ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 4:
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

1. Основные теоремы динамики
точки
Основные теоремы динамики:
• Теорема об изменении количества
движения материальной точки
• Теорема об изменении момента
количества движения материальной точки
• Теорема об изменении кинетической
энергии материальной точки

2. Теорема об изменении
количества движения
d
? mv ? ? F
dt
Tеорема в дифференциальной форме
Tеорема в интегральной
форме

d ? mv ? ? Fdt
Элементарное изменение
равно
количества движения
материальной точки

элементарному
импульсу силы,
приложенной к точке.

импульсу силы, прилоравно женной к точке, за тот же
промежуток времени.

Изменение количества
движения за конечный
промежуток времени

t

mv ? mv 0 ? ? Fdt
0

Координатная запись

d ? mVx ? ? Fx dt

?

?

d mVy ? Fy dt
d ? mVz ? ? Fz dt

t

mVx ? mV0 x ? ? Fx dt
t0

t

mV y ? mV0 y ? ? Fy dt
t0

t

mVz ? mV0 z ? ? Fz dt
t0

3. Первые интегралы
Случай 1

Vx ? cx , V y ? c y , Vz ? cz

F ? 0 ? v ? const

При отсутствии силы свободная материальная точка движется равномерно и
прямолинейно
Случай 2

Fx ? Fy ? 0 ? Vx ? cx , V y ? c y
Траекторией точки будет плоская кривая, лежащая в плоскости, параллельной
оси z, т. е. линии действия силы.

c yVx ? cxV y ? 0 ?

d
c y x ? cx y ? ? 0 ? c y x ? c x y ? const
?
1442443
dt

Ур-ие плоскости,
параллельной оси z

Случай 3

Fx ? 0 ? Vx ? cx
Проекция скорости точки на ось, перпендикулярную к силе, остается величиной
постоянной.

4. Первые интегралы
t

В общем случае F ? F ? x, x&,t ?
при вычислении импульса Fdt
нужно знать x (t ) , т.е. решение уравнений движения.
0
Но если известно общее решение, то использование теоремы об изменении
количества движения для нахождения первых интегралов теряет смысл

?

Однако если действующая сила постоянна (F = const) или зависит
только от времени, т. е. F = F(t), то интеграл вычисляется и теорема дает
один векторный или, в проекциях на оси координат, три скалярных первых
интеграла уравнений движения точки.
Пример использования: Определить промежуток времени Т, необходимый для того,
чтобы материальная точка веса Р, движущаяся по горизонтальной прямой под
действием постоянной силы F, увеличила свою начальную скорость v0 в n раз.

P
? nv0 ? v0 ? ? FT
g

? T?

Pv0
? n ? 1?
Fg

5. Теорема об изменении
момента количества движения
Момент количества движения точки M относительно точки О равен

r

K O ? rOM ? Q ? m ? rOM ? v ?

M

v

О

dv d
dr
d
? ? r ? mv ? ? ? mv ? ? r ? mv ? ? v1?2m
v
3
dt dt
dt
dt
0
d
dK O
r
?
m
v
?
r
?
F
? MO
?
?
dt
dt

r ? F ? r ? mw ? r ? m

K O ? r ? mv момент количества движения материальной точки относительно
MO ? r ? F

центра (точки О)
момент силы, приложенной к точке, относительно центра

Производная по времени от момента количества движения материальной точки
относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке,
относительно того же центра.

