ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА-5

Посмотреть архив целиком
ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 5:
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО
ТЕЛА

1. Уравнения движения
При плоскопараллельном движении точки тела движутся в плоскостях,
параллельных некоторой неподвижной (основной) плоскости.
Движение = движение центра масс+ вращение относительно
центра масс
Центр масс движется параллельно неподвижной
плоскости, а движение относительно центра масс есть
вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс
и перпендикулярной к неподвижной плоскости.
Положение тела определено если известны rC , ?

y

y ??

y?

x??

?
x?

C
rC

O

x

Теорема о движении центра масс
e
M&
r&
?
F
C

e
&
Mx&
?
F
C
x

&
My&
C ? F

e
y

Теорема об изменении момента количеств движения

&? M Ce
I C?&

Уравнения для
нахождения

xC (t ), yC (t ), ? (t ),

2. Использование теоремы об
изменении кинетической энергии
При интегрировании системы уравнений движения можно эти уравнения заменять
другими, получающимися в результате их взаимных комбинаций.
В частности, иногда удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии
По теореме Кенига кинетическая энергия равна

M 2
IC 2
2
T?
x&C ? y&C ? ? ?&
?
2
2
По теореме об изменении кинетической энергии

T ? T0 ? Ae
Изменение кинетической энергии = Работа внешних сил

3. Использование теоремы
моментов для оси z неподвижной
системы
Кинетический момент относительно неподвижного центра О равен сумме
кинетического момента центра масс, в котором сосредоточена масса тела,
относительно центра О и кинетического момента тела относительно центра С в его
движении по отношению к системе осей, проходящих через центр масс и
перемещающихся поступательно

KOz

dr ?
?
K O ? ? rC ? M C? ? K ?C
dt ?
?
dy
dx ?
d?
?
? M ? xC C ? yC C? ? I C
dt
dt ?
dt
?

d ?
dyC
dxC?
d??
?
e
e
M
x
?
y
?
I
?
x
F
?
y
F
?
?
C
C
i iy
i ix ?
? C
?
?
?
1 4 42 4 43
dt ?
dt
dt ?
dt?
?
Me
Oz

4. Пример 1: скольжение цилиндра
по наклонной плоскости
Тяжелый круглый цилиндр движется, касаясь
абсолютно гладкой наклонной плоскости, так, что
ось цилиндра остается все время горизонтальной.
Движение происходит параллельно вертикальной
плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра.
Найти уравнения движения цилиндра.
Уравнения
движения

?

?
?

?

?

Уравнения связи

&
Mx&
C ? Mg sin ?
&
My&
C ? ? Mg cos ? ? N
&? 0
I C?&
yC ? R ?

&
y&
? N ? Mg cos ?
C ?0

Цилиндр вращается с постоянной угловой скростью ?&? ? ? const , сообщенной
x&
ему в начальный момент и движется с постоянным ускорением &
C ? g sin ?

5. Пример 2: качение цилиндра без
проскальзывания
Тяжелый круглый цилиндр катится по
шероховатой наклонной плоскости без
скольжения. Исследовать движение цилиндра.
Уравнения
движения

&
? Mx&
C ? Mg sin ? ? F
?
&
? My&
C ? ? Mg cos ? ? N
?
&? FR
I C?&
?

Уравнения связи 1
Уравнения связи 2

g sin ?
I
1? C 2
MR
IC &
x&
F ? 2C
R

A

yC ? R ? &
y&
? N ? Mg cos ?
C ?0
&
&
v A ? 0, v A ? vC ? R?& ? x&C ? R?& ? &
x&
C ? R?

&
x&
C ?

Когда возможно такое движение?

2
g sin ?
3
1
F ? Mg sin ?
3

Для однородного
цилиндра

&
x&
C ?

MR 2
IC ?
2

F ? fN

?

1
f ? tg ?
3

6. Пример 3: качение цилиндра с
проскальзыванием
Тяжелый круглый цилиндр катится по
1
шероховатой наклонной плоскости.
f ? tg ?
3
Исследовать движение цилиндра.
Уравнения
движения

&
? Mx&
C ? Mg sin ? ? F
?
&
? My&
C ? ? Mg cos ? ? N
?
&? FR
I C?&
?

