Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 4.

Закон сохранения механической энергии

3

Работа и мощность
?

Частица под действием силы
совершает
перемещение
по
некоторой траектории 1-2
r . В общем
случае вектор силы F в процессе
движения частицы может
изменяться
по
модулю
и
направлению. Возьмем
элементарное
r
перемещение ,dr
в пределах которого
силу можно считать постоянной.
Действие силыr на перемещении
характеризуютdrвеличиной, равной
скалярному произведению
,
r r
F ?dr
которую называют
элементарной
работой силы
на перемещении
.
r
?A

dr

4

Работа и мощность
Единицей измерения работы в cиcтеме СИ
служит джоуль (Дж).
?
Суммируя все элементарные работы всему
пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы
на перемещении 1-2:. Изобразим график FS как
?

функцию положения частицы на траектории.
Пусть этот график имеет вид, показанный на
рис. Элементарная работа численно равна
заштрихованной площади, а работа А на пути
от точки 1 до точки 2 - площади фигуры,
ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и
осью s. При этом площадь фигуры над осью s
берется со знаком «+», а площадь фигуры под
осью s - со знаком «-».

5

Работа и мощность
?

?

Введем в рассмотрение новую величину - мощность.
Мощность - это работа, совершаемая силой за единицу
времени. Если за r промежуток времени dt
сила
r
совершает работу F ?dr, то мощность, развиваемая этой
?A
силой rв данный момент времени, есть N ? dt . Учитывая,
r r
dr r
? v , получим N ? F ?v . Мощность, развиваемая
что
dt
силой , равна скалярному произведению вектора силы на
вектор скорости, с которой движется точка приложения
данной силы. Как и работа, мощность - величина
алгебраическая. Единица мощности в системе СИ – ватт
(Вт). Зная мощность силы , можно найти и работу,
которую совершает эта сила за промежуток времени t:
t

A ? ? N ? t ? dt
0

6

Работа и мощность
r
r
? Рассмотрим работу упругой силы F ? ?kr, где

?

r
r

- радиус-вектор частицы А относительно
точки О. Переместим частицу A, на которую
действует эта сила, по произвольному пути из
точки 1 в точку 2. Найдем сначала
элементарную работу
силыr rна элементарном
r
перемещении dr ?A
: ? ? krdr
. Теперь
вычислим работу данной силы на всем пути, т.
е. проинтегрируем последнее выражение от
точки 1 до точки 2
2

A ? ? ? d (kr 2 / 2) ? kr1 / 2 ? kr2 / 2.
2

2

1

7

Работа и мощность
В вед ем п о н яти е ки н ет и ческо й эн ер ги и ч асти ц ы . П усть ч асти ц а
м ассы т д ви ж ется п о д д ей стви ем н еко то р о й си л ы
эта си л а

F

r

эл ем ен тар н у ю

м о ж ет б ы ть р езу л ьти р у ю щ ей
р аб о ту, к о то р ую

м о д у л я

век то р а

ско р о сти .

r

(в о б щ ем с л у ч а е

н еско л ьк и х

со вер ш ает эта
r
r
d v
r
п ер ем ещ ен и и dr . И м ея в ви д у , ч то F ? m
и
d t
r r
r r
? A ? F d r ? m vd v .
r r
r
С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е v d v ? v ( d v ) vr ,
r
r
век то р а d v н а н ап р авл ен и е век то р а v . Э та
п р и р ащ ен и ю

F

с и л ). Н а й д е м

си л а н а эл ем ен тар н о м
r
r
d r ? vd t , зап и ш ем

гд е

r
(d v )

r
v

-

п р о екц и я

п р о екц и я р авн а d v
r r
П о это м у
vd v ? vd v


и

эл ем ен тар н ая р аб о та
? A ? m v d v ? d (m v 2 / 2 ).

