ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА-3-4

Посмотреть архив целиком
ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИИ 3-4:
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТТ.
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА.
ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

1. Основные задачи динамики
твердого тела
Дана система сил действующих на твердое тело. Требуется описать
движение тела
Будем различать три ситуации:
1) Твердое тело свободно
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
2) Твердое тело закреплено в одной точке
ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
3) Твердое тело закреплено в двух точках
ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Совсем
просто

4) Твердое тело закреплено в 3-х, 4-х,… точках

Суперпросто

2. Исходные ур-ия движение
свободного твердого тела
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы
Например: координаты центра масс и углы Эйлера, определяющие
ориентацию тела относительно центра масс
Для описания движения нужны шесть уравнений.
Первые три из них даются теоремой о движении центра масс

dv C
M
? F?
dt

d 2rC
? M 2 ? F?
dt

? rC (t )

Они служат для нахождения положения центра масс
Вторые три – теоремой об изменении момента количеств движения

dK O
? MO
dt
Эти уравнения будут служить для нахождения ориентации тела
относительно центра масс

3. Сведение к задаче о вращении вокруг неподвижной точки
dK O
? MO
dt
M?
F k ? kr? ?
r ? k ?F C ? ?
O ? ?
k

Z

C
k

?

x rC

k

? ? rk ? Fk ? rC ? ? Fk ? M C ? rC ? F?
k

z

k

O

rk
?k

X
&
&
&
?
r
?
r
m
r
?
r
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
C
k
C
k
k
?
?
d
?
? ? mk rk ? r&k ? rC ? ? mk rk ? ? ? mk rk? ? r&C ? rC ? r&C ?
? k
?
dt k
k
?
?
?
dK O dK C
dK C
&
&
&
&
?
? M rC ? rC ? rC ? rC ?
? rC ? F?
dt
dt
dt

K?O ? ?
? mk

?

dK C
? MC
dt

y

mk
Y
?
m
?k k?? ?

?

Теорема об изменении момента количеств движения
дает те же уравнения как будто бы твердое тело
вращалось вокруг неподвижной точки C

4. Вычисление момента
количеств движения
K O ? ? mk rk ? v k ? ? mk r?
k ?? r ?
k

k

?

k?

i
? ? rk ? ? X

j
?Y

k
i ? Z k?Y ? Yk?Z ? ?
?Z ? j ? X k ? Z ? Z k ? X ? ?

Xk

Yk

Zk

r?
k ??r ?

k?

Z

O

k ? Yk ?X ? X k?Y ?

i
? Xk
? Z k?Y

j
Yk
? X k ?Z

k
Zk j ?
?Yk? X

?Yk?Z

? Z k? X

? X k?Y

C ?O
x?X
y ?Y
z?Z

rk

X

Y
mk

?
?
?? ? X ? Z ? ?? Y X ?? Z Y ? ?
k?? ? X ?Y ? ?? Z X ?? Z Y ?

i ? X ? Yk2 ? Z k2 ? ? ?Y Yk X k ? ?Z Z k X k ?
2
k

Y

Z

2
k

2
k

2
k

X

k

X

k

k

Z

k

k k

Y

k k

K O ? i ? I X ? X ? I XY ?Y ? I XZ ?Z ? ? j ? IY ?Y ? I XY ? X ? IYZ ?Z ? ? k ? I Z ?Z ? I XZ ?X ? IYZ ?Y ?

5. Уравнения вращения в неподвижной системе координат
dK O
? MO
dt
d
? I X ?X ? I XY ?Y ? I XZ ?Z ? ? M OX
dt
d
? IY ?Y ? I XY ?X ? IYZ?Z ? ? M OY
dt
d
? I Z?Z ? I XZ ?X ? IYZ?Y ? ? M OZ
dt

Z

z

y

O

Y

x
X

НЕУДОБНЫ. Потому что не только компоненты ? , но и тензора
инерции изменяются со временем из-за того, что тело со временем
изменяет свою ориентацию относительно неподвижных осей.
ИДЕЯ№1: Перейти в подвижную систему координат, жестко
связанную с телом ? XYZ ? ? ? xyz ?
ИДЕЯ№2: Направить оси (xyz) по главным осям тензора инерции для
точки О

6. Воспоминания из
кинематики
dK O
? MO
dt
? M OX , M OX , M OX ? ? MO ? MO ? ? M Ox , M Oz , M Oz ?

z

? KOX , KOX , KOX ? ? K O ? K O ? ? KOx , KOz , KOz ?
x

x

y

y

z

z

y

O

=

? I ? ,I ? ,I ? ?

