ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА-8

Посмотреть архив целиком
ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 8:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА

1. Уравнения Пуассона
OXYZ
Oxyz

неподвижная система координат
подвижная система координат (ПСС),
жестко связанная с телом

G ? ? a, b, c ?

центр тяжести

n ? ? ? 1 , ? 2 , ? 3 ? единичный вектор верт. оси OZ
в ПСС
Выражение компонент орта n через углы Эйлера

? 1 ? sin ? sin ? , ? 2 ? sin ? cos ? , ? 3 ? cos ?
dn
d%
n
?0 ?
? ? ? n ? 0 Уравнения Пуассона
dt
dt
d? 1
d? 2
d? 3
? r? 2 ? q? 3 ,
? p? 3 ? r? 1 ,
? q? 1 ? p? 2
dt
dt
dt

2. Динамические уравнения
Эйлера при наличии силы тяжести
Ap&? ? C ? B ? qr ? M xe
Bq&? ? A ? C ? rp ? M ye
Cr&? ? B ? A? pq ? M ze
uuur
MO ? ?OG ? Pn

Динамические уравнения
Эйлера в общем случае

M x ? P ? ? 2 c ? ? 3b ?
M y ? P ? ? 3a ? ? 1c ?
M z ? P ? ? 1b ? ? 2a ?

Ap&? ? C ? B ? qr ? P ? ? 2c ? ? 3b ?

Bq&? ? A ? C ? rp ? P ? ? 3a ? ? 1c ?

Cr&? ? B ? A? pq ? P ? ? 1b ? ? 2a ?

Динамические уравнения Эйлера для
движения тяжелого твердого тела

3. Уравнения движения тяжелого
твердого тела вокруг неподвижной точки
?&1 ? r? 2 ? q? 3
?&2 ? p? 3 ? r? 1

Замкнутая система уравнений для
нахождения

?&3 ? q? 1 ? p? 2

Ap&? ? C ? B ? qr ? P ? ? 2c ? ? 3b ?

? 1 (t ), ? 2 (t ), ? 3 (t ), p(t ), q(t ), r (t )

Bq&? ? A ? C ? rp ? P ? ? 3a ? ? 1c ?

Cr&? ? B ? A? pq ? P ? ? 1b ? ? 2a ?
После нахождения

? 1 (t ), ? 2 (t ), ? 3 (t ), p(t ), q(t ), r (t ) зависимости ? (t ), ? (t )

находятся из условий

? 1 ? sin ? sin ? , ? 2 ? sin ? cos? , ? 3 ? cos?
а оставшийся угол Эйлера

? (t ) из одного из кинематических уравнений Эйлера

p ? ?&sin ? sin ? ? ?&cos ?

q ? ?&sin ? cos ? ? ?&sin ?

r ? ?&cos ? ? ?&

4. Первые интегралы системы
1)

n ?1

? 12 ? ? 22 ? ? 32 ? 1

2) Теорема об изменении кинетического момента
Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ

K O ?n ?const

? Ap? 1 ?Bq? 2 ?Cr? 3 ?const

3) Сохранение энергии

T ? ? ? const
1
T ? ? Ap 2 ? Bq 2 ? Cr 2 ?
2 uuur
? ? Ph ? P OG ?n ?P ? a? 1 ?b? 2 ?c? 3 ?

? Ap

?

2

?

? Bq 2 ? Cr 2 ? ? 2 P ? a? 1 ? b? 2 ? c? 3 ? ? const

Из общей теории множителя Якоби известно, что для того,
чтобы интегрирование исходной системы можно было
свести к квадратурам при любых начальных условиях,
нужно найти еще один независимый от них интеграл.