8

Работа и мощность
r

Р аб о та результи р ую щ ей си лы F и д ет н а п ри р ащ ен и е вели ч и н ы
сто ящ ей в скоб ках , ко тор ую н азы ваю т ки н ети ч еской эн ер ги ей части ц ы .
mv2
E кин ?
. П ри ращ ен и е ки н ети ческой эн ерги и части ц ы п ри
2
э л е м е н т а р н о м п е р е м е щ е н и и р а в н о d E кин ? ? A , а п р и к о н е ч н о м
п е р е м е щ е н и и и з т о ч к и 1 в т о ч к у 2 E кин 2 ? E кин1 ? A12 , т . е . п р и р а щ е н и е
ки нетической эн ергии частиц ы н а н екотором п ерем ещ ении равн о
алгебраической сум м е работ всех си л,

9

Работа и мощность
Получим выражение для кинетической энергии
вращающегося твердого тела с неподвижной осью
вращения. Учитывая связь скорости i ? й частицы
вращающегося твердого тела с угловой скоростью

vi ???
,
i
N

запишем

?N
2? 2
Eкин ??mv
/
2
?
m
?
i i
?? i i ?? / 2, или, более коротко
i?
1
? i?1
?
Eкин ?I?2 / 2,

2

где I - момент инерции тела относительно

оси вращения,

? - его угловая скорость.
10

Работа и мощность
Р ассм отрим
неподвиж ной

работу

оси.

при

вращ ении

Э лем ентарная

твер дого

тела

всех

внеш них

работа

вокруг
сил,

действую щ и х на твердое тело, равна приращ ени ю только ки нети ческой
эн ергии

тела.

Т аким

о б р азо м ,

?A ? dE

кин

.

В осп о льзо вавш и сь

вы р аж ен и ем д ля ки н ети ческо й эн ерги и , зап и ш ем ?A ? d ?I ? 2 / 2 ?. Т ак
как ось z совпадает с осью вращ ения, то ? 2 ? ?

2
z

и ? A ? I ? zd ? z . Т а к

к а к I d ? z ? M z d t , т о с у ч е т о м т о г о , ч т о ? z dt ? d ? , п о л у ч и м ? A ? M z d ? .
Работа

?A

-

величина

алгебраическая:

если

M

z

и

d?

им ею т

о ди н аковы е зн аки , то ? A ? 0 , если ж е и х зн аки п ро ти воп олож н ы , то
? A ? 0. Р аб ота вн еш н и х си л п ри п овороте тверд ого тела н а кон ечн ы й
?

у г о л ? р а в н а A ? ?M zd ? . В с л у ч а е , е с л и M

z

? const

, т о A ? M z? .

0

11

Силовое поле
Полем сил, или силовым полем, называют область пространства, в
каждой точке которого на помещенную в нее частицу действует сила,
закономерно меняющаяся от точки к точке. Пример - поле силы
тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа).
Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени,
то такое поле называют стационарным. Силовое поле, стационарное в
одной системе отсчета, в другой системе может оказаться
нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от
положения частицы.

12

Силовое поле
Стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути
между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит
только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами
силы - консервативными. Если это условие не выполняется, то силовое
поле

не

является

потенциальным,

а

силы

поля

называют

неконсервативными. К числу таких сил принадлежит, например, сила
трения, так как работа этой силы, в общем случае, зависит от пути.
В потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути
равна нулю. Докажем это утверждение.

13

Силовое поле
?

Любой замкнутый путь (см. рис.) можно разбить
произвольно на две части: 1а2 и 2b1. Так как поле
потенциально, то, работы по обоим путям одинаковы.
С другой стороны, очевидно, что при изменении
направления движения по любому пути работа меняет
(a)
(b )
(a)
(b)
знак. Поэтому , A12 ? A21 ? A12 ? A21 ? 0 ,что и
требовалось доказать.

?

Верно и обратное: если работа сил поля на любом
замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на
пути между произвольными точками 1 и 2 от формы
пути не зависит, т. е. поле потенциально. Равенство
нулю работы сил поля на любом замкнутом пути есть
необходимое и достаточное условие независимости
работы от формы пути, и может считаться
отличительным признаком любого потенциального
поля сил.

14

Силовое поле
Рассмотрим важный случай поля центральных
сил. Если силы поля зависят только от расстояния
между взаимодействующими телами и частицами и
направлены по прямой, соединяющей эти частицы,
от их называют центральными. Такими примерами
служат силы гравитационные, кулоновские и
упругие. Центральную силу, действующую на
частицу А со стороны частицы
В, можно
r
r
представить в общем виде:где F ? f (r )er - функция,
зависящая при данном характере взаимодействия
только от r - расстояния между частицами;
r
? er ? единичный вектор, задающий направление
радиус-вектора частицы А относительно частицы В
(см. рис.). Легко доказать, что любое стационарное
поле центральных сил потенциально (для сам.
работы).
?