Z

x

Y

dK O dK O
X
&
&
&
? KOX , KOY , KOZ ? ? dt ? dt ? ? K&Ox , K&Oy , K&Oz ?
dK O d
? ? K 0 x i ? K 0 y j ? K 0 z k ? ? ? K&0 x i ? K&0 y j ? K&0 z k ? ? ? K 0 x&
i ? K0 y &
j ? K 0 z k&?
1 4 4 4 2 4 4 43
dt
dt
d%
KO
dt

di
? ? ? i,
dt

dj
? ? ? j,
dt

dk
? ? ? k,
dt

dK O d%
KO
?
? ? ? KO
dt
dt

7. Уравнения Эйлера
d%
KO
? ? ? K O ? MO
dt

i
? ? K O ? ?x
I x?x

j
?y
I y? y

i ? I z ? I y ? ? y? z
k
?z ? ? j ? I x ? I z ? ?x?z
I z? z ? k ? I y ? I x ? ? x ? y

Полная система уравнений вращения тела вокруг неподвижной точки

?x ? ?&sin ? sin ? ? ?&cos ?

+

? y ? ?&sin ? cos ? ? ?&sin ?
?z ? ?&cos ? ? ?&

ПОВТОРИТЬ!

d ?x
Ix
? ? I z ? I y ? ? y?z ? M Ox
dt
d?y
Iy
? ? I x ? I z ? ?x?z ? M Oy
dt
d ?z
Iz
? ? I y ? I x ? ?x? y ? M Oz
dt

Динамические уравнения Эйлера Кинематические уравнения Эйлера

8. Вращение вокруг
неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, имеющее 2 неподвижные точки О, О1

OXYZ
Oxyz
F, F1
R, MO

неподвижная система координат
подвижная система координат, жестко связанная с телом
реакции связей в О, О1
главный вектор и главный момент внешних сил

1) теоремы об изменении количества движения и момента
количества движения (в неподвижной системе координат)

dv
M C ? R ? F ? F1
dt

uuuu
r
dK O
? MO ? OO1 ? F1
dt

2) переход в подвижную систему координат

d%
vC
M
? M? ? v C ? R ? F ? F1 (1)
dt
uuuu
r
d%
KO
? ? ? K O ? MO ? OO1 ? F1 (2)
dt

воспользовались известным из
кинематики фактом:

абсолютная
производная

da d%
a
?
? ??a
dt dt

относительная
производная

9. Теорема об изменении
количества движения
3) вычисляем фигурирующие в (1) вектора в подвижной СК

M
? Fx?
F ? ?? Fy?
?
? F?
? z?
v?
C ?

?

F1 ? ??

i
uuuv
? OC ? 0
xC

?
?

d%
vC
? M? ? v C ? R ? F ? F1
dt
F1 x?
? Rx?
?
? R?
?
F1 y?
R
?
?
?
?
? y?
?
? R?
?
F1z?
?
? z?
?

j
0
yC

k ? ??&yC?
?& ? ?? ?&xC ?
?
zC ?? 0 ?
?

i
j
k ? ??&2 xC?
?
?
? ? vC ? 0
0 ?&? ? ??&2 yC?
??&yC ?&xC 0 ??
0 ?
?

0?
0?
?
?
?&
?

&? MxC?&2 ? Rx ? Fx ? F1 x
? MyC?&
&? MyC?&2 ? R y ? Fy ? F1 y
MxC?&
0 ? Rz ? Fz ? F1z

10. Теорема об изменении
момента количеств движения
4) вычисляем фигурирующие в (2) вектора в подвижной СК

?

MO ? ??
?
?

uuuu
r
d%
KO
? ? ? K O ? MO ? OO1 ? F1
dt
M x?
i
j
k ? ?hF1 y?
u
u
u
u
r
? hF ?
M y?
OO
?
F
?
0
0
h
?
1
1
1x ?
?
?
M z?
F1 x F1 y F1z ?? 0 ?
?
?
?
i
j k

K O ? ? r ???
? r

? ? dxdydz ? ?

x
y
??&y ?&x

z ? dxdydz ? ? ?
??
0

?
?

