ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 3:
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ
Жесткость
пружины

F ? ?cx

x
&? cx ? 0
mx&
0

x

2. ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ
N

F

?
mg
R

x

x
F ? mg sin ? ? mg
R
x

mg
&? ? F ? ?
mx&
x
R

&? cx ? 0
mx&

c ? mg / R

3. ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ
l?x
NA ?
Q
2l
FA x

FB

l?x
NB ?
Q
2l
x

x
Q ? mg
NA ? NB ? 0
l
l
lN A ? lN B ? ?Qx
fmg
&? FA ? FB ? ?
mx&
x
l

&? cx ? 0
mx&

fmg
c?
l

FA ? fN A
FB ? fN B

4. ПРИМЕРЫ КОЛЕБАНИЙ
l
A

l
FA

FB

B

x

x
Sp0l
p0V0 Sp0l
FA ?
FB ? SpB ? S
?
l?x
VB
l?x
2 Sp0l
2 Sp0
&? FA ? FB ? ? 2
mx&
x??
x
2
l ?x
l
2Sp0
c?
l
0

&? cx ? 0
mx&

5. ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Действующие силы
Восстанавливающая сила

Дифференциальное
уравнение

F ( x)

F ( x) ? ?cx
Восстанавливающая сила F ( x )
+сила сопротивления R ( x&)

F ( x) ? ?cx

R ( x&) ? ?bx&

Восстанавливающая сила
+возмущающая сила Q (t )

F ( x) ? ?cx

F ( x)

&? cx ? 0
mx&

&? bx&? cx ? 0
mx&

&? cx ? Q(t )
mx&

Наименование вида
колебаний
Свободные
колебания
Свободные
колебания с вязким
трением
Вынужденные
колебания

Q ? Q(t )

Восстанавливающая сила F ( x )
+сила сопротивления R ( x&)
+возмущающая сила Q (t )

F ( x) ? ?cx R ( x&) ? ?bx& Q ? Q(t )

&? bx&? cx ? Q (t )
mx&

Вынужденные
колебания с вязким
трением

6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
k2 ? c / m
x ? e? x

&
x&? k 2 x ? 0

? ? 2 ? k 2 ? 0 ? ? ? ? ?ik ? x ? e ?ikt ? cos t ? i sin t

x ? C1 cos kt ? C2 sin kt

C1 ? a sin ?
C2 ? a cos ?

фаза

x ? a sin ? kt ? ? ?
начальная фаза
амплитуда
частота

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых точкой за 2? секунд.
Частота колебаний k не зависит от начальных условий и определяется только
параметрами системы (величинами c и m ). По этому признаку частоту свободных
колебаний называют также собственной частотой.
x
Наименьший промежуток времени, по истечении
которого движение точки полностью
T
повторяется, называется периодом
a
a
t
колебаний (T).


a

2?
m
T?
? 2?
k
c
 

7. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С
ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
&? bx&? cx ? 0
mx&
k 2 ? c / m, 2 h ? b / m

&
x&? 2hx&? k 2 x ? 0

? 2 ? 2h? ? k 2 ? 0 ? ? ? ? ? h ? h 2 ? k 2
x ? C ? e? ? t ? C ? e ? ? t
Малое сопротивление

h?k

? ? - комплексно сопряженные
Большое сопротивление
? ? - вещественные

h?k

8. МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
h?k
x ? e? ht ? C1 cos k *t ? C2 sin k *t ?

k * ? k 2 ? h2
C1 ? a sin ?
C2 ? a cos ?

x ? ae ? ht sin ? k *t ? ? ?

x

T*
1) Движение является затухающим x ? 0 ? t ? ? ?
2) Носит колебательный х-р: приближаясь к
x ? ae ? ht
состоянию равновесия, система проходит через
t1 t2
t3 t 4
это состояние бесконечное число раз в
t

*
?
?
?
t
t1
t2
моменты tn ? ? n? ? ? ? / k
3
3) Движение непериодично, но максимальные
x ? ?ae ? ht
отклонения точки от точки равновесия хотя и
уменьшаются со временем, но разнесены друг
от друга на один и тот же промежуток времени
T * ? 2? / k * период затухающих колебаний
2?
2?
2?
4) Период затухающих колебаний больше чем
T* ? * ?
?
у незатухающих
k
k
k 2 ? h2
T*

9. МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
x&? 0

y

y ? k* / h

? ? hae ? ht sin ? k *t ? ? ? ? ak *e ? ht cos ? k *t ? ? ? ? 0
? tg ? k *t ? ? ? ? k * / h
ak ? ae

? htk ?