15

Потенциальная энергия
?

?

Т.к. работа сил потенциального поля зависит только от
начального и конечного положений частицы, то можно
ввести
важное
понятие
потенциальной
энергии.
Представим себе, что частицу перемещается в
потенциальном поле сил из произвольных точек P в
фиксированную точку O. Так как работа сил поля не
зависит от формы пути, то остается зависимость ее только
от положения точки P (при фиксированной точке O ). А это
значит, что данная работа будет некоторой функцией
r
радиус-вектора r точки P.Обозначив
ее
U
(
r
) и запишем
O

APO

r r
r
? ? Fdr ? U (r )
P

r

? ФункциюU (r ) называют потенциальной энергией частицы
в данном поле. Работа сил потенциального поля на пути 1-2
равна убыли потенциальной энергии частицы в данном
2
r r Or r 2 r r
поле

A12 ? ? Fdr ? ? Fdr ? ? Fdr ? U1 ? U 2
1

1

O

16

Связь силы и потенциальной энергии
rr
r
()
Определимсвязь поля сил F(r) и потенциальной энергии Ur

какфункцииположения частицывполе. Приперемещениичастицыиз
одной точки потенциального поля в другую работа, которую
производят силы поля,

представляется как убыль потенциальной

U1 ? U2 ???U. Это верно и для работына
энергии частицы, т. е. A12 ?
rr
r
Fds ?? dU.
элементарном перемещении
ds:?A?? dU, или

Перепишемэтовформе Fd
? dU, где ds –элементарныйпуть, ? dU
s s?
r
- убыль потенциальной энергии в направлении перемещения dr .
r
?U
, т. е. проекция силы поля F в данной точке на
?s
r
направление перемещения ds равна с обратным знаком производной
Отсюда Fs ??

потенциальнойэнергииU поданномунаправлению.

17

Связь силы и потенциальной энергии
ВзявсобратнымизнакамичастныепроизводныефункцииUпох,
r
у и z, получим проекции Fx,Fy и Fz вектора F на направления,
r r r
задаваемые ортами i , j, k . Отсю
да легко найти и сам вектор:
r
r
r
r
F?
Fi
ли
x ?F
y j ?Fk
z , и
r
?Ur ?U r ?U r
F?
?(
i?
j?
k).
?x
?y
?z
Величину, стоящ
ую в скобках, называю
т градиент
ом скалярной
функции U и обозначаю
т gradU или

?
U. Таким образом, связь

между силой поля и потенциальной энергиейкак функцией координат
r
можнопредставить вследую
щ
емкомпактномвиде: F?
??
U, т. е. сила
r
поля F равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии
частицывданнойточкеполя.

18

Связь силы и потенциальной энергии
В
вед
емп
о
н
яти
еэкви
п
о
т
ен
ц
и
альн
о
йп
овер
хн
о
ст
и- вовсехее
точ
ках п
о
тен
ц
и
ал
ьн
ая эн
ерги
я Uи
м
еет о
д
н
о и то ж
е зн
ач
ен
и
е.
К
аж
д
ом
у зн
ач
ен
и
ю U со
ответству
ет своя экви
п
о
тен
ц
и
ал
ьн
ая
r
п
о
вер
х
н
о
сть. П
р
оекц
и
явектор
аFн
ал
ю
б
оен
ап
равл
ен
и
е, касател
ьн
ое
кэкви
п
отен
ц
и
ал
ьн
ойп
овер
х
н
о
стивд
ан
н
о
йто
ч
ке, р
авн
ан
у
л
ю

то
r
зн
ач
и
т, ч
то векто
р F п
ерп
ен
д
и
ку
л
яр
ен экви
п
отен
ц
и
ал
ьн
о
й
п
о
вер
х
н
о
стивд
ан
н
о
йто
ч
кеин
ап
р
авл
енвсто
ро
н
уу
м
ен
ьш
ен
и
яU
.
Г
р
ад
и
ен
т U - это векто
р
, н
ап
равл
ен
н
ы
й п
о н
о
рм
ал
и к
экви
п
о
тен
ц
и
ал
ьн
ойп
о
вер
х
н
остивсто
р
о
н
уво
зрастан
и
яп
отен
ц
и
ал
ьн
о
й
эн
ер
ги
иU
.

