ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 6:
ЗАДАЧИ

1. Задача Н.Е.Жуковского о мыши и
наклонной доске: постановка
По доске длины 2l и веса Р, опирающейся своими концами на гладкий
горизонтальный пол и гладкую вертикальную стену, бежит мышь весом р.
Как она должна бежать, чтобы доска не скользила?

y
Рассматриваемая система:
Мышь + Доска

A

Основная идея:
Если принять в качестве центра точку С,
то в уравнение моментов количества
движения не войдут ни внутренние силы
O
ни силы реакции NA,NB

NA

C

s
M

p

NB

P

?
B

x

2. Задача Н.Е.Жуковского: момент
количеств движения
y
K ? K AB ? K M
K AB

A

uuuu
r p
K M ? CM ? v
?0
g
uuuu
r uuuu
r uuur
CM ? OM ? OC

uuur
? cos ??
OC ? 2l ?
?
sin
?
?
?

C

s
M

s ?cos ? ?
?
2
l
?
s
sin
?
?
?
?
?

uuuu
r ?
OM ? ?

p

P

?

O

uuuu
r ? ? s ? 2l ? cos ??
r
? cos ? ?
d uuuu
CM ? ?
v ? OM ? s&?
?
?
dt
? ? s ?sin ? ?
? ? sin ??
r
uuuu
r
p uuuu
p
K?
CM ?v y ? CM ?v x ? s& ? s ? 2l cos ? sin ? ? s sin ? cos ?
x
y
g
g
p
K ? 2 ls&cos ? sin ?
g

??

?

?

?

?

? ?

?

B

?

x

3. Задача Н.Е.Жуковского: момент
сил, уравнение моментов
y

? 2l ? s ? cos ?

M ? M AB ? M M

A

M AB ? Pl cos ?

s
M

M M ? p ? 2l ? s ? cos ?

p

M ? ? p ? 2l ? s ? ? Pl ? cos ?
p
K ? 2 ls&cos ? sin ?
g

dK
?M
dt
&
s&? ?

2

P

l cos ?

?

O

B

p
&cos ? sin ? ? ? p ? 2l ? s ? ? Pl ? cos ?
ls&
g

? P ?
g ?
s
?
? 2?
?
?
2l sin ? ?
? p ?

?
l?
?

? P ?
S ? s??
? 2? l
? p ?

C

&? ?
S&

g
S
2l sin ?

x

4. Задача Н.Е.Жуковского: решение
уравнения моментов
y
&? k 2 S ? 0
S&

k?

g
2l sin ?

A

? P ?
? 2? l ? a1 sin kt ? a2 cos kt
p
?
?

?
AD ? l ? 2 ?
?

P?
p?
?

s

s??

C

M

Мышь должна совершать колебательные
движения около точки D, причем период
колебаний равен T ? 2? / k

O

p

P

?
B

x

Пример: в начальный момент времени мышь вбегает на доску снизу,
добегает до верха и возвращается назад так, что доска остается в покое.
?
P?
Pl
s(0) ? 2l ? s ? ? 2 ? ? l ?
sin ? kt ? ? 0 ?
p?
p sin ? 0
?
?
P?
1
s
?
l
2
?
1 ? sin ? kt ? ? 0 ? ?
?
max s ? 0 ? sin ? 0 ?
?
?
p
p?
?
1? 2
P

D

5. Задача С.А.Чаплыгина о жуке и
монете: постановка
На гладкой неподвижной горизонтальной
плоскости лежит монета. По ее ободу начинает
двигаться из состояния покоя жук, с постоянной
относительной скоростью u. Определить
абсолютное движение монеты и жука.
Рассматриваемая система:
Жук + Монета
Идея #1:
На систему не действует внешних сил.
Центр масс C системы остается в покое