?

?



?

?
sin k tk ? ? ? ? ae ? htk sin k *t1? ? ?
*

Амплитуды затухающих к-й

ak
? hT *
??
?e
ak ?1
ln ? ? hT *

Логарифмический декремент колебаний

t2?

?

T*
x

a1

T*

T*

a2

Геометрическая прогрессия

Декремент колебаний

t1?



t1?

t1

t2

t2?

a3
t3 t 4

x ? ae ? ht
t3?
x ? ?ae ? ht

t

10. ПРОМЕЖУТОЧНАЯ СИТУАЦИЯ
k ?h

? ? ? ? ? h ? x ? e ? ht ? C1 ? C2t ?

x(0) ? x0 , x&(0) ? x&0 ? x ? e ? ht ? x0 ? ? x&0 ? hx0 ? t ?
Движение является затухающим и апериодичным

x&? 0 ? ? h ? x0 ? ? x&0 ? hx0 ? t ? ? x&0 ? hx0 ? 0 ? t0 ?
x ? 0 ? t1 ? ?

x0
x&0 ? hx0

x

x0 ? 0
x&0 ? 0 ? t0 ? 0, t1 ? 0

(A)

? hx0 ? x&0 ? 0 ? t0 ? 0, t1 ? 0

(B)

x&0 ? ?hx0

? t0 ? 0, t1 ? 0

(C)

x

x&0
h ? x&0 ? hx0 ?
t

t0

t
x
t1

t0

t

11. БОЛЬШОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
? x ? C? e ?? ?t ? C? e ???t

h ? k ? ? ? ? ?h ? h2 ? k 2
x(0) ? x0 , x&(0) ? x&0 ? x ?

? ? x0 ? x&0 ? ?t ? ? x0 ? x&0 ? ?t
e ?
e
?? ? ??
?? ? ??

Движение является затухающим и апериодичным

x
x0 ? 0
x&0 ? 0 ? t0 ? 0, t1 ? 0

(A)

? ? x0 ? x&0 ? 0 ? t0 ? 0, t1 ? 0

(B)

x&0 ? ? ? x0

? t0 ? 0, t1 ? 0

(C)

x

t

t0

t
x
t1

t0

t

12. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
&
x&? k 2 x ? H sin ? pt ? ? ?

Гармоническая
вынуждающая сила

Общее решение = общее решение + частное решение
однородного у-я
неоднородного у-я

x1 ? a sin ? kt ? ? ?

x2 ? A0 sin ? pt ? ? ?

A0 p 2 sin ? pt ? ? ? ? A0 k 2 sin ? pt ? ? ? ? H sin ? pt ? ? ?

?

A0 ?

H
x ? a sin ? kt ? ? ? ? 2
sin ? pt ? ? ?
2
k ?p
Движение = свободные колебания + вынужденные колебания

H
k 2 ? p2

13. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
x ? a sin ? kt ? ? ? ?
A?

H
k 2 ? p2

H
sin ? pt ? ? ?
2
2
k ?p

Амплитуда вынужденных колебаний

Величина статического отклонения точки от положения равновесия при
действии, равной максимальному значению возмущающей силы

xст

xст ? Hk ?2
A
A
1
?
?
Коэффициент динамичности ? ?
xст H / k 2 1 ? p 2 / k 2
&
x&? k 2 x ? H

?

?

показывает во сколько раз амплитуда колебаний превосходит
статическое отклонение

1
1

p/k

14. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
x(0) ? x0 , x&(0) ? x&0
H
H
x (0) ? C1 ? 2
sin ?
x ? C1 cos kt ? C2 sin kt ? 2
sin ? pt ? ? ?
2
2
k ?p
k ?p
Hp
Hp
&
x
(0)
?
C
k
?
cos ?
2
x&? ?C1k sin kt ? C2k cos kt ? 2
cos ? pt ? ? ?
2
2
2
k ?p
k ?p
H
x&0 p H
C1 ? x0 ? 2
sin
?
C
?
?
cos ?
2
2
2
2
k ?p
k k k ?p
x&0
H ?
p
H
?
x ? x0 cos kt ? sin kt ? 2
sin
?
cos
kt
?
cos
?
sin
kt
?
sin ? pt ? ? ?
?
2 ?
2
2
k
k ?p ?
k
k ?p
?
свободные колебания,
вызванные начальными
условиями

свободные колебания,
вызванные вынуждающей
силой

чисто
вынужденные
колебания

15. БИЕНИЯ
x0 ? x&0 ? 0
x??