19

Эквипотенциальная поверхность и градиент
На

рисунке

изображена

эквипотенциалей
приращением

с
от

система

равномерным

линии

к

линии

(U 4 ? U 3 ?U 3 ? U 2 ?U 2 ? U 1 ) , a также градиент

потенциальной

энергии

и

U

r
соответствующий вектор силы F в точке А
поля.

Расположение

эквипотенциальных

линий в пространстве или на плоскости
позволяет

сравнить

величины

сил

в

различных точках. Так, например, в точке В
данного поля величина силы больше, чем в
точке

A

,

так

как

эквипотенциали

расположены ближе друг к другу.

20

Закон сохранения энергии
С ум м у ки н ети ч еcко й и п о тен ц и ал ьн о й эн ер ги и - н азы ваю т
по лной м еханической энергией част ицы в поле: E ? E

кин

? U . В теории

относи тельн ости пон яти е п олн ой м ехан ической эн ергии н е вводи тся,
так как н ельзя ввести п отен ц и альн ую эн ерги ю , связан н ую с п р и н ц и п ом
дальнодей стви я. П риращ ен и е п олн ой м ехан и ческой эн ергии частиц ы
н а н а к о н е ч н о м п е р е м е щ е н и и и з т о ч к и 1 в т о ч к у 2 E 2 ? E 1 ? A ст , т . е .
п ри ращ ени е п олной м ехан ической энергии частиц ы н а некотором п ути
равн о алгебраической сум м е работ всех сторон них си л, д ействую щ и х
н а части ц у н а том ж е п ути .

21

Закон сохранения энергии
П р и р ащ ен и е

к и н ети ч еск о й

эн ер ги и

си стем ы

р авн о

р аб о те,

к о то р ую со вер ш аю т все си лы , д ей ствую щ и е н а ч асти ц ы си стем ы . П р и
к о н еч н о м п ер ем ещ ен и и E
вн еш н и е

и

кин

вн утр ен н и е,

п о тен ц и ал ьн ы е и

2

а

? E

кин

1

? A .

. Г р уп п и р уя

вн утр ен н и е,

в

сво ю

н еп о тен ц и ал ьн ы е, п о л уч аем

эти

си л ы

о ч ер ед ь,

как
-

к ак

ф о р м ул у п р и р ащ ен и я

к и н ети ч еско й эн ер ги и си стем ы :
d E
Т ак

как

со б ствен н о й

кин

? ?A

вн еш

? ?A

внут р

р аб о та вн утр ен н и х
п о тен ц и ал ьн о й

? ?A

п о т
вн ут р

п о тен ц и ал ьн ы х

эн ер ги и

п о л уч аем сл ед ую щ ее вы р аж ен и е d E

вн еш

? ?A

ки н

? ?A
си л

с и с т е м ы , т .е .
? d U ? ?A

внеш

н еп о т
вн ут р

? ?A

.

р авн а уб ы л и
?A

н еп о т
вн ут р

п от
внут р

? ? d U

.

22

,

Закон сохранения энергии

В ведем понятие полной м еханической
энергии

или,

сист ем ы ,

м еханической

энергии,

как

короче,
сум м ы

кин ети ческой и п отен циальн ой эн ерги й
систем ы

E ?E

кин

?U .
23

Закон сохранения энергии
П ерепиш ем

d E к и н ? d U ? ? A в н е ш ? ? A вннеупто рт

ф орм улу

п он яти я полной м ехани ческой
П ри ко н ечн ом и зм ен ен и и

эн ерги и в ви д е

с

учетом

d E ? ? A в н е ш ? ? A внне упто тр .

E 2 ? E 1 ? A в н е ш ? A вннеупто рт

т. е. приращ ение

п о лн ой м ех ан и ческой эн ерги и си стем ы р авн о алгебр аи ческо й сум м е
работ всех внеш ни х си л и всех вн утренн их непотенциальны х сил. В
другой ф орм е, подели в обе его части н а соответствую щ и й пром еж уток
в р е м е н и d t. Т о г д а

dE
? N
dt

внеш

? N

непот
внут р

, т. е. п рои зводн ая м ех ан и ч еской

энергии си стем ы п о врем ени равн а алгебраической сум м е м ощ ностей
всех внеш них сил и всех внутренних непотенциальны х сил.

24

Закон сохранения энергии

Закон сохранения полной м еханической энергии : в
инерциальной систем е отсчета м еханическая энергия
зам кн утой

систем ы

непотенциальны х
движ ения,
н азы ваю т

т.