OM

C
A

m
Масса жука
Масса монеты M

6. Задача С.А.Чаплыгина:
сохранение количества движения
COM
m
?
,
CA
M
COM ? R

m
,
M ?m

y

COM ? CA ? R
CA ? R

vA

M
M ?m

OM

Монета и жук движутся по окружностям с
центром в C и радиусами
m
M
R
, R
M ?m
M ? m соответственно

v

x

C
A

v
скорость центра диска
?
угловая скорость диска
относительная скорость жука u
Количество движения монеты Qм, y ? ? Mv
Qж, y ? mv A ? m ? ?v ? ? R ? u ?
Количество движения жука

Сохранение кол-ва движения системы

Qж, y ? Qм, y ? 0

m ? ?R ? u ? ? ? M ? m ? v ? 0

7. Задача С.А.Чаплыгина:
сохранение момента
Нужно еще одно уравнение, связывающее v и ?
m
v ? ? OM C ? ? R
m?M
Неверно! Точка С – не есть точка монеты. Это
геометрическая точка!
Идея #2:
На систему не действует внешних сил. Момент кол-в
движения системы относительно точки С равен нулю.

?

C
Момент количества движения жука K ж,
z ? AC ?Qж, y ?R

Момент количества движения монеты

y

vA
OM

v

A

Mm
? ?v ?? R ?u ?
M ?m

Mm
K м,C z ? OM C ?Qм, y ?12 MR 2 ? ?R
v ?12 MR 2?
12 3
M ?m
J
Сохранение кол-ва движения системы
2mu
?
?
?
K ж, z ? K м, z ? 0 ?
R ? 3m ? M ?
K C ? rO ? Q ? K O

x

C

8. Задача С.А.Чаплыгина:
окончательный результат

v?

mu
3m ? M

???

2mu
R ? 3m ? M ?

Абсолютная скорость жука
Тяжелая монета
M? m

vA ? u
v?0

??0

M
vA ?
u
M ? 3m

m ? 0.5M

Тяжелый жук
M =m

vA ? 0
u
v?
3
2u
???
3R

m ? 5M

9. Задача В.Л.Кирпичева:
сохранение момента
Цилиндр, который может вращаться около вертикальной оси
имеет на поверхности винтовой желобок; в него вложен
маленький шарик m. Найти движение этой системы под
действием силы тяжести (и в отсутствии трения)
Рассматриваемая система:
Цилиндр + Шарик

m

1) Все внешние силы параллельны оси вращения. Момент
количеств движения сохраняется
Момент количеств движения цилиндра
Момент количеств движения шарика
Сохранение момента

K1 ? K 2 ? 0 ?

?

a

?

V

K1 ? J ? ? 12 Ma 2?
K 2гор? mav

? ma ? ?a ? V cos ? ?

? 12 M ? m ? a 2? ? maV cos ? ? 0

10. Задача В.Л.Кирпичева:
сохранение энергии
2) Внешние силы потенциальны и трение отсутствует.
Полная энергия системы сохраняется
Кинетическая энергия цилиндра

T1 ? 12 J ? 2 ? 14 Ma 2? 2

Кинетическая энергия шарика

m

T2 ? 12 mv 2 ? 12 m ? ? ?a ? V cos ? ? ? ? V sin ? ? ?
?
?
2

Потенциальная энергия шарика
Сохранение энергии
1
2

?

a

? ? ? mgy

T1 ? T2 ? ? ? 0

Ma 2? 2 ? m ?? ? 2a 2 ? 2a?V cos ? ? V 2?? ? 2mgy

2

?

V

11. Задача В.Л.Кирпичева:
окончательный результат
? 12 M ? m ? a 2? 2 ? mV 2 ? 2ma?V cos ? ? 2mgy
? 12 M ? m ? a 2? ? maV cos ? ? 0
m ? 12 M
V ? 2 gy
m sin 2 ? ? 12 M

? ? ?m cos ?

2 gy
? m sin 2 ? ? 12 M ? ? m ? 12 M ?

V ,?

?

a

m

?

V






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.