1
F (v )

8. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
КВАДРАТИЧНЫМ
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Точка массы m падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной
силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки, если сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости ( R ? k 2 mv 2 , где k — постоянная).

v&? g ? k 2 v 2

g e 2 k gt ? 1
g e k gt ? e ? k gt
dx ?
dt ?
2 k gt
k e
k e k gt ? e ? k gt
?1
1
x ? 2 ln e k gt ? e ? k gt ? C2
k
1
x(0) ? 0 ? C2 ? ? 2 ln 2
k
1
1
? et / t0 ? e ? t / t0?
x
x
?
,
t
?
? ln ?
0
0
2
?
k
k g
x0
2
?
?
g
ln 2
Приближенное
t ? t0 ? x ?
t? 2
решение
k
k

?

?

?

?

2

x/x0

&? mg ? mk 2 x&2
mx&

g ? kv
1
dv
ln
? t ? C1
? dt
2 2
2k g
g ? kv
g ?k v
k gt
? k gt
v(0) ? 0
d
e
?
e
1
dt ? 2
k
e k gt ? e ? k gt
Exact
Approximation

1

0

­1
0  

1  

t/t0

2  

3  

9. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ
&
x&? g ? k 2 x&2 x (0) ? x&(0) ? 0

Исходная задача
Единицы измерения

x ? м?

t ? c?

x ? cм ? t ? ч ?
x ? миля ? t ? сут ?

?? -1
g ?? м c 2??
k?? 2 м
?? -1
? g ?? см ч 2??
k?? 2 см
?? -1
? g ?? миля сут 2??
k?? 2 миля
?

Численное значение констант g и k зависит от единиц измерения. Нельзя ли
выбрать «родные» для задачи единицы, так, чтобы она стала максимально простой?

t ? t t0
x ? x x0

d ? x0 x ? x0 d x
? dx ?
?
dt d ? t0 t ?
t0 d t

d 2 x x0 d 2 x
? 2
2
dt
t0 d t 2
2

2

2
2
? d x?
d 2 x t02
Исходная ? x0 d x
2 x0 ? d x?
2
?
?
g
?
k
?
g
?
k
x
0?
?
2
задача
t02 d t 2
t02 ?? d t ?
d
t
x
d
t
?
?
?
0
t02
1
Черточки над x и t для
g ? 1, k 2 x0 ? 1 ? x0 ? k ?2 , t0 ?
&
x&? 1 ? x&2
x0
k g
простоты записи опущены

10. ПРЕИМУЩЕСТВА
БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Проще решать. Не нужно таскать константы,
труднее ошибиться
? Задачу нужно решить лишь один раз, а не для
каждого набора параметров. Все остальное
делается простым растяжением координат x и t
? Свойства изучаемого процесса проще
анализировать если решение есть функция одной
переменной
?

?

x ? k ?2 F k gt

?

лучше чем

x ? F ? t, k 2 , g ?

11. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
2
Та же задача, но R ? k mv , где k — постоянная.

&? mg ? mk 2 x& x (0) ? x&(0) ? 0
mx&

Можно было бы решать как и предыдущую. Но рассматриваемое уравнение имеет
огромное достоинство: оно принадлежит классу линейных диф. уравнений с
постоянными коэффициентами. Метод их решения чрезвычайно прост и общ.
Рассмотрим вначале однородное диф. уравнение второго порядка с постоянными к-ми

&
x&? ax&? bx ? 0
Для построения его общего решения достаточно найти два частных решения.
Если x1 (t ) и x2 (t ) -такие решения, то в силу линейности C1 x1 ? C2 x1 -общее
решение.
t
Частные
легко
&? bxпредъявляются.
x ? e?решения
?&
x&? ax
? e?t ? 2 ? a? ? b ? 0 ? ? ? ?1,2 -корни квадратного ур-ния
Общее решение однородного уравнения
x ? C1e ?1t ? C2e ?2t

?

?

x&? ax&? bx ? f (t )
Для построения общего решения неоднородного уравнения &
достаточно найти какое либо его частное решение x0 (t ) . В силу линейности
?t
?t
общим решением будет x ? x0 (t ) ? C1e 1 ? C2e 2 . Общий алгоритм построения x0 (t )
будет дан в курсе ДУ. Но во многих случаях x0 (t ) просто угадывается

12. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С
ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
&? mg ? mk 2 x& x (0) ? x&(0) ? 0
mx&
1) Переходим к безразмерным переменным

t ? t t0
x0 d 2 x
2 x0 d x
? 2
?
g
?
k
x ? x x0
t0 d t 2
t0 d t
&
x&? x&? 1

2
2
d
x
t
2 d x
0
?
? g ? k t0
d t 2 x0
dt

t0 ? k ?2
?
x0 ? gk ?4

По-прежнему черточки над x и t для простоты записи опущены

2) Угадывем частное решение x0 (t ) ? t
3) Решаем характеристическое уравнение

? 2 ? ? ? 0 ? ?1 ? 0, ?1 ? ?1

x (t ) ? x0 (t ) ? C1e ?1t ? C1e ?2t ? t ? C1 ? C2e ? t

4) Выписываем общее решение

5) Находим произвольные константы из начальных условий

x ? F (t ) ? t ? 1 ? e ? t
6) Выписываем окончательный результат

x?

g
2
F
(
k
t)
4
k






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.