H ?
p
H
?
sin
?
cos
kt
?
cos
?
sin
kt
?
sin ? pt ? ? ?
?
2
2 ?
2
2
k ?p ?
k
k ?p
?

p?k ? x?

H
sin( pt ? ? ) ? sin(kt ? ? ) ?
2
2 ?
k ?p

2H
? p?k ?
x? 2
sin ?
t? cos ? pt ? ? ?
k ? p2
2
?
?

p?k

x?

H
t cos ? kt ? ? ?
2k

x

2?
p

0

При p=k амплитуда неограниченно растет со
временем. Это явление называется резонансом
2?
p?k

Биение

16. РЕЗОНАНС
&
x&? k 2 x ? H sin ? kt ? ? ?
Общее решение = общее решение + частное решение
однородного у-я
неоднородного у-я

x1 ? a sin ? kt ? ? ?

x&2 ? A sin ? kt ? ? ? ? Akt cos ? kt ? ? ?
2 Ak cos ? kt ? ? ? ? H sin ? kt ? ? ?
H
?
A?
,? ?? ?
2k
2
Ht
x ? a sin(kt ? ? ) ?
cos( kt ? ? )
2k

x2 ? At sin ? kt ? ? ?

2
&
x&
?
2
Ak
cos
kt
?
?
?
Ak
t sin ? kt ? ? ?
?
?
2

x
x?

Ht
2k

t



x??

Ht
2k

Резонанс

17. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
С ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
&
x&? 2hx&? k 2 x ? H sin ? pt ? ? ?
Общее решение = общее решение + частное решение
однородного у-я
неоднородного у-я
2

k* ? k 2 ? h

x&2 ? Ap cos ? pt ? ? ?

x1 ? ae ? ht sin ? k *t ? ? ?

x2 ? A sin ? pt ? ? ?

2
&
x&
?
?
Ap
sin ? pt ? ? ?
2

A ? k 2 ? p 2 ? sin ? pt ? ? ? ? 2hpA cos ? pt ? ? ? ? H sin ? pt ? ? ? ?
? H sin ? pt ? ? ? cos(? ? ? ) ? H cos ? pt ? ? ? sin(? ? ? )

A ? k 2 ? p 2 ? ? H cos ? ? ? ? ?

2 phA ? H sin ? ? ? ? ?
2hp
tg ? ? ? ? ? ? 2
k ? p2
H
A?
2
2 2
? k ? p ? ? 4h 2 p 2

x ? x1 ? A sin ? pt ? ? ?
Быстро
затухает

??

A
A
?
?
Aст H / k 2

Главный
интерес

Основное
колебание

1

? 1 ? z 2 ? ? 4? 2 z 2
2

p
k
h
??
k
z?

18. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
С ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
1) Амплитуда вынужденных
?
колебаний при z, достаточно
большом и достаточно
малом по сравнению с z=1, мало
4
зависит от сопротивления среды.
2)При z, близких к z=1, влияние
3
сопротивления на амплитуду
вынужденных колебаний весьма
существенно.
2
3) При z ? ? амплитуда
вынужденных колебаний
асимптотически стремится к нулю.
1
Это значит, что при большой частоте
возмущающей силы по сравнению с
собственной частотой амплитуда
0
0  
вынужденных колебаний мала.
4) При большом сопротивлении ? ? ? 0.7 ?
амплитуда вынужденных колебаний
убывает с ростом z и не превосходит
величины статического отклонения

?=0
?=0.1
?=0.15
?=0.25
?=0.5
?=0.7
?=1

линия
максимумов

1  

2  

Имеется максимум при ? ?

zmax ? 1 ? 2 ? 2

?max ?

z

2/2
1

2? 1 ? ? 2






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.