ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 9:
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. Переносная и кориолисова
силы инерции
Задача: найти уравнения движения материальной
точки в неинерциальной системе координат
В неподвижной системе координат

mw = F + N

Правило: чтобы составить дифференциальное уравнение
движения материальной точки в неинерциальной системе
координат в форме второго закона Ньютона необходимо к
действующим на точку активным силам и реакциям
присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

2) Если

?v r

J e ? J?
c ?=0w ?

0

?0

? ПСК движется равномерно и прямолинейно
относительно НСК

? M

x

mw r = F + N ? J e ? J c
В подвижной системе координат
J e ? ? mw e переносная сила инерции
кориолисова сила инерции
J c ? ? mw c

1) Если ПСК движется равномерно и прямолинейно
? 0 ? Jc = Je ? 0
относительно НСК w?
0 ?

z

z1

r

x1

F
N

y

y1

w ? wr ? we ? wc

w r относительное уск-ие
w e переносное уск-ие
w c кориолисово уск-ие
w?
v? ? r ?
c ? 2
w e ? w?
? ? ? ? ?? ? ? ?
0 ? ?

w 0 ускорение начала подвижной
системы координат

угловые скорость и ускорение
?, ? подвижной системы координат

2. Уравнение относительного
покоя точки
Если точка находится в покое относительно ПСК
vr ? wr ? 0

mw r = F + N ? J e ? J c
z

z1

F + N ? Je ? 0

Правило: уравнение относительного покоя
составляется так же, как уравнение равновесия в
неподвижной системе отсчета, если к действующим на
точку силам добавить переносную силу инерции
x1
Пример 1:
С какой угловой скоростью должна вращаться кольцевая
кабина космического корабля, чтобы имитировать силу
земного тяготения?
g
N ? J e ? 0 J e ? m? 2 R
N ? mg ? ? ?
R
?
об
n=
=0.11
R ? 20м ? ?=0.7с -1
2сек
?

? M

x
r

F

N

y

y1

3. Пример 2: Маятник с двумя
потенциальными ямами
(1)

w e POx

mw r = F + N ? J e ? J c
we ? R? 2 sin ? ?

v?r ? R?& w ?

c

????
2 R?&?

J e ? m? 2 sin ? ,

? POyJ

J e POx

? wc ?m

c

POy

&? ?mg sin ? ? mR? 2 sin ? cos ?
(1) в проекции на ось ? : mR?&
mR d?&2 d
? ? mg cos ? ? 14 mR? 2 cos 2? ?
2 dt
dt
R 2
?& ? ? ? ? ? ? 0
2g

?
? 1 ? cos 2? ? ? ? cos 2 ? ? cos ?
2
R? 2
??
2g

? ? ? ? ? ? cos ? ?

?

? ?2

0.5

0

? ?1

-0.5

-1

? ?0
-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

?

4. Пример 3: Перевернутый
вибрирующий маятник
d
2
A
sin
?
t
?
?
A
?
sin ?t
2
dt
J e ? mA? 2 sin ?t

we ? w0 ?

&? ? ? g ? A? 2 sin ?t ? sin ? ? 0
l?&
&? ? ? g ? A? 2 sin ?t ? ? ? 0
? =1
l?&
tnew ? ?t

&? ? ? B? 2 ? ? sin t ? ? ? 0
?&
gl
? ? A/l
B? 2 2
A?
l ? 0.1

A ? 0.01

? ? 0.1

? ? 2? ?100
B ? 0.025

Bcr ? 0.5

Je

z

2

z1
x1

?

A sin ?t

mg

x

5. Размыв берегов рек.
Закон Бэра
сила
тяжести

vr

mw r ? F + P + Q + J e + J c

Jc

реакция реакция
дна
берега

w?
v ?
c ? 2

r

Q

F

направление на запад

P

F ? ? J c ? 2m?vr sin ?

?

Je

?

Реакция берега направлена на запад, значит сила
давления воды на берег направлена на восток, то
есть действует на правый берег реки.
Давление

p?

q ? ? Svr ? кг/с ?
H ? 10м

F 2 ? lS? vr sin ? 2q? sin ?
?
?
lH
lH
H
массовый расход воды в реке

q ? 10кг/с
6

? ? 60

l

o

2 ?106 3 2Н
?
p?
? 12.6
10 2 24 ?3600м

H
2

S

6. Уклонение линии отвеса от
направления радиуса Земли
T
F + T ? Je ? 0
T ? F cos ? ? J e cos(? ? ? ) ? 0
F sin ? ? J e sin(? ? ? ) ? 0

F ? mg 0
T ? F ? J e cos(? )
? = 1 F ? ? J e sin(? )

T ? m ? g 0 ? ? 2 R cos 2 ? ?
?

