ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 3:
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1. Кинетическая энергия МС.
Теорема Кенига
Кинетической энергией материальной системы называется сумма
кинетических энергий входящих в нее точек

1 n
T ? ? mk vk2
2 k ?1
При вычислении кинетической энергии системы полезна теорема Кенига
Теорема Кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном
движении (T) складывается из кинетической энергии TO центра масс, в
предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и
кинетической энергии Tотн системы в ее движении относительно
поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с
центром масс осей.

T ? TOотн
?T

2. Доказательство теоремы
Кенига
Подвижные координаты (2) перемещаются
поступательно относительно инерциальных
осей (1) вместе с центром О масс системы.

1 n
T ? ? mk ? vO ? u k ? ?? v O ?u k ? ?
2 k ?1
n
1 2 n
1 n
? v0 ? mk ? v 0 ?? mk u k ? ? mk uk2
2 k ?1
2 k ?1
k ?1

1
Mv02
2

Tотн
T ? TOотн
?T

rk ? r?
O ?

k

v k ? vO ? u k
n

?m ?
k ?1
n

k

k

?m u
k ?1

k

k

?0
?0

3. Кинетическая энергия ТТ,
движущегося поступательно

1 2
1 2
1
T ? ? v dm ? v ? dm ? Mv 2
2
2
2
T?

1
Mv 2
2

кинетическая энергия ТТ, движущегося поступательно, равна половине
произведения массы тела на квадрат его скорости

4. Кинетическая энергия ТТ,
вращающегося относительно оси

1
1 2 2
1 2
2 2
T ? ? ? hz dm ? ? ? hz dm ? I ?
2
2
2
1 2
T ? I?
2

v ? hz?

кинетическая энергия ТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения
на квадрат угловой скорости тела

5. Кинетическая энергия ТТ,
движущегося произвольно
1
2
MvOотн
?T
Теорема Кенига
2
Кинематика: движение тела относительно
поступательно перемещающихся осей (2)
представляет собой вращение с угловой
скоростью ?
1
Tотн ? I O?? 2
2
T?

T?

1
1
MvO2 ? I O?? 2
2
2

О

В общем случае I O? переменная величина т.к. ось
вращения изменяет свое положение

кинетическая энергия ТТ складывается из кинетической энергии
поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в
его вращении относительно центра масс

6. Кинетическая энергия ТТ
при плоском движении
? POz2

y2
y1
x2

T?

1
1
MvO2 ? I Oz2 ? 2
2
2

O

O1
Ось Oz2 не меняет своего положения относительно тела, поэтому
момент инерции I Oz2 не меняется с течением времени

x1

7. Пример вычисления
кинетической энергии
Каток К массы m1 лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через
блок Б радиуса r. К свободному концу троса прикреплен груз Г массы m3. При опускании груза со
скоростью v трос, разматываясь, приводит в качение
без скольжения каток. Определить кинетическую
энергию системы, если момент инерции блока Б
относительно оси вращения равен I2
2
1
1
1
v
2
Скорость точки касания блока с
TГ ? m3v
TБ ? I 2?Б2 ? I 2 2
2
2
2 r
тросом равна скорости v груза Г.
2
1
1
v
2
2
v
?
v
/
2
v
m
R
1
TK ? m1vC ? I Cz?C
vC ?
?C ?
?
I
?
Cz
2
2
2
R
2R
2
3
TK ? m1v 2
1
I 2 3m1
2
16
TМ? v
M ?m ? ?

2

пр

пр

3

r2

8

8. Теорема об изменении
кинетической энергии
?

? m1v12?
e
i
d?
? ? F1 ?dr1 ?F1 ?dr1
? 2 ?
? m v?
e
i
? ? Fn ?drn ?Fn ?drn
? 2 ?

d?

2
n n

n

n

dT ? ? F ?drk ?? F ?drk
k ?1

e
k

k ?1

i
k

Дифференциальная форма
теоремы об изменении
кинетической энергии :
дифференциал кинетической
энергии системы равен сумме
элементарных работ всех
действующих на систему
внешних и внутренних сил.