? xz?& ?
?
? yz?& ? ? dxdydz ?
?
2
2
&
x
?
y
?
?
? ??

i
j
k
2
? ? I xz?
? I yz ?
&
&
&
?
I
?
?
I
?
? M x ? hF1 y
xz
yz
?
?
? ? ? I yz? ?& ?? K O ? 0
&2
0
?& ? ?? ? I xz?
?
2
?
&
&
&
?
I
?
?
I
?
? M y ? hF1x
? I ?
yz
xz
?
?
? I xz?& ? I yz?& I z?& ? 0 ?
? z?
&? M z
I z?&

11. Уравнения движения
&? M z
I z?&

&? MxC?&2 ? Rx ? Fx ? F1x
? MyC?&
&? MyC?&2 ? R y ? Fy ? F1 y
MxC?&
&? I yz?&2 ? M x ? hF1 y
? I xz?&

диф. ур-ие вращения Т.Т вокруг оси

уравнения для определения
поперечных реакций

&? I xz?&2 ? M y ? hF1x
? I yz?&

0 ? Rz ? Fz ? F1z

уравнение для определения

Fz ? F1z

12. Пример
Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг
вертикальной оси, к которой он подвешен своим катетом. Найти
боковые давления на опоры. Треугольник считать тонкой
однородной пластинкой.

a
h?a
3
a
? z ?
2M
Ma 2
I yz ? ? yzdm ? 2 ? z ? ? ydy? dz ?
a 0 ? 0 ?
4
Mga
Rx ? R y ? M z ? M y ? 0, Rz ? ? Mg , M x ? ?
3
xC ? 0

yC ?

1
1
&? F1 x ? Fx , ? Ma?&2 ? F1 y ? Fy , Mg ? Fz ? F1z
Ma?&
3
3
1
1
1
&? aF1 x , I z?&
&? 0
Ma 2?&2 ? Mga ? aF1 y , ? Ma 2?&
4
3
4

M
a?&2 ? 4 g ?
?
12
M
F1 y ?
3g ? 5a?&2 ?
?
12
F1 x ? Fx ? 0

Fy ?

13. Условия совпадения динамических и статических реакций
&? MyC?&2 ? R y ? Fy ? F1 y
MxC?&
&? MxC?&2 ? Rx ? Fx ? F1 x
? MyC?&
&? I xz?&2 ? M y ? hF1x
? I yz?&
&? I yz?&2 ? M x ? hF1 y
? I xz?&
R y ? Fy ? F1 y ? 0, Rx ? Fx ? F1x ? 0
M y ? hF1x ? 0, M x ? hF1 y ? 0

уравнения для определения
динамических поперечных
реакций
уравнения для определения
статических поперечных реакций

При каких условиях динамические поперечные реакции совпадают со статическими?

&? MyC?&2 ? 0
MxC?&
&? MxC?&2 ? 0
? MyC?&
&? I xz?&2 ? 0
? I yz?&
&? I yz?&2 ? 0
? I xz?&

ур-ия для

xC , yC

ур-ия для

I xz , I yz

определитель
обеих систем

xC ? yC ? I xz ? I yz ? 0

&2 ? ?&4 ? 0
?&

Динамические реакции при вращении твердого тела равны статическим

?

Ось вращения является главной центральной осью инерции тела.

14. Альтернативная форма ур-й для
определения поперечных реакций
&? MyC?&2 ? R y ? Fy ? F1 y Исходные уравнения для
(1) MxC?&
Axyz
2
определения
динамических
&
&
&
?
My
?
?
Mx
?
?
R
?
F
?
F
(2)
C
C
x
x
1x
z
2
поперечных
реакций
&
&
&
(3) ? I yz? ? I xz? ? M y ? hF1 x
&? I yz?&2 ? M x ? hF1 y
(4) ? I xz?&
z?B B
O?
2
&
&
&
?
?
Mx
?
?
My
?
?
R
?
F
?
F
(1a)
C
C
y
Ay
By
xC ? xC? , yC ? yC? ?
2
&? MxC? ?& ? Rx ? FAx ? FBx (2a) x?
? MyC? ?&
z?A
A
I yz ? I y?z? ? z ?A yC? M
hF1x ? ? z?B ? z?A ? FBx
x
M y ? ? ? zk Fkx ? xk Fky ? ? ? ? ? zk? ? z ?A ? Fkx ? xk? Fky ? ?M y ? ? z ?A Rx
k

y?
y

k

I xz ? ? xzdm ? ? x? ? z? ? z?A ? dm ? I x?z? ? z?A ? ? x? ? xC? ? xC? ? dm ? I x?z? ? z?A xC? M
(3)

&? I x?z??&2 ? M y? ? z ?A Rx ? ? zB? ? z ?A ? FBx ? z ?A ? MyC? ?&
&? MxC? ?&2 ? ? (2a)
? I y ?z??&
M y? ? z?A ? FAx ? FBx ? ? ? zB? ? z?A ? FBx ? M y ? ? z ?A FAx ? zB? FBx