?
O

F
?
? ?

геоцентрическая
?2R
2 ?
g ? g0 ? 1 ?
cos ??
широта
mg ? ?T
g0
?
?
? ? 0 ? g ? 9.78м / c 2
? ? ? / 2 ? g ? 9.82м / c 2

?2R
??
sin 2?
2 g0

? ? 45o ? ? ? 6?

Je

географическая
широта

? ?? ? ?

7. Отклонение падающих тел
к востоку
mw r ? F + J e ? J c

y

F + J e ? mg

x

mw r ? mg ? J c
J?
v2m ?
c ??

r

i
j
k
? ?2m 0 ? cos ? ? sin ?
x&
y&
z&

&? ?2m? ? z&cos ? ? y&sin ? ?
mx&
z (0) ? H x(0) ? y (0) ? 0
&? ?2m? x&sin ?
my&
z&(0) ? x&(0) ? y&(0) ? 0
&? ?mg ? 2m? x&cos ?
mz&
H
H
x, y , z
t
&
&
x, y , z ?
t?
z
?
?
g
?
2
? x&cos ? t0 ?
2
H
t0
t0
t0
&
x&? ?? ? z&cos ? ? y&sin ? ?
x ? x0 ? ? x1 ? ? 2 x2 ?K
&
y&? ?? x&sin ?
2
y
?
y
?
?
y
?
?
y ?K
0
1
2 2
&
z&? ?1 ? ? x&cos ?
z ? z0 ? ? z1 ? ? z2 ?K
x
(0)
?
y
(0)
?
0
z (0) ? 1
z&(0) ? x&(0) ? y&(0) ? 0

z

?

H
g

?

? ? 2?

H
g

8. Отклонение падающих тел
к востоку
&
x&
x0 (0) ? 0
0 ?0
&
y0 (0) ? 0
y&
0 ?0
&
z&? ?1 z0 (0) ? 1

x&0 (0) ? 0
y&0 (0) ? 0
z&0 (0) ? 0

&
&0 cos ? ? y&0 sin ? ? ? t cos ?
x&
1 ? ?? z
&
y&
1 ?0
&
z&
1 ?0
&
x&
2 ?0
1 2
&
&
y&
2 ? ? x1 sin ? ? ? 4 t sin 2?
2
1 2
&
&
z&
?
x
cos
?
?
t
cos
?
2
1
2
&
x&? ?? ? z&cos ? ? y&sin ? ?
&
y&? ?? x&sin ?
&
z&? ?1 ? ? x&cos ?

y

x0 ? 0
y0 ? 0
z0 ? 1 ? 12 t 2
x1 ? 16 t 3 cos ?
y1 ? 0
z1 ? 0
x2 ? 0
y2 ? ? 481 t 4 sin 2?
z2 ? 241 t 4 cos 2 ?

z
x

?

?

9. Маятник Фуко
mw r ? mg + N??
? 2m
v

восток

r

x

x&&
, y&&
, z&
) g ? (0, 0, g ) N ? N ? x, y, z ?
v r ? ( x&, y&, z&) w r ? ( &
юг
l
y
? ? ? ? 0, ? cos ? ,sin ? ?
l ?x ?y ?z
z
&
&
mz ? mg ? N ? 2m? x&cos ?
l
x
&? ? N ? 2m? ? ? z&cos ? ? y&sin ? ?
mx&
l
y
&
&
my ? ? N ? 2m? x&sin ?
l
2

2

2

2

& ? xy&? ?? 2 sin ?
yx
y
y
? ? arctg
x
& ? xy
& ? ? 2?&? ?? 2 sin ?
yx

?

x

z ?l

N ? mg

z

вниз

gx
? 2? y&sin ?
l
gy
&
y&? ? ? 2? x&sin ?
l
&
x&? ?

&
&? &
& ? 2? sin ? ? xx&? yy&?
yx
xy
d
d
& ? xy&? ? ? sin ? ? x 2 ? y 2 ?
? yx
dt
dt

? ? ? 0 ? ?t sin ?






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.