ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА-10

Посмотреть архив целиком
ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 10:
МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ

1. Уравнения кинетостатики
Так же как и для одной материальной точки, дифференциальным уравнениям
движения материальной системы можно придать форму уравнений статики. Этот
метод часто применяется в инженерных расчетах, особенно при определении динадинамических реакций опор твердого тела.
активные силы реакция связей
J k ? ? mk w k - сила инерции
mk w k ? Fk +R k
Fk +R k ? J k ? 0
n

n

n

? F +? R ? ? J
k ?1

k

k ?1

k

учитываются только
внешние силы!
n

?r
k ?1

k

n

k ?1

k

?0

учитываются только
внешние силы!

3 уравнения

В каждый момент времени сумма главных векторов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю
n

? Fk +? rk ? R k ? ? rk ? J k ? 0
k ?1

F+R ? J ? 0

k ?1

MO +MOR ? MOJ ? 0

3 уравнения

В каждый момент времени сумма главных моментов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю

2. Уравнения кинетостатики
F+R ? J ? 0

MO +MOR ? MOJ ? 0
Движение твердого тела вполне определяется шестью уравнениями кинетостатики,
точно так же как равновесие твердого тела вполне определяется соответствующими
шестью уравнениями (тремя уравнениями проекций и тремя уравнениями
моментов).
Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить
соответствующие уравнения кинетостатики для каждого тела в отдельности.
Применение метода кинетостатики для твердого тела требует прежде всего
умения вычислить главный вектор и главный момент его сил инерции.
Зная их проекции на выбранные оси координат, следует
1) составить уравнения кинетостатики
2) определить из этих уравнений неизвестные величины.

3. УК=теоремы об изменении
кол-ва и момента кол-ва дв-ия
количество движения системы
n

n

d n
J ? ? J k ? ? ? mk w k ? ? ? mk v k
dt k ?1
k ?1
k ?1
dQ
J??
= ? Mw C
dt

n

?m v
k ?1

k

k

? Q ? Mv C

главный вектор всех сил инерции точек материальной
системы равен производной по времени от количества
движения материальной системы, умноженной на -1

KO
dv k
d n
M ? ? rk ? J k ? ? ? rk ? mk w k ? ? ? rk ? mk
? ? ? rk ? mk v k
dt
dt k ?1
k ?1
k ?1
k ?1
J
O

n

n

dK O
M ??
dt
J
O

n

главный момент всех сил инерции равен производной по
времени от момента количеств движения материальной
системы, умноженной на -1.

4. Вычисление главного
вектора сил инерции ТТ
J ? ? Mw C
Главный вектор сил инерции твердого тела равен силе инерции его
центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела

5. Вычисление главного
момента сил инерции ТТ
dK C
d%
KC
M? ? ?
K
??
?
dt
dt
J
C

?

C

dKCx
? ? ? y KCz ? ?z KCy ?
dt
dK Cy
J
M Cy ? ?
? ? ?z KCx ? ?x K Cz ?
dt
dKCz
J
M Cz ? ?
? ? ?x KCy ? ? y KCx ?
dt
J
M Cx
??

Система координат Cxyz жестко
связана с телом

KCx ? I x?x ? I xy? y ? I xz?z
K Cy ? I y ? I xy?x ? I yz?z
KCz ? I z ? I xz?x ? I yz? y

J
M Cx
? ? I x? x ? I xy ? ? y ? ?x?z ? ? I xz ? ? z ? ?x? y ? ? I yz ? ?z2 ? ? y2 ? ? ? I z ? I y ? ? y?z

J
M Cy
? ? I y? y ? I yz ? ? z ? ? y?x ? ? I yx ? ? x ? ? y?z ? ? I xz ? ?x2 ? ?z2 ? ? ? I x ? I z ? ?z?x

M CzJ ? ? I z? z ? I xz ? ? x ? ? y?z ? ? I yz ? ? y ? ?x?z ? ? I xy ? ? y2 ? ?x2 ? ? ? I y ? I x ? ?x? y

? x ? ?&x , ? y ? ?&y , ? z ? ?&z ,

6. Частные случаи
1) Случай плоского движения твердого тела, имеющего плоскость материальной
симметрии.
Ось z перпендикулярна к плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью движения

I xz ? I yz ? 0, ? x ? ? y ? 0, ?x ? ? y ? 0

J
J
M Cx
? M Cy
? 0, M CzJ ? ? I Cz? z

2) Случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Выберем в качестве полюса произвольную точку на оси вращения, ось z совместим
с осью вращения, а оси х и у скрепим с вращающимся телом.