15. Альтернативная форма ур-й для
определения поперечных реакций
Окончательный вид уравнений для определения
поперечных реакций в системе координат O ?x?y ?z?

z

&? MyC? ?&2 ? R y ? FAy ? FBy
MxC? ?&
(2a) ? MyC? ?&
&? MxC? ?&2 ? Rx ? FAx ? FBx
&? I x?z??&2 ? M y? ? z?A FAx ? z?B FBx
(3a) ? I y?z??&
(1a)

2
&
&
&
?
I
?
?
I
?
? M x? ? z?A FAy ? z?B FBy
(4a)
x ?z ?
y ?z?
)
( доп)
(дин)
(ст )
FA(доп) ? FA( дин) ? F(ст
,
F
?
F
?
F
A
B
B
B

z?B B

x?
x

O?

y?

z?A

y

A

Уравнения для определения дополнительных поперечных реакций

&? MyC? ?&2доп
MxC? ?&
? FAy доп
? FBy
(2a) ? MyC? ?&
&? MxC? ?&2доп
? FAx доп
? FBx
&? I x?z??&2доп
? I y?z??&
? z?A FAx доп
? z?B FBx
(3a)
(1a)

(4a)

&? I y ?z??&2доп
? I x?z??&
? ? z?A FAyдоп ? zB? FBy

16. Пример 1
Центр тяжести махового колеса, вес которого Р = 300 кГ, находится на
расстоянии 1 мм от горизонтальной оси вала; расстояния подшипников
от колеса равны между собой. Найти реакции подшипников, если вал
вращается равномерно, делая n=1200 об/мин. Маховик имеет
плоскость симметрии, перпендикулярную к оси вращения.
A

&? 0, ?&?
xC ? ?1мм, yC ? I xz ? I yz ? 0 ?&
Статические реакции

FAy(ст1 ) ? FBy(ст1 ) ? 0

Дополнительные реакции

? MxC?&2 ? FAx(доп) ? FBx(доп)

)
FA(доп) ? FA( дин) ? F(ст
FB(доп) ? FB( дин) ? FB(ст )
A ,

FAy(доп) ? FBy(доп) ? 0

0 ? lFAy(доп) ? lFBy(доп)

FAx(доп) ? FBx(доп) ? ?

0?F

?F

0 ? lFAx(доп) ? lFBx(доп)

C

O

2? n
? 40? c ?1
l
l
60
FAx(ст1 ) ? FBx(ст1 ) ? P / 2 ? 150кГ

(доп)
By

(доп)
Ay

y

x1

M
xC?&2 ? 240кГ
2

x

z
B

17. Пример 2: постановка
задачи
Вычислить добавочные динамические
x
x2 BO ? b
AO
?
a
реакции в подшипниках А и В при
вращении вокруг оси АВ однородного
тонкого кругового диска CD, предполагая,
?
z
B
что ось АВ проходит через центр диска, A
O
но вследствие неправильного рассверz2
y
y
2
ливания втулка составляет с перпендикуляром к плоскости диска ?AOE ? ? ? 0.02рад
Дано: масса диска m = 3,27 кГ, радиус его r = 20 см, число оборотов
n = 30 000 об/мин, расстояния AO = 50 см, ОВ = 30 см.

xC ? yC ? 0, z A ? ?a ? ?50см,
Статические реакции

FAy ? FBy ? 0

zB ? b ? 30 см
b
3
FAx ? mg
? mg ? 12.05Н
a?b 8
a
5
FBx ? mg
? mg ? 20Н
a?b 8

18. Пример 2: вычисление
моментов инерции. Способ 1.
x2

x
x2 ? x cos ? ? z sin ?
?
y2 ? y
z2 ? ? x sin ? ? z cos ?

x
z
A

x2

?

z
O

z2

F ( x2 , y2 , z2 ) ? I x2 x22 ? I y2 y22 ? I z2 z22 ? 2 I x2 y2 x2 y2 ? 2 I y2 z2 y2 z2 ? 2 I z2 x2 z2 x2 ?

