ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 4:
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ, ТЕОРЕМА О
ВИРИАЛЕ

1. Теорема Бернулли: условия
применимости
Теорема Бернулли – результат применения теоремы об изменении
кинетической энергии к установившемуся движению жидкости.
Это – основная теорема гидродинамики, имеющая многочисленные
приложения при изучении течения воды в реках, каналах, трубах, при
исследовании действия воды в водяных двигателях и т. д.
Теорема Бернулли имеет дело с идеальной жидкостью:
1) Несжимаемой
2) Невязкой
ВАЖНО: Работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю!
Теорема Бернулли имеет дело с установившемся течением:
в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, явления не
изменяются с течением времени; направление и величина скорости в
этой точке, величина давления у этой точки остаются постоянными во
все время движения.

2. Теорема Бернулли: изменение кинетической энергии
Изменение кинетической
энергии за время dt

A

A?

p1

q
v1

dT ? TA?B?C ?D? ? TABCD

h

B B?

dT ? TCDC ?D? ? TABA?B?

q

1
1 2
2
TABA?B? ? M ABA?B?v1 ? v1 ? Qdt
2
2
1 2
TCDC ?D? ? v2 ? Qdt
2
dT ?

Q –объемный расход
D
жидкости [м3/c]
? – плотность жидкости
[кг/м3]

1
? Q ? v22 ? v12 ? dt
2

C
C?
p2
D?

v2

3. Теорема Бернулли: работа
внешних сил
A

1) Работа сил тяжести

dAg ? hg ? Qdt

A?

p1

q
v1

h

B B?

2) Работа сил давления

dA1 ? Fds ? ? p1S AB ? ?? v1dt ? ? p1Qdt
dA2 ? ? p2Qdt

C

q

dAp ? dA1 ? dA2 ? ? p1 ? p2 ? Qdt

C?
D

p2
D?

3) Работа сил со стороны стенок трубы равна нулю
Предполагается, что трения жидкости о стенки нет, значит силы
нормальны к стенке. Скорости частиц жидкости касательны к стенке.
Скалярное произведение есть ноль.

dA ? ? hg ? ? p1 ? p2 ? Qdt

v2

4. Теорема Бернулли: результат
dT ? d ?A
1
dT ? ? Q ? v22 ? v12 ? dt
2
d ?A ? ? hg ? ? p1 ? p2 ? Qdt

A

A?

p1

q
v1

h

B B?

p1
p2 ?
v ? v ? 2g ? h ?
? ?
g ? g ??
?
2
2

2
1

?

1 2
p2 1 2
p1
v2 ? gz2 ?
? v1 ? gz1 ?
2
? 2
?

C

q

z?

2

v
p
?
? const
2g ? g

C?
D

p2
D?

v2

При установившемся движении несжимаемой жидкости сумма геометрической,
скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и
той же трубки тока.

v 2 2 g высота, на которую поднимается тело, брошенное вверх со скоростью v
p ? g высота столба жидкости с давлением p у основания столба

5. Пример: течение в трубе
переменного сечения
a

Sb ? S d ? S a ? S c

v2
p
?
? const
2g ? g

b

v?

Q
S

c

d

vb ? vd ? va ? vc
pb ? pd ? pa ? pc

6. Пример: истечение из сосуда
?
p
p?
v22 ? v12 ? 2 g ? h ? 1 ? 2?
g ? g ??
?

p1 S1
v1

2 ? p1 ? p2 ?
2
v2 ? v1 ? 2 gh ?
?
Если

S1 ? S2 , p1 ? p2

?

h
S2

? v2 ? 2 gh

p2

Теорема Торичелли (1644)
S2

S2

? ?1

S1

Se

? ? 0.62

? ? Se S2
К-т сжатия потока

Q ? ? S2 2 gh

? ? 0.5

v2

7. Пример: трубка Пито

Трубка Пито

Применяются при измерении
скорости потока
Трубка Прандтля

8. Пример: трубка Вентури
2
1

2
2

v
p v
p
? 1? ? 2
2 ?
2 ?