частиц,

сил,
е.

E ? E

которой

сохраняется
кин

зам кн утой

в

нет

процессе

Т акую

систем у

достаточно

хорош им

консервативной

систем ой

? U ? const

консерват ивной.

приближ ением

в

С

.

м ож но считать С олнечную систем у.
25

ЗСЭ и однородность времени
В ы ведем ЗС Э с и сп ользован и ем условия одн ородн ости врем ен и. Зап и ш ем следстви е из 2 закон а
Н ью тона:

A 12 ? E

кин 2

? E

кин1

, т .е . р а б о т а с и л н а д ч а с т и ц а м и в м е х а н и ч е с к о й с и с т е м е р а в н а

приращ ению ее кинетической энергии

?E

кин

. Р ассуж дения проведем на прим ере одной частицы .

Д ля систем ы

частиц все будет обстоять аналогично. П редполож им , что проекции силы ,

F x ,F y ,F z ,

действую щ ей на части цу в декартовой систем е координат, м огут бы ть получены

диф ф еренцированием

потенциальной

ф ункции

U

по

соответствую щ ей

координате:

?U
?U
?U
Fx ? ?
, FY ? ?
, FZ ? ?
. О днако сам а потенц иальная ф ун кция U м ож ет
?x
?y
?z
зави сеть явн о н е то лько о т ко о р ди н ат x , y , z р ассм атр и ваем о й м атер и альн о й то ч ки , н о и о т
в р ем ен и U ? x , y , z ,t ? . Н ап р и м ер , так б у д ет в с л у ч ае, к о гд а то ч к а н а х о д и тся в си л о в о м п о л е
др уги х тел, и зм ен яю щ ем ся во вр ем ен и . Р аб ота, п ро и зводи м ая д ей ствую щ и м и си лам и п ри
перем ещ ении частицы вдоль некоторой кривой из полож ения 1 в полож ение 2, представляется
2

ин тегралом

? ?U
?U
?U ?
A 12 ? ? ??
dx ?
dy ?
dz?.
?x
?y
?z ?
1 ?
26

ЗСЭ и однородность времени
П
? U
? t

р и б а в и м

d t .

и

Т о г д а ,

в ы

в в о д я

ф у н к ц и и

d U

в ы

д л я

р а ж

е н и е
2

A

?

1 2

2

d U

?

?

?

?

1

1

с и с т е м ы
с

п о д

п о л н ы

й

? U
? x

?

d x

d t .

В

е н и е м ,

с и с т е м а

E

?

к и н 2

к и н 1

?

U

U

?

1

2

?

?

?

U

2

?

?

?E

к и н 1

?

U

1

?

з а м к н у т а .
е т

п о л у ч и м

Т о г д а

я в н о

и з

о н о
и е

в е л и ч и н у

п о т е н ц и а л ь н о й
d t ,

щ

п р е д с т а в и м

и м

о б р а з о м

с п р а в е д л и в о

р а с с у ж

с о с т о и т

с о х р а н е н и я

п о л н о й

d t .
d t .

О

д е н и я

и з

Д

о т

н е

о д н о й

E

к и н 1

?

U

1

?

д а

о п у с т и м

в р е м е н и ,
E

м е х а н и ч е с к о й

?

д л я

с в я з а н ы
ч а с т и ц ы

с л е д у е т ,
т е п е р ь ,

в р е м е н и
т .

к и н 2

и

.

п о л у ч и м

т с ю

о д н о р о д н о с т и

з а в и с е т ь

у р а в н е н и е

? U
? t

? U
? t

?

?

1

м о ж

? U
? t

d z ?

в и д е

ч т о

2
к и н 2

? U
? z

с л е д у ю

д а л ь н е й ш

1

?E

ф е р е н ц и а л

?

ч т о

2
1 2

и н т е г р а л а

и н т е г р и р о в а н и я

E

?

d y

т а к о м

о с л е
A

д и ф

? U
? y

?

з н а к о м

р а б о т ы

ч а с т и ц , т а к

п р е д п о л о ж

П

? U
? t

ч т е м

? U
? t

е .
U

2

,

в ы

ф
?

0

р а ж

ч т о

с и с т е м а

у н к ц и я
.

В
а ю

ч т о

U

н е

р е з у л ь т а т е
щ

е е

з а к о н

э н е р г и и .

27






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.