?

m1v12 ? m1v12?
e
i
??
? ? A1 1 ? A1
2
? 2 ? 0

L

mn vn2 ? mn vn2?
e
i
??
? ? An ? An
2
? 2 ? 0
n

n

T ? T0 ? ? A ? ? Aki
k ?1

e
k

k ?1

Интегральная форма теоремы:
изменение кинетической энергии
системы при перемещении ее из
какой-то начальной конфигурации в
данную равно сумме работ на этом
перемещении всех приложенных к
системе внешних и внутренних сил

9. Работа сил тяжести
e
?
d
A
? k ?? mk g ?drk ? ?? mk g ?dzk ?
k

k

?

k

? ? gd ?

?

?

? m z ??

? ? gd ? MzC ? ? ? gMdzC

k k

k

A( e ) ? ? Mg

zC

? dz

C

? ? Mg ? zC ? z0C ?

z0 C

Полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы,
умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести

z

10. Работа внутренних сил
твердого тела
N AB ? FAB ?v A ?FBA ?v B ?FAB ??v A
v A ? v?
B ?

Кинематика

N AB

v?B ?

FAB

FBA
A

B

uuu
r
? BA

uuu
r?
?
? F?
?BA ?0
AB ?? 1 2
? ?F 3 ?
?
?
AB ?

N i ? ? N AB ? 0 ?
A, B

Ai ? ? AAB ? 0
A, B

Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом
его перемещении равна нулю

11. Работа силы, приложенной
к вращающемуся твердому телу
d ?Ae ? F?eds ? F?ehd? ? M zed?
Элементарная работа силы, приложенной к
твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной
оси, равна моменту этой силы относительно оси
вращения, умноженному на дифференциал угла
поворота тела
Мощность:

N e ? M ze?z

12. Работа внутренних сил
скольжения сочлененных тел
v AB Скорость A относительно B
v A ? vB ? v AB
N трi ? ? Fтр v A ? FтрvB ? ? Fтрv AB

Fтр

A
B

v AB
Fтр

vB

Полная мощность внутренних сил трения скольжения двух
сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля
силы трения на модуль относительной скорости.

13. Работа потенциальных
внутренних сил
FAB ?drA ?FBA ?drB ?FAB ??drA

d?rB ?

?

uuu
r
? FAB ?d BA ? f ? ? AB ? d ? AB ? ?du ? ? AB ?

2 ? AB d ? AB

uuu
r uuu
r
? d ? ? d BA ?BA ?
uuu
r
uuu
r uuu
r
FAB ?d BA
? 2 BA ?d BA ?2 ? AB
FAB
2
AB

?

n

?

1
i
i
F
?
d
r
?
f
?
d
?
?
?
d
u
?
?
?
dU
?
?
?
?
?
?
?
k
k
kl
kl
kl
2
k ?1
k ,l
k ,l
n

? F ?dr
k ?1

i
k

k

? ?dU i

FAB

FBA

A

B

FAB ? FBA ? f ? ? AB ?

u( ? ) ? ?? f ? ? ? d ?
U i ? ? u ? ? kl ?
k ,l

Ui-потенциальная энергия внутренних
сил (внутренняя энергия)

14. Работа потенциальных
внешних сил
На точку #1 действуют потенциальные внешние силы


На точку #n действуют потенциальные внешние силы

На точку #2 действуют потенциальные внешние силы

n

n

F1e ? ??U1e ? r1 ?
F2e ? ??U 2e ? r2 ?


