ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 8:
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ

1. Определение несвободного
движения. Связи
Существуют случаи движения материальной точки, когда
некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение
1) по строго фиксированной поверхности
2) по строго определенной линии
3) лишь в некоторой части пространства
Такая точка – несвободная, ее движение – несвободное движение,
ограничения, из-за которых точка совершает несвободное движение – связи.

1) Движение точки на конце 2) Движение колечка
по проволоке
нерастяжимого стержня

3) Движение точки на конц
нерастяжимой нити

2. Принцип освобождаемости
При рассмотрении несвободного движения следует действие связей на
материальную точку заменить реакциями этих связей и рассматривать
материальную точку как свободную, но находящуюся под действием как
сил активных, так и реакций связей.
Основное уравнение динамики

mw ? F ? R
активные реакции

В общем случае реакция связи заранее не известна и должна определяться
в ходе решения задачи
Основное уравнение динамики позволяет непосредственно решать такие
задачи, когда заданы движение и активные силы и требуется определить
реакции

R ? mw ? F

4. Уравнения связей
Уравнения линии или поверхности, по которым совершает движение
точка, называются уравнениями связи. Если точка принуждена оставаться
в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде
неравенств.
При движении точки по поверхности уравнение связи есть уравнение
поверхности

f ( x, y , z ) ? 0

2
2
2
2
Н-р при движение точки на конце нерастяжимого стержня x ? y ? z ? l

При движении точки внутри области имеем одно или несколько неравенств
вида
f ( x, y , z ) ? 0
Н-р при движение точки на конце нерастяжимой нити

x2 ? y2 ? z2 ? l 2

При движении точки вдоль линии уравнения связи есть

f1 ( x, y, z ) ? 0, f 2 ( x, y , z ) ? 0
f1 ? 0
уравнения поверхностей, линия пересечения которых – траектория точки
f2 ? 0

5. Классификация связей
Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид
равенства. Связи, задаваемые с помощью неравенств – неудерживающие.
Если связь со временем не меняется, т.е. время не входит явным образом
в уравнение связи, то связь стационарная (склерономная)
Если связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи
будет содержать явно время t . Такие связи нестационарные (реономные)
Идеальные связи
При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может
быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная
составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой
будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная
составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие,
то реакция нормальна к поверхности
Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не
имеют касательных составляющих
В ТИКЭ работа сил реакции идеальных стационарных связей равна нулю!

6. Движение точки по гладкой
неподвижной поверхности
Уравнения движения
Уравнение связи

&? Fx ? Rx , my&
&? Fy ? R y , mz&
&? Fz ? Rz
mx&
f ( x, y , z ) ? 0

Нужны еще два уравнения. Для их получения используем условие идеальности
связей
?f
?f
?f
grad f ?
i?
j? k
ортогонален к поверхности f ( x, y, z ) ? 0
?x
?y
?z
Ry
Rx
Rz
?
?
??
R Pgrad f
?f ?x ?f ?y ?f ?z
&? Fx ? ?
mx&

?f
?f
?f
Уравнения Лагранжа 1-го рода
&? Fy ? ? , mz&
&? Fz ? ?
, my&
?x
?y
?z

Уравнения Лагранжа 1-го рода + уравнение связи
Реакция определяется по вычисленному ?

?

x, y, z, ?
R ? ? grad f

7. Пример: движение по желобу
Уравнение связи

f ( x, y , z ) ? x 2 ? y 2 ? r 2 ? 0

O
v0

grad f ? 2 xi ? 2 yj ? 0k

Уравнения Лагранжа 1-го рода
R
?
z
&? 0
mz&
?
z ? v0t
&? mg ? 2? x
mx&
&? &
&? ? mgy
m? &
xy
yx
mg
?
&? 2? y
my&
&? &
&? ? mgx ? 2? ? x 2 ? y 2 ?
m? &
xx
yy

x

x ? r cos ? , y ? r sin ?
Переход к цилиндрическим координатам
&sin ? ? r?&2 cos ?
&? ?mgr sin ?
x&? ? r?&sin ? &
x&? ? r?&
mr 2?&
?
&cos ? ? r?&2 sin ?
&
y&? r?&cos ?
y&? r?&
mr 2?&2 ? mgr cos ? ? 2? r 2
?&2 g
g
g
? cos ? ? const
&&
&? sin ??&? 0 ?
&? sin ? ? 0
??
?
?&
{
2 r
r
r
0

y

8. Пример: движение по желобу
mr ?& ? mgr cos ? ? 2? r
2

2

?& g
? cos ? ? 0
2 r
2

2g
cos ?
r
3mg
???
cos ?
2r

?&2 ?

2

?

R ? ? grad f

Rx ? 2 x? ? ?3mg cos ?
2

R y ? 2 y? ? ?3mg sin ? cos ?

O
v0

z

?