5. Известные случаи
интегрируемости
А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в
неподвижной точке О

a?b?c?0

дополнительный интеграл KO2 ? A2 p 2 ? B 2 q 2 ? C 2 r 2 ? const
В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения

A ? B, a ? b ? 0
r ? const
дополнительный интеграл
С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом
вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух
других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции

A ? B ? 2C , c ? 0
дополнительный интеграл

?

p 2 ? q 2 ? ?? 1 ? ? ? 2 pq ? ?? 2 ? ? const
2

2

?=

Pa
C

6. Вывод уравнения для угла
нутации в случае Лагранжа
? 12 ? ? 22 ? ? 32 ? 1
(2) A ? p? 1 ? q? 2 ? ? Cr? 3 ? b
2
2
(3) A ? p ? q ? ? 2 Pc? 3 ? 2e
(1)

q

?&1 ? r? 2 ? q? 3
?&2 ? p? 3 ? r? 1

?p
A

(4) ?&
3 ? q? 1 ? p? 2

Ap&? ? C ? A? rq ? P? 2c ?? 2

Aq&? ? C ? A? rp ? ? P? 1c

?1

2
2
&
q?&
1 ? p? 2 ? r ? q? 2 ? p? 1 ? ? ? 3 ? p ? q ?

A ? q&? 1 ? p&? 2 ? ? ? C ? A? r ? q? 2 ? p? 1 ? ? Pc ? ? 12 ? ? 22 ?

d
A ? q? 1 ? p? 2 ? ? Cr ? q? 2 ? p? 1 ? ? A? 3 ? p 2 ? q 2 ? ? Pc ? ? 12 ? ? 22 ?
1 dt
4 4 2 4 43 1 44 2 4 43 1 44 2 4 43 1 4 2 4 23
b ? Cr? 3
2? 3 ( e ? Pc? 3 ) Pc ? 1 ? ? 3 ? (1)
&
(4) A?&
(2) Cr
3
A
(3)
d
2 2
2 d
2
&
2?&3 A2?&
A
?&3 ? ?3 ? ? 3 ?
&
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
3
3
3
2
3
dt
dt

7. Качественный анализ движения ТТ в
случае Лагранжа
A2?&32 ? ?3 ? ? 3 ?

t ? ? A?

s1 ? ? 3 ? s2

d? 3

?3 ? ? 3 ?

?1 ? ? ? ? 2

?1

1
s1

Z
апекс A

?3 ? s ?

? 3 ? cos ?

s2

s
s3

Движение апекса А по сфере изображает
движение оси Oz , т. е. прецессию и нутацию

n

ось динамической
симметрии

Сферическое представление
движения тела

8. Быстро вращающееся тело:
псевдорегулярная прецессия
t ? 0 : ?&? ? , ?&? ?&? 0, ? ? ? 0 , ? ? ? ? 0

Начальные условия

размерности

? ? f ? ? , C , c, P, A / C , ? 0 ?
ML
1
2
ML
L
1
1
1
T2
T

?

Аргументами
должны являться безразмерные комплексы,
а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от
единиц измерения
cP

?

?
,
A
/
C
,
?
0?
2
? ?C
?
cP
Быстро вращающееся тело – большие ? – малые значения параметра ? ? 2
?C
? ? 0 ? c ? 0 ? случай Эйлера вращения симметричного тела
? ? 0 ? ? ? 0 (регулярная прецессия) f ? ? , A / C , ? 0 ? ? 0 ? ? ? 0 ?
A
2
f
?
,
A
/
C
,
?
?
?
b
(
A
/
C
,
?
)
?
O
?
?
?
Раскладывая в ряд Тейлора
? ? b ? sin ?0
0
0
C
Когда ? велика, изменение угла нутации ? настолько мало, что
?? f ?

прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало
отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией.

точный
результат

9. О пользе анализа размерностей
Доказательство теоремы Пифагора
Треугольник, а, значит, и его площадь,
полностью определяется величинами c и

размерности

S
? f ( c, ? )
2
c
L 1
1
S ? c f (? )
2

S ? S1 ? S2
c 2 f (? ) ? b2 f (? ) ? a 2 f (? )

c 2 ? b2 ? a 2

c

?

S

?

S2
a

?

c
S1

?
b






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.