F ? ??U
e
n

e
n

? rn ?

n

d ?A ? ? F ?drk ? ?? ?U ? rk ? ?drk ? ?
? dU ke ? rk ? ? dU
? e
e

k ?1

e
k

k ?1

e
k

k ?1

n

U ? r1 , r2 ,K rn ? ? ?U ke ? rk ?
e

k ?1

n

e
e
F
?
d
r
?
?
dU
? k k
k ?1

Ue-потенциальная энергия внешних сил

15. Закон сохранения полной
механической энергии
Допустим, что внутренние и внешние силы, работа которых отлична от
нуля, потенциальны (нулю может равняться работа идеальных связей).
n

? F ?dr
k ?1

i
k

k

? ?dU i

n

?F
k ?1

e
k

?drk ? ?dU e

d ? T ?U e ?U i ? ? 0
E ? T ? U e ? U i ? Const

интеграл энергии

Ue-потенциальная
энергия внешних сил
Ui-внутренняя
энергия
E-полная механическая
энергия системы

Систему, для которой имеет место интеграл энергии, называют
консервативной.

16. Пример # 1
Цилиндр катится без скольжения по наклонной
плоскости. Начальная скорость равна нулю.
Найти скорость центра масс цилиндра в момент
времени когда он опустился на величину h.

T ?U e ? ? T ?U e ?

h

0

1
1 2 1
1 ? MR 2? V 2 3
2
2
2
T ? MV ? I ? ? MV ? ?
?
MV
2
2
2
2
2? 2 ?
R
4
?
4
3
V?
gh
MV 2 ? Mgh
3
4
1
Если это тело спускается не вращаясь, имеем
MV 2 ? Mgh ? V ? 2 gh
2
Следовательно, вращение уменьшает скорость V

17. Пример # 2
Груз Г под действием силы тяжести опускается
из состояния покоя вниз. Определить скорость
v груза Г при опускании его на высоту h.
Трением качения катка и трением на оси блока
пренебречь.
Связи идеальны. Внутренняя энергия равна нулю

T ?U e ? ? T ?U e ?
1
М пр v 2
2

?m3 gh
m3
v? 2
gh
M пр

0

0

0
M пр

I 2 3m1
? m3 ? 2 ?
r
8

18. Пример использования 2
К брусу D массы m1 лежащему на гладкой горизонтальной
плоскости, прикреплен шарнирно в точке А однородный
стержень АВ, имеющий массу m2 и длину l. Система начинает
движение из состояния покоя в момент, когда стержень
отклонен до горизонтального положения АВ0. Пренебрегая
трением в оси А, найти скорость v бруса в тот момент, когда
стержень проходит через вертикаль.
l
U e ? ?m2 g
Сохранение энергии T ? U e ? T ? U e 0 ? 0
2
1
1
1
T ? TD ? TAB
TD ? m1v 2
TAB ? m2 vC2 ? I Cx? 2
2
2
2

?

I Cx

m
? 2
l

l/2

1
2
x
dx
?
m
l
2
?
12
?l / 2
2

?

vC ? v? ? v

v? ? скорость С относительно А

1
v? ? l?
2

m2l 2? 2 1
1
2
T ? ? m1 ? m2 ? v ?
? m2lv?
2
6
2
2(m1 ? m2 )
l? ?
v
Сохранение импульса
Qy ? Qy 0 ? 0
m1v ? m2 vC ? 0
m2
(4m1 ? m2 )( m1 ? m2 ) 2
gl
m2 3 gl
T?
v ? m2
v?
6m2
2
(4m1 ? m2 )(m1 ? m2 )

1
vC ? l? ? v
2

19. Основные теоремы и
законы сохранения
Характеристика
движения

Основная
теорема

Закон
сохранения

Количество
движения
(импульс)

dQ
? Fe
dt

Q ? Const

Замкнутые системы и
произвольные системы с

K O ? Const

Замкнутые системы и
произвольные системы с M Oe ? 0

Момент количеств
движения
Кинетическая
энергия
Полная энергия

dK O
? M Oe
dt

Системы, для которых верен закон
сохранения

Fe ? 0

dT ? d ?A

T ? Const

Консервативные системы при
движении по поверхности уровня
и произвольные системы с d ?A ? 0

dE ? d ?A**

E ? Const

Консервативные системы






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.