ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 5:
СИЛОВОЕ ПОЛЕ, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ
ЭНЕРГИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ

1. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ
Будем называть силовым полем область (часть пространства), в
каждой точке которой на помещенную в ней материальную точку
действует сила, однозначно определенная по величине и направлению
в любой момент времени.

F ? F (r, t )
Силовое поле называется нестационарным, если сила F зависит
явно от времени t, и стационарным, если сила не зависит от
времени t явно. Далее рассматриваем только стационарные силовые
поля

F ? F (r )

2. СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ
СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ
1. Работа сил стационарного поля зависит в общем случае от начального М1 и
конечного М2 положений и траектории, но не зависит от закона движения
материальной точки по траектории.
x ? x ( q)
уравнение
y ? y ( q)
A1,2 ? ? F ?dr ? ? Fx dx ?Fy dy ?Fz dz
траектории
MM
MM
z ? z ( q)
1

2

1

q2

2

?
dx
dy
dz?
A1,2 ? ? ? Fx
? Fy
? F ? dq
dq
dq
dq?
q1 ?

II

M1
I

M2

2. При изменении направления движения по траектории работа меняет знак
A2,1 ? ? A1,2
I
II
3. В общем случае работа зависит от траектории A1,2 ? A1,2
Поэтому чтобы воспользоваться теоремой об
изменении кинетической энергии нужно знать
траекторию.

mv22 mv12
?
? A1,2
2
2

3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Поля, работа сил которых не зависит от траектории движения материальной
точки и определяется только положением начальной и конечной точек пути
называются потенциальными (консервативными).
I
II
A1,2
? A1,2
? A1,2

II

M1

M2

I

Для потенциальных сил можно ввести понятие потенциальной энергии П(x,y,z)
как работы сил при движении точки из положения M(x,y,z) в фиксированное
положение Mo :

? ( x, y, z ) ? AMM 0

ПЭ определена с точностью до константы. При изменении начальной точки M 0 ? M 0*
потенциальная энергия изменяется как
M 0*
M
? * ? ? ? AM M const
M0
0

*
0

Чтобы пользоваться ТИКЭ не нужно знать траекторию!

A1,2 ? A1,0 ? A0,1 ? A1,0 ? A2,0 ? ?1 ? ? 2

M1

M2
M0

4. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Для того чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая непрерывная однозначная функция координат
П (х, у, z), что
??
??
??
Fx ? ?
, Fy ? ?
, Fz ? ?
M0
?x
?y
?z
M1 M
Необходимость:
Пусть поле потенциально. Определим П как ? ( x, y , z ) ? AMM
M ( x, y , z )

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )

x
0

M 1 ( x ? ?x, y, z )
x ??x

? ( x, y , z ) ? ? ( x ? ?x, y , z ) ? AMM 0 ? AM1M 0 ? AMM1 ? ? Fx dx ? Fx ( x, y , z ) ? ?x ?o( ?x )
x
??
Fx ( x, y , z ) ? ?
?x
? ??
??
?? ?
Достаточность:
d ?A ? Fx dx ? Fy dy ? Fz dz ? ? ?
dx ?
dy ?
dz? ? ?d ?
?y
?z ?
? ?x
A1,2 ?

?

M1M 2

?2

d ?A ? ? ? d ? ? ?1 ? ? 2
?1

??x

5. ГРАДИЕНТ И РОТОР
Если задана скалярная функция U(x,y,z), то вектор, образуемый по формуле
gradU ?

?U
?U
?U
i?
j?
k
?x
?y
?z

называется градиентом функции U
Иная форма записи
gradU ? ?U

?
?
?
?j ?k
?x
?y
?z
В потенциальном силовом поле сила с точностью до знака равна градиенту
потенциала
F= ? grad ?

Здесь ? (набла) – дифференциальный оператор Гамильтона ? ? i

Ротор вектора F по определению есть
i
j k
?
?
? ? ?Fz ?Fy?
? ?Fx ?Fz? ? ?Fy ?? Fx
rot F ?
??
? ? i??
? ? j ??
? ? k
?x ?y ?z ? ?y
?z ?
?
z
?
x
?
x
?? y
?
? ?
Fx Fy Fz

6. Как проверить является ли
данное поле потенциальным
Fx ? ?

??
??
??
, Fy ? ?
, Fz ? ?
,
?x
?y
?z

?Fx
?? ?Fy
??
??
,
??
?y
?x?y ?x
?y?x

?

?Fx ?Fy
?
?y
?x

?Fx ?Fz
?
?z
?x

?Fy
?z

?

?Fz
?y

? rot F ? 0

Пример 1: Является ли силовое поле Fx ? ? py , Fy ? px, Fz ? 0,
потенциальным?
?Fy
?Fx
?Fx ?Fy
? ? p,
?p ?
?
не является
?y
?x
?y
?x
Пример 2: Является ли силовое поле Fx ? xy 2 , Fy ? x 2 y, Fz ? z 2 ,
потенциальным?
z
Если да, то найти потенциал.
M
?Fx ?Fy
?Fx ?Fz ?Fy ?Fz
поле потенциально
?
? 2 xy,
?
?
?
?0
?y
?x
?z
?x
?z
?y
O
? ? AMO ? AMB ? ABC ? ACO ?

?