S1

S2

v1S1 ? v2 S2 ? Q
Q 2 p1 Q 2 p2
? ? 2?
2
2 S1 ? 2 S2 ?
Q?

S2 S1
S12 ? S22

2

p1 ? p2
,
?

Применяются при измерении
расхода жидкости в трубе

S1

S2

9. Теорема о вириале
n

G ? ? mk v k ?rr
n

k ?1

n

n
dG
? ? mk v k ?r&k ?? mk v&k ?
rk ?? mk v k v?k
dt k ?1
k ?1
k ?1

G (? ) ? G (0)
?2 T
?

?

?

n

?F
k ?1

k

n

? F
?
k ?1

k

rk? 2?
T

n

??F
k ?1

?

f

?rk

T

?

n

?

?

?F
k ?1

k

?rk
?

1
?
2

n

?F
k ?1

rk ?

1
? ? f (t )dt - среднее за время ?
? 0

Левая часть обращается в ноль если выполнено одно из условий
1. Интервал ? не ограничен, а функция G ограничена
2. Движение периодическое с периодом ?
1
??
2

k

k

?rk

вириал системы
?

При выполнении условий 1 или 2 среднее за время ? значение
кинетической энергии равно ее вириалу

10. Пример: замкнутая
гравитационная система
n

?F
k ?1

k

?rk ?? rk ?? Fkl ??? rkl F?kl
k

Fkl ? ?

l ?k

Gmk ml
rkl
3
rkl

l ?k

k

n

?F
k ?1

Теорема о вириале

rkl ? rk ? rl

k

?rk ???
k

2 T
T

Сохранение энергии
T

?

l ?k

Gm m
? k l ?U i
rkl

?

? Ui

?

? Ui

? ?E

?
?

Fkl
k

Flk
l

rkl

?0
?E
Ui

?

? 2E

Указывает в какой пропорции начальная энергия «делится в среднем»
между кинетической и потенциальной энергией во время движения
замкнутой гравитационной системы
Задача :

пусть Fkl ? ?akl rkln ?1rkl

тогда

T

?

?

n ?1
E
n?3

Ui

?

?

2
E
n?3

11. Пример: упругая цепочка
1

K

1

1

n

x

r1

n

? F ?r
k ?1

??
?

??
?

k

k

r2

r3

K

rn ?1

rn

?F

k

k ?1

?rk ? r1k ? r2 ? r1 ? 1? ?

r2 ? ?k (r2 ? r1 ? 1) ? k ? r3 ? r2 ? 1? ? ?K
rn ?1 ? ?k (rn ?1 ? rn ? 2 ? 1) ? k ? rn ? rn ?1 ? 1? ? ?

?rn k (rn ? rn ?1 ? 1)

? ?k ? r2 ?r1 ?1? ? r2 ?r1 ?1 ?1? ?

?k ? r3 ? r2 ? 1? ? r3 ? r2 ? 1 ? 1? ?K

???????????

?k ? rn ? rn ?1 ? 1? ? rn ? rn ?1 ? 1 ? 1? ?
2
2
2
?k ? r2 ? r1 ? 1? ? k ? r3 ? r2 ? 1? ? K ? k ? rn ? rn ?1 ? 1? ? ?
?
?k r2 ? r1 ? 1 ? k r3 ? r2 ? 1 ? K ? k rn ? rn ?1 ? 1? ? 2U ? ? rn ? r1 ? ? n ? 1? ?
?
k n ?1
2
- потенциальная энергия системы
U ? ? ? ri ?1 ? ri ? 1?
2 i ?1

?

?

?

?

?

?

12. Пример: упругая цепочка
rn ? r1 ? ? n ? 1? ? 0

T

?

?

?0

? U

?

?E

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8
Potential Energy of the System

Kinetic Energy of the System

T

?

? U

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3

30

40

50
Time 

60

70

80

90

1
E
2

60

70

0.4
0.3

0.1
20

?

?

0.5

0.1
10

U

0.6

0.2

0

?

0.7

0.2

0

T

1
? E
2

100

n ? 30

0

0

10

20

30

40

50
Time 

80

90

100






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.