y y2

B
z2

1
1
? mr 2 z22 ? mr 2 ? x22 ? y22 ? ?
2
4

1 2 2 2
1
mr ? x sin ? ? z 2 cos2 ? ? xz sin 2? ? ? mr 2 ? y 2 ? x 2 cos2 ? ? z 2 sin 2 ? ? xz sin 2? ? ?
2
4
2
1
1
1
1
1
?
mr
?
?
?
?
? x 2 mr 2 ? sin 2 ? ? cos2 ?? ? y 2 mr 2 ? z 2 mr 2? cos2 ? ? sin 2 ?? ? xz
sin 2?
4
4 4 43
? 4 42 4 4 2 4 4
?
{
1 44 2 4 3
1 4 ? 42 4 4 2 4 44 4 43?
1
I
Ix

y

Iz

?2 I xz

19. Пример 2: вычисление
моментов инерции. Способ 2.
x

cos ? 0 sin? ? ? ? x
? x2? ?
? y ? ??
? ? ?y
0
1
0
2
? ? ?
?? ?
? z ? ? ? sin ? 0 cos ?? ? ?z
? 2? ? 1 4 4 4 2 4 4 43
?? ?
?

I (2)

I x2
?
? ? ? I y2 x2
? ?Iz x
?
2 2

? I x2 y2
I y2
? I z2 y 2

S

A

?

z
O

? I x2 z2?
? 1 0 0?
2
? mr ?
?
? I y2 z2? ?
0
1
0
?
4 ??
?
I z2 ?
0
0
2
?
?
?

y y2

B
z2

I ? S T I(2) S

? cos ? 0 ? sin ?? ? 1 0 ? ? 0 cos ? 0
mr ?
?? 0 1 ?
?
I?
0
1
0
0
0
1
?
?
?
?
?
4 ?
? 0 0 ?
? 0 cos ? ?
2 ? ? sin ? 0
? 1sin
?
?
?
?
4 4 4 2 4 4 43
1 4 4 42 4
2

ST

x2

S

? Ix
sin
? ?
?
0?
?
? ? I yx
?
?
? ?I
cos
?
zx
?4 43
?

mr 2
mr 2
I yz ? 0, I xz ?
sin 2? ?
?
8
4

? I xy
Iy
? I zy

? I xz?
?
? I yz?
Iz ?
?

20. Пример 2: завершение
&? MyC?& ? F
MxC?&
2

доп
Ay

x

?F

доп
By

&? MxC?&2 ? FAxдоп ? FBxдоп
? MyC?&
A

доп
&? I yz ?&2доп
? I xz ?&
??
z
F
? {z B FBy
A
Ay
{
a

?

z
O

b

y y2

&? I xz?&2доп
? I yz?&
? {z A FAx доп
? {z B FBx
?a

доп
Ay

F

?&?

?F

доп
By

?0

2? n
? 1000рад/с.
?
60

x2

b

FAxдоп ? ? FBxдоп

I xy?&2

mr 2??&2
?
?
a ? b 4 ? a ? b?

FAxдоп ? ? FBxдоп ? 8000Н

B
z2

21. Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести.
Рассмотрим случай, когда ось вращения горизонтальна.
Проведем через центр тяжести С тела плоскость,
перпендикулярную к оси вращения. Точка пересечения О
этой плоскости с осью вращения называется точкой
подвеса.
&
&? M z
диф. ур-ие вращения тела вокруг оси z I z?

M z ? ? Mga sin ?
уравнение движения
физического маятника

&?
?&

Случай малых колебаний

Mga
sin ? ? 0
Iz

sin ? ? ?

Период колебаний

&? k 2? ? 0, k 2 ?
?&
T?

Mga
Iz

2?
Iz
? 2?
k
Mga

22. Теорема Гюйгенса
уравнение движения
физического маятника

&?
?&

уравнение движения
математического маятника
Математический маятник с длиной
будет двигаться как физический

Iz
I C ? Ma 2
IC
l?
?
?
?a
Ma
Ma
Ma
=a
1

Mga
sin ? ? 0
Iz
g
sin ? ? 0
l
Iz
l?
Ma

&?
?&

Приведенная длина
физического маятника

Центр
качания

Свойство взаимности (теорема Гюйгенса): Если старый центр качания сделать новой
точкой подвеса, то старая точка подвеса станет новым центром качания
Д-во:

l ( new ) ?

IC
? a1 ? a ? a1 ? l
Ma1

23. Экспериментальное
определение моментов инерции
1) Методом качания находят
период малых колебаний

MgaT 2
IA ?
4? 2
2)По т-ме Гюйгенса-Штейнера

? gT 2 ?
I C ? I A ? Ma ? Ma ?
? a?
2
? 4?
?
2

3)Для нахождения а определяют реакцию R на штырь динамометра

Rl ? Mg ? a ? r ? ? 0

Rl ? Mgr
a?
Mg






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.