? x ? ? y ? 0, ?x ? ? y ? 0

M xJ ? I xz? z ? I yz?z2
M yJ ? I yz? z ? I xz?z2
M zJ ? ? I z? z

J
M Cx
? ? I x? x ? I xy ? ? y ? ?x?z ? ? I xz ? ? z ? ?x? y ? ? I yz ? ?z2 ? ? y2 ? ? ? I z ? I y ? ? y?z

J
M Cy
? ? I y? y ? I yz ? ? z ? ? y?x ? ? I yx ? ? x ? ? y?z ? ? I xz ? ?x2 ? ?z2 ? ? ? I x ? I z ? ?z?x

M CzJ ? ? I z? z ? I xz ? ? x ? ? y?z ? ? I yz ? ? y ? ?x?z ? ? I xy ? ? y2 ? ?x2 ? ? ? I y ? I x ? ?x? y

7. Статические и добавочные
динамические реакции
F+R ? J ? 0

MO +MOR ? MOJ ? 0

статические реакции

R ? R ст ? R д

MOR ? MORст ? MORд

добавочные динамические реакции

F+R ст ? 0

MO +MORст ? 0

Rд ? J ? 0

MORд ? MOJ ? 0

уравнения для определения статических реакций
уравнения для определения динамических реакций

8. Пример 1: определение
добавочных динам. реакций
Статические реакции

R cтA ? 2mg

R cтB ? 0

Дополнительные динамические реакции

m

J?0

Силы инерции составляют пару сил.
Она может быть уравновешена только другой парой сил.

RBд ? RAд ?

h
ma? 2
H

H h

m J1

a

?

J2

J 1 ? J 2 ? ma? 2

MOJ ? ma? 2h

B

R дB

A
R cтA

R дA

9. Пример 2: несколько тел
Груз скользит вниз по наклонной эстакаде,
свободно лежащей на земле. Коэффициенты
трения скольжения между грузом и
эстакадой, эстакадой и землей равны f,f0
соответственно. При каких условиях
эстакада не начнет движение?

y

m1 g sin ? ? F1 ? m1w ? 0
m1 g cos ? ? N1 ? 0

F ? m1w cos ? ? 0
N ? m1 g ? m2 g ? m1w sin ? ? 0
f0 ?

N1

F1
N mg
1

m1w ? m1 g ? sin ? ? f cos ? ?

Эстакада + груз

?m1w

?m1w

m2g

Движение груза

F ? f0 N

y?

?

F

F ? m1 g ? sin ? ? f cos ? ? cos ?

m1g

x?
x

N ? m1 g ? m2 g ? m1 g ? sin ? ? f cos ? ? sin ? ?
? m2 g ? m1 g ? cos ? ? f sin ? ? cos ?

m1 ? sin ? ? f cos ? ? cos ?
m2 ? m1 ? cos ? ? f sin ? ? cos ?

10. Пример 3
Геометрия: С движется по окружности радиуса l
с центром в точке О
F+R ? J ? 0

&cos ? ? ml?&2 sin ?
N 2 ? ml?&
&sin ? ? ml?&2 cos ?
N1 ? mg ? ml?&

1 2&
ml ?&? l ? N1 sin ? ? N 2 cos ? ?
3
&
N1 sin ? ? N 2 cos ? ? mgl sin ? ? ml 2?&

&? 0
M Cz ? M CzR ? I Cz?&

4 2&
?&
ml ?&? mgl sin ?
3
2 2 d?&2
d cos ?
3g
ml
? ? mgl
?&2 ? ? cos ?0 ? cos ? ?
3
dt
dt
2l

3
N 2 ? mg sin ? ? 3cos ? ? 2 cos ? 0 ?
4
1
N1 ? mg ? 1 ? 6cos ?0 cos ? ? 9 cos ? ?
4

2
N 2 ? 0 ? cos ? ? cos ?0
3






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.