MB
0

0

0

?

?

BC

?

C
x

?

CO
0

0

x2 y2 z3
? ? ? Fz ( x, y, z )dz ? ? Fy ( x, y, 0)dy ? ? Fx ( x, 0, 0)dx ? ? z dz ? ? x ydy ? ?
?
2
3
z
y
x
z
y
2

2

B

y

7. ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И СИЛОВЫЕ ЛИНИИ
Поверхность П(x, у, z) = С, на которой потенциальная функция П имеет
постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью или
поверхностью уровня. Для данного поля эти поверхности образуют семейство
с параметром С; давая постоянному С разные значения, мы будем получать разные
поверхности уровня, которые в случае, когда функция П однозначна, не могут
пересекаться и будут разделять силовое поле на слои
Работа сил поля при перемещении точки из начального
положения в конечное, когда оба эти положения
находятся на одной и той же эквипотенциальной
поверхности, равна нулю

силовые линии

F

? ? C1

эквипотенциали

? ? C2
? ? C3

Силовые линии – линии у которых касательная в каждой точке совпадает с
направлением силы, действующей в этой точке
dr PF ?

dx dy dz
?
?
Fx Fy Fz

Уравнение силовых линий

Силовые линии ортогональны к эквипотенциальным поверхностям

8. Свойства эквипотенциальных
поверхностей
Силовые линии ортогональны к эквипотенциальным поверхностям =
Сила нормальна к эквипотенциальной поверхности =
Градиент функции ортогонален ее линиям уровня
Рассмотрим мат. точку, движущуюся по эквипотенциали
силовые линии F
x ? x(t ) z ? z (t ) y ? y (t ) - закон движения точки по эквипотенциали
? ? x(t ), y (t ), z (t ) ? ? C

?? dx ?? dy ?? dz
?
?
? 0 ? F ?v ?0
?x dt ?y dt ?z dt
эквипотенциали
F?v

v ? касательной плоскости к эквипотенциали

? ? C1
? ? C2
? ? C3

Сила нормальна к эквипотенциальной поверхности

Рассмотрим мат. точку, движущуюся по нормали n к эквипотенциальной поверхности в
сторону действия силы

0 ? d ?A ? ?d ?

Вектор силы F (или grad П) направлен в любой точке поля по нормали к поверхности
уровня, проходящей через эту точку, в сторону убывания потенциала П.

9. Свойства эквипотенциальных
поверхностей
1) Найдем проекцию силы, действующей в точке М поля,
на какое-нибудь направление s, проходящее через эту
точку и характеризуемое единичным вектором s0
?? dx ?? dy ?? dz
??
Fs ? F ?s0 ? ??? ?s0 ? ?
?
?
??
?x ds ?y ds ?z ds
?s
??
F ? ?? ? ?
?n

n

???

?

??
?s

s

M
? ? const

2) Сила (градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние между соседними
эквипотенциалями меньше, т. е. где поверхности уровня проходят гуще (теорема
Кельвина).
? ? C ? 2dc
? ? C ? dc
? ?C

dn

F?

dc
dn

Fb ? Fa

10. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
? mv 2?
? mv 2?
d?
d?
? ? d ?A
? ? ?d ?
2
2
?
?
?
потенциальность ?
интегрирование
ТИКЭ

mv 2
? ? ? const
2
интеграл энергии

При движении точки под действием потенциальных сил сумма кинетической и
потенциальной энергии точки, т. е. ее полная механическая энергия, остается
величиной постоянной.

11. ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
Какое влияние оказывают силы сопротивления на полную механическую энергию?
Относительно силы сопротивления будем предполагать лишь что она всегда
направлена противоположно скорости движения точки
?2D
2
?
d ? mv
? mv 2?
?
?
?
? ? Fc ?v ?0
d?
? ? ?d ? ? Fc ?dr
dt ? 2
?
? 2?
dissipate
Полная механическая энергия под действием сил
1) рассеивать,
сопротивления убывает ( рассеивается, диссипирует)
2) транжирить,
проматывать
Cилы сопротивления называют еще диссипативными.
Величину D, численно равную половине механической энергии, убывающей в
единицу времени, называют диссипативной функцией.

bv 2
Fc ? ?bv ? D ? D (v) ?
2

12. Примеры потенциальных силовых полей
1) Поле силы тяжести:

Fx ? Fy ? 0, Fz ? ?mg

?d ? ? Fx dx ? Fy dy ? Fz dz ? ? mgdz ? ?d ? mgz ?

? ? ? mgz

z
эквипотенциали
силовые линии

x, y

r
2) Поле центральных сил: F ? Fr (r )
r

d?
r
?? ? ? ?
?r ? Fr ?r ? Fr
dr
r

r0

? (r ) ? ? Fr (r )dr
r

?r ? x 2 ? y 2 ? z 2
2x
x
?
?
?
dx
dx
2 x2 ? y 2 ? z 2 r

13. Примеры потенциальных силовых полей
2а) Гравитационная сила:
Fr (r ) ? ? f

mM
r2

r0 ? ?

? (r ) ? ? f

mM
r

2б) Квазиупругая сила:
Fr (r ) ? ?c(r ? a)
z

r0 ? a

F

y

a

2

2

r?a

r

x

? r ? a?
? (r ) ? c






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.