A

yC ? R ? &
y&
? N ? Mg cos ?
C ?0
&
F ? fN ? Mx&
C ? Mg (sin ? ? f cos ? )
MR 2
&? fMgR cos ?
?&
&
x&
?
g
(sin
?
?
f
cos
?
)
C
2
&? 2 fgR ?1 cos ?
?&

Уравнения связи 1
Уравнения связи 2

7. Пример 4: качение цилиндра со
сдвинутым центром тяжести
Неоднородный диск катится без скольжения по
неподвижной горизонтальной плоскости. Масса
диска равна m, радиус a, центр масс С находится
на расстоянии b от геометрического центра,
момент инерции относительно оси,
перпендикулярной плоскости диска и проходящей
через его центр масс, равен Ic . Получить
дифференциальные уравнения движения диска.

?

Уравнения ?
движения ?

?
?

&
mx&
C ? F
&
my&
C ? N ? mg
&? F ? a ? b cos ? ? ? Nb sin ?
I C?&

vA ? 0

vO ? ? a?&

&? cos ??&2 ?
N ? mg ? mb ? sin ??&

x&C ? vO ? b cos ??&? ? ? a ? b cos ? ? ?&
y&C ? b sin ??&
&? b sin ??&2 ?
F ? ?m ? ? a ? b cos ? ? ?&

?

? I C ? m ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? ? ?&
&? mab sin ??&2 ? mgb sin ? ? 0
?
?

8. Пример 4: качение цилиндра со
сдвинутым центром тяжести
3

?
N
F

2

IC ? 0

1

? (0) ? ? / 2
?&(0) ? 0

?

0
­1

b / a ? 0.2

­2
­3
0

2

4

t

6

8

3

3

?
N
F

2

2

1

1

0

0

?

?

10

b / a ? 0.9

?
N
F

­1

­1
­2

b / a ? 0.5

­3
0

2

­2
4

t

6

8

10

­3
0

подпрыгивание

2

4

t

6

8

10

9. Пример 5: падение стержня
Однородный стержень массы m и длины 2l
расположен вертикально. Нижний конец опирается на
гладкую плоскость. После того как ему задали
бесконечно малое смещение от вертикали он начал
падать. Получить ДУ движения.

l

N

1) Горизонтальных сил нет. Центр масс падает вертикально
2) Закон сохранения энергии

1 2 1 ? 1 2? &2
my& ? ? ml ? ? ? mgy ? const
2
2? 3 ?
y ? l cos ? , y&? ?l sin ??&
3) Уравнение связи

? 3sin 2 ? ? 1? l?&2 ? 6 g cos? ? const=6g

l

mg
? y
x

6 g ? 1 ? cos ? ?
?&2 ?
l ? 3sin 2 ? ? 1?

10. Пример 5: падение стержня
6 gl sin 2 ? ? 1 ? cos ? ?
y& ?
3sin 2 ? ? 1

l

2

6 gl cos 2 ? ? 1 ? cos ? ?
2
x& ?
3sin 2 ? ? 1

N

Горизонтальная скорость имеет максимум

6 glc ? 1 ? c ?
c ? cos ?
x& ?
2
4 ? 3c
dx&2
? 0 ? 3c 3 ? 12c ? 8 ? 0 ? ? ? 37o50?
dc

l

mg
? y
x

2

x&max ? 0.61 gl

11. Пример 6: падение стержня
Тонкий однородный стержень приставлен одним концом к
гладкой вертикальной стене, а другим концом опирается на
гладкий пол. Стержень пришел в движение из состояния
покоя, когда он составлял угол ? с вертикалью. Вычислить
начальные давления на стену и пол.

&? N A
mx&

&? N B ? mg
my&
ma 2
1
1
&
&
? ? ? N Aa cos ? ? N B a sin ?
12
2
2
1
1
x ? a sin ? , y ? a cos ?
2
2

a
&? sin ??&2 ?
cos ??&
?
2a
?
&? cos ??&2 ?
&
y&? ? ? sin ??&
2
&
x&?

12. Пример 6: падение стержня
ma
&? sin ??&2 ?
cos ??&
?
2
ma
&? cos ??&2 ?
N B ? mg ?
sin ??&
?
2
2
ma
1
1
&? ? N Aa cos ? ? N B a sin ?
?&
12
2
2
NA ?

&(0) ?
? (0) ? ? , ?&(0) ? 0, ?&

3mg
N A (0) ?
sin 2?
8

&?
?&

3g
sin ?
2a

3g
sin ?
2a

3
?
?
N B (0) ? mg ? 1 ? sin 2 ??
4
?
?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.