R
x
mg

Реакция равна нулю при ? ? ? ? 2
Реакция максимальна и равна 3mg при ? ? 0
Для нахождения закона изменения угла ? нужно проинтегрировать ур-е
g
&? sin ? ? 0
?&
r

y

9. Движение по гладкой кривой
Метод множителей Лагранжа
Уравнения движения
Уравнения связи
grad f1
grad f 2

&? Fx ? Rx , my&
&? Fy ? R y , mz&
&? Fz ? Rz
mx&
f1 ( x, y , z ) ? 0, f 2 ( x, y , z ) ? 0
2

ортогонален к поверхности 1
ортогонален к поверхности 2

1

Уравнения
Лагранжа
1-го рода

Линейная комбинация ?1grad f1 ? ?2grad f 2
определяет совокупность векторов, ортогональных линии пересечения пов-й
R ? ?1grad f1 ? ?2 grad f 2
?f1
?f
? ?2 2
?x
?x
?f
?f
&? Fy ? ?1 1 ? ?2 2
my&
?y
?y
?f
?f
&? Fz ? ?1 1 ? ?2 2
mz&
?z
?z
f1 ( x, y , z ) ? 0, f 2 ( x, y , z ) ? 0
&? Fx ? ?1
mx&

?

x, y , z, ?1 , ?2

10. Движение по гладкой кривой
Естественные ур-ния движения
(1)
(2)
(3)

d 2s
m 2 ? F? ?
dt
v2
m ? Fn ? Rn
?
0 ? Fb ? Rb

F

?

dv
? F?
dt

b

R

n

Уравнение (1) не содержит наперед неизвестной реакции связи и служит
для нахождения закона движения точки; уравнения же (2) и (3)
определяют реакцию связи, которая зависит как от активной силы F, так и
от скорости движения.
Таким образом, пользуясь естественными уравнениями, можно
находить закон несвободного движения, не отыскивая реакцию связи.

11. Уравнения
математического маятника
Математическим маятником называется материальная точка,
движущаяся под действием силы тяжести по гладкой окружности,
расположенной в вертикальной плоскости.
y
O

v ? l?&

F? ? ?mg sin ?
Fn ? ?mg cos ?
&? ? mg sin ?
ml?&
Естественные
ml?&2 ? ?mg cos ? ? Rn
уравнения движения
Начальные условия

? (0) ? ? 0 , ?&(0) ? ?&0
Нахождение реакции

ТИКЭ

1
2

l?& ? g ? cos ? ? cos ? 0 ? ? l?&
v0 ? l?&0
2

1
2

2
0

?

x

l

n

mg

?

?

mv02
Rn ?
? mg ? 3cos ? ? 2 cos ? 0 ?
l

1?
v02?
Когда нить сомнется? Rn ? 0 ? cos ?1 ? ? 2 cos ? 0 ? ?
3?
gl?
В частности, при ? (0) ? 0 и v0 ? 5 gl нить никогда не сомнется и маятник
будет совершать круговое вращение

12. Математический маятник.
Закон движения
g
g
k?
sin ? ? 0 ? (0) ? ? 0 , ?&(0) ? 0
l
l
&? k 2? ? 0 Уравнение свободных
Малые отклонения
?&
sin ? ? ?
линейных колебаний
Решение: ? ? ? 0 cos kt
2?
l
не зависит от ? 0 (изохронность)
Период малых колебаний T ?
? 2?
k
g
Общий случай
1
d?
d?
t
?
?
? ? k 2 ? cos ? ? cos ? 0 ?
?
k
2 ? cos ? ? cos ? 0 ?
dt
При возрастании угла ? здесь должен быть взят знак «плюс», а при обратном
?
движении — знак «минус».
1
d?
t?? ?
Например, на первом полупериоде
k ?0 2 ? cos ? ? cos ? 0 ?
&?
?&

Продолжительность 1-го полупериода

1
t1 ? ?
k

?? 0

?

?0

d?

2 ? cos ? ? cos ? 0 ?

13. Математический маятник.
Период колебаний
?

2 0
d?
2 2
T ? 2t1 ? ?
?
k ??0 2 ? cos ? ? cos ? 0 ?
k

2
T?
k sin ? ? 0 / 2 ?
4
T?
k

?0

?
0

1 ? sin ? ? 2 ? sin ?
0
1 4 4 4 4 2 40 4 4 43
2

2

K (? 0 )

?0
T / T0

0o
1

? ? cos? ? cos ? ?
0

cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?

0

1 ? sin 2 ? ? 2 ? sin 2 ? ? 0 2 ?
d?

При малых ? 0

d?

d?

? /2

?

?0

2?
T?
k

10o
1.0019

K – полный эллиптический
интеграл 1-го рода

? 02
4?
? 1 ? 16 ? O ? ? 0 ??
?
?
?

20o
1.0076

40o
1.0304

60o
1.0684

90o
1.1539

Колебания математического маятника не изохронны

T0 ?

2?
k

14. Циклоида – изохронный
маятник
Уравнение циклоиды
x ? a ? 2? ? sin 2? ?
y ? a ? 1 ? cos 2? ?
tg? ?

dy dy d?
2a sin 2?
?
?
? tg ?
dx dx d? 2a ? 1 ? cos 2? ?
2

2

? dx? ? dy
?
ds ? ?
? ??
? d ? ? 2a
? d?? ? d? ?

Естественные
уравнения движения
&
s&?

? 1 ? cos 2? ? ? sin 2 2? d? ? 2a 2 ? 1 ? cos 2? ? d? ? 4a cos ? d?
2

s ? 4a sin?
&
s&? ? g sin?
v2
m ? R ? mg cos?
?

z

R

?

mg

g
2?
a
s?0 ? T ?
? 4?
независимо от начального положения точки
4a
k
g






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.