6. Теорема об изменении
момента количества движения
Теорема об изменении момента количества движения в проекциях на оси:
Производная по времени от момента количества движения материальной точки
относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке,
относительно той же самой оси.

d
? yz&? zy&? ? yFz ? zFy
dt
d
m ? zx&? xz&? ? zFx ? xFz
dt
d
m ? xy&? yx&? ? xFy ? yFx
dt
m

7. Первые интегралы в случае
центральной силы
r?F ? 0
Это возможно или когда сила F = 0, или же тогда, когда линия действия силы все
время проходит через одну и ту же точку О. Такая сила называется центральной
силой, а точка О, через которую проходит линия действия силы, — центром силы.

r ? mv ? const
векторный первый интеграла
уравнений движения

m ? yz&? zy&? ? c1

m ? zx&? xz&? ? c2
m ? xy&? yx&? ? c3

три скалярных первых интеграла

8. Следствие 1
Траектория точки, движущейся под действием центральной силы,
есть плоская кривая.

r?v

Геометрия
Так как вектор r ? v перпендикулярный к плоскости,
проходящей через векторы r и v, имеет постоянное
направление, то векторы r и v должны все время
лежать в одной плоскости, проходящей через центр О.

r

v

Алгебра

m ? yz&? zy&? ? c1

m ? zx&? xz&? ? c2
m ? xy&? yx&? ? c3

?x
?y

?z

?

c1 x ? c2 y ? c3 z ? 0
уравнение плоскости

O

9. Следствие 2
Закон площадей: площади, описываемые радиусомвектором, пропорциональны временам. ? ? ct ? ?

r ? v ? const
2q

0

A1
r (t ? ?t )

z

A
r (t )

O

секторная скорость

?r

y

?? ?

x
Секторная скорость характеризует скорость изменения площади поверхности,
описываемой радиус вектором

1
r ? ?r
2

d?
??
1
1
?r 1
q?
? lim
? lim
r ? ?r ? lim r ?
? r? v
?
t
?
0
?
t
?
0
?
t
?
0
dt
?t
2?t
2
?t 2
2-ой закон Кеплера: линия, соединяющая планету с
Солнцем заметет равные площади за равные времена

vmax rmin ? vmin rmax

vmax rmax
?
vmin rmin

Перигелий rmin

vmax

vmin
rmax

Афелий

10. Теорема об изменении
кинетической энергии
Скалярная величина T, равная половине произведения массы точки
на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией точки

v?

d
? mv ? ? F
dt

d ? mv 2?
?
? ? F ?v
dt ? 2 ?
d
T ?W
dt

m 2 m
T ? v ? v ?v
2
2

dv y
dvx
dv
vx ?
?v y ?
?vz ? z
dt
dt
dt

1 dvx2
?
2 dt

2

1 dv y
?
2 dt

1
?
2

1 dv 2
?
2 dt

Величина W, равная скалярному произведению силы
на скорость точки ее приложения, называется мощностью.
Производная по времени от кинетической
энергии точки равна мощности

В СИ мощность измеряется в ваттах (1 вт = 1 н м/сек).
В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила = 736 вт.

11. Работа силы
Единицы измерения в СИ -джоуль

A1,2 ? Fs cos ? ? Fs
uuuuuur
s ? M 1M 2

1Дж ? 1 Н?м

F
v

?

M1

dr
M
M2

M1

A1,2 ? lim ? Fk cos ? k ?sk

A1,2 ?

?

M 1M 2

F ?dr ?

?

M 1M 2

F

O

d ?A ? F cos ? ds ? F dr cos ? ? F ?dr

Элементарная работа

n ??
?s ?0 k ?1

?
r

s

n

M2

v

A1,2 ?

?

F cos ? ds

M1M 2

Fx dx ?Fy dy ?Fz dz

Представление работы в виде
криволинейного интеграла 1-го
рода
Представление работы в виде
криволинейного интеграла 2-го рода

12. Теорема об изменении
КЭ в терминах работы
Связь между работой и мощностью
мощность равна работе,
F ?dr
W ? F ?v ?
? Wdt ?d ?A
совершаемой в единицу времени
dt
Дифференциал кинетической энергии материальной точки
? mv 2?
дифференциальная
?
d?
?
d
A
?
равен элементарной работе, действующей на точку силы.
форма теоремы
2
?
?
интегральная
форма теоремы

mv22 mv12
?
? A1,2
2
2

A1,2 ?

?

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее
перемещении равно работе действующей силы на том же
перемещении.

F ?dr ?

M1M 2

?

Fx dx ?Fy dy ?Fz dz

M1 M 2

В общем случае при вычислении работы нужно иметь решение уравнений движения.

x ? x(t )
y ? y (t )
z ? z (t )

&
dx ? xdt
? dy ? ydt
&
&
dz ? zdt

?

t2

A1,2 ? ? ? Fx x&? Fy y&? Fz z&? dt
t1

Если сила F зависит только от x и траектория M1M2 известна то работа вычисляется по
формуле (1) и при этом не нужно знать полностью закон движения

13. Пример 1: постоянная сила
M2

F ? const
A1,2 ?

?

M 1M 2

F ?dr ?F ? ? dr ?F ? ?r2 r?1 ?

M

M1 M 2

Для силы тяжести имеем

A1,2 ? ? PH

Fs
? cos ?

+ если М опускается
- если М поднимается

M1

M1

?
H

?
r2

F
r1 O

P
M2

В данном случае совершаемая работа не зависит от траектории точки, а зависит
лишь от начального и конечного положений. При этом теорема об изменении
кинетической энергии дает первый интеграл

mv22 mv12
?
? P ? z1 ? z2 ?
2
2

ось z направлена вверх

14. Пример 2
Fx ( x, y ) ? ? py, Fy ( x, y ) ? px,

p?0

y

F ?r ?? ?py ? x ?? px ? y ?0

F?r

C

3

A1 ? 0
A2 ?

?

OB

A3 ?

?

OC

O

?

?

?

xM

BM

?

?

CM

yM

? F ( x, 0)dx ? ? F ( x
x

y

0

?

0

yM

yM

M

? F (0, y )dy ? ? F ( x, y
0

x

0

M
1
2

, y )dy ? ? pxM dy ? pxM yM
0

xM

y

F

xM

M

)dx ? ? (? pyM )dx ? ? pxM yM
0

В общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного
положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта точка
перемещается.

B

x

15. Задачи, решаемые с помощью
Т. об изменении энергии
mv22 mv12
?
? A1,2
2
2
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно решать
следующие две основные задачи.
1) определение скорости материальной точки в конце или начале
движения. Решение этой задачи имеет смысл в том случае, если работу всех
сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона
движения, т. е. не интегрируя уравнения движения.
2) вычисление работы силы по заданной скорости.
Использование теоремы для решения задач такого рода особенно полезно в
тех случаях, когда трудности, связанные с определением закона движения и
вычислением интеграла работы сравнительно велики.

16. Пример 3: Колебания с
вязким сопротивлением
F ? ?cx, R ? ?bx&

&? ?bx&? cx
mx&

Определить работу восстанавливающей силы F и работу силы
сопротивления R для линейных колебаний точки за все время колебаний. 0
x0

0

cx02
AF ? ? ?cx dx ? c ? x dx ?
2
x0
0
0

0

?

не нужно знать закона движения
точки, ее массу и скорость

AR ? ? ?bx&dx ? ?b ? x&&
xdt ? b ? ? x&? dt
x0

k 2 ? c / m, 2 h ? b / m

?

h?k

? ? ? ?h ? h2 ? k 2

x?

? ? x0 ? x&0 ? ? t ? ? x0 ? x&0 ? ?t
e ?
e
?? ? ??
?? ? ??

x&? ? ?

? ? x0 ? x&0 ? ? t
? x ? x&
e ? ? ? ? 0 0 e? ?t
?? ? ??
?? ? ??
?

mx&02 cx02
AR ? b ? L ?
?
2
2
0

x

x0

2

нужно знать закон движения точки

0

&
&&? ?bxx
&&? cxx&
mxx
m d
c d
2
2
&&?
? x&? ? ?bxx
? x?
2 dt
2 dt
?

mx&
cx
2
? b ? ? x&? dt ?
2
2
0
2
0

2
0

AR

mx&02 cx02
AR ?
?
2
2

?

? ? dt
0






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.