Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 8.

Основы СТО - кинематика

3

Причины возникновения СТО
Специальная теория относительности (СТО) возникла после триумфального развития
классической физики, когда в конце XIX века неожиданно обнаружилось несовершенство
физической теории как в теоретическом, так и прикладном аспектах. В теории - это было
противоречие между электродинамикой Максвелла и механикой Ньютона, выражавшееся в
том, что в электродинамике не было основополагающего принципа относительности, а
классической механике он был. В эксперименте аспекте разногласие состояло в том, что
невозможно было объяснить ряд вновь открытых экспериментальных фактов. Сначала это
выяснилось в опыте Майкельсона, пытавшегося обнаружить движение Земли относительно
так называемого светоносного эфира – особой упругой среды, возмущения которой
представляют собой поперечные электромагнитные волны. Затем не был объяснен опыт Физо
по измерению скорости распространения света в движущейся воде. Целью опыта было
обнаружить увлечение водой светоносного эфира. Не удавалось объяснить также аберрацию
света, непрерывное излучение энергии радиоактивными элементами без заметного их
изменения. Позже к этим фактам добавился распад мезонов при больших скоростях и многое
другое.

4

Экспериментальные основы СТО
Рассмотрим

более

подробно

осуществленный Майкельсоном в
1881

г.

знаменитый

опыт,

с

помощью которого он рассчитывал
обнаружить

движение

относительно
ветер).

В

эфира

1887

г.

Земли
(эфирный

Майкельсон

повторил опыт совместно с Морли на
более

совершенном

приборе.

Установка Майкельсона - Морли
изображена на рисунке.

5

Экспериментальные основы СТО
Кирпичное основание поддерживало
кольцевой чугунный желоб с ртутью. На
ртути плавал деревянный поплавок,
имеющий форму нижней половины
разрезанного вдоль бублика. На этом
поплавке была установлена массивная
квадратная каменная плита. Такое
устройство
позволяло
плавно
поворачивать
плиту
вокруг
вертикальной оси прибора. На плите
был смонтирован интерферометр, в
котором оба световых луча, прежде чем
вернуться к полупрозрачной пластинке,
несколько раз проходили туда и
обратно
путь,
совпадающий
с
диагональю плиты. Полупрозрачная
P1
пластинка
использовалась для
разделения
светового
потока
от
источника света, что необходимо для
получения
интерференционной
картины.

6

Экспериментальные основы СТО
Схема хода световых лучей показана на рисунке. В
основе

опыта

лежали

следующие

соображения.

Предположим, что плечо РМ2 интерферометра (рисунок далее)

совпадает

с

направлением

движения

Земли

относительно эфира. Тогда время, необходимое лучу 1,
чтобы пройти путь до зеркала М1 и обратно, будет отлично от
времени, необходимого для прохождения пути РМ2Р лучом 2.
В результате, даже при равенстве длин обоих плеч, что
обеспечивалось наличием второй полупрозрачной пластины
P2 , появится некоторая разность хода лучей 1 и 2. Если

повернуть прибор на 90°, плечи поменяются местами и
разность хода изменит знак. Это должно привести к смещению
интерференционной картины, величину которого, как показали
произведенные Майкельсоном расчеты, вполне можно было
бы обнаружить.

7

Экспериментальные основы СТО
Схема хода световых лучей показана на рисунке. В
основе

опыта

лежали

следующие

соображения.

Предположим, что плечо РМ2 интерферометра совпадает
с направлением движения Земли относительно эфира.
Тогда время, необходимое лучу 1, чтобы пройти путь до
зеркала М1 и обратно, будет отлично от времени,
необходимого для прохождения пути РМ2Р лучом 2. В
результате, даже при равенстве длин обоих плеч, что
обеспечивалось

наличием

второй

полупрозрачной

пластины P2 , появится некоторая разность хода лучей 1
и 2. Если повернуть прибор на 90°, плечи поменяются
местами и разность хода изменит знак. Это должно
привести к смещению интерференционной картины,
величину

которого,

как

Майкельсоном расчеты,

показали
вполне

произведенные

можно

было

бы

обнаружить.

8

Экспериментальные основы СТО
Д ля вы числения ож идаем ого см ещ ения интерф еренционной картины , найдем
врем ена прохож дения соответствую щ их пу тей лу чам и 1 и 2. П у сть скорость
Зем ли отн оси тельн о эф и ра paвн а v . Е с л и эф и р н е у в л ек а ет ся З е м л ей и с к о р о с ть
света

относительно

эф ира

равна

с

(п о к а за т е л ь

прелом ления

возду ха

п р а к т и ч е с к и р а в е н е д и н и ц е ), т о с к о р о с т ь с в е т а о т н о с и т е л ь н о п р и б о р а б у д е т р а в н а
c? v

для направления Р М 2 и

c?v

д л я н а п р а в л е н и я М 2Р . С л е д о в а т е л ь н о , в р е м я

прохож дения луча 2 определяется вы раж ением

l
l
2 lc
2l ?
v2 ?
t2 ?
?
? 2
? ?1 ? 2 ?
2
c? v c?v c ? v
c ?
c ?.
С к о р о с т ь д в и ж е н и я З е м л и п о о р б и т е р а в н а 3 0 к м /с , п о э т о м у

?
?
?

2

v?
?8
? ?1 0 ? ? 1 .
c?

9

Экспериментальные основы СТО
П реж де чем приступить к вы числению
в р е м е н и t1 , р а с с м о т р и м с л е д у ю щ и й п р и м е р и з
м еханики. П о реке движ ется катер, которы й
разви вает ско р о сть с о тн о си тельн о во д ы ,
р у л ев о м у к атер а д ан о зад ан и е п ер есеч ь р ек у (со
с к о р о с т ь ю т е ч е н и я v ), в н а п р а в л е н и и , т о ч н о
перп ен дикулярн ом к ее берегам . Д ля того чтобы
катер п ерем ещ ался в задан н ом н ап равлен и и , его
скорость c относительно воды долж на бы ть
направлен а так, как п оказан о н а ри сун ке.
П оэтом у скорость катера отн осительн о берегов
r

r

2
2
будет равна c ? v ? c ? v . Т акова ж е будет, как
п редп олагал М ай кельсон , скорость луча 1
относительно прибора.

10

Экспериментальные основы СТО
С ледовательно, врем я прохож дения луча 1 равно

t1 ?

2l
c2 ? v

2

2l
?
c

1
v
1 ?
c

2

?
1 v2 ?
?1 ?
2 ?
2
c
?
?

2l
?
c

,

2

г д е п р и в ы в о д е и с п о л ь з о в а н а ф о р м у л а ?1 ? x

?

?

? 1 ? ? x . П одставив в

в ы р а ж е н и е ? ? c ?t 2 ? t1 ? з н а ч е н и я д л я t 2 и t1 , п о л у ч и м р а з н о с т ь х о д а
лучей 1 и 2

??
v2 ? ?
1 v2 ??
v
? ? 2l ??1 ? 2 ? ? ?1 ?
?
l
2 ? ?
c
2
c
c
?
?
?
??
?

2
2

.

П р и п о во р о те п р и б о р а н а 9 0 ° р азн о сть х о д а и зм ен и т зн ак.
С ледовательно, число полос, н а которое см ести тся
интерф еренционная карти н а, состави т

2?
l v
?N ?
? 2
?0
?0 c

2
2

11

Причины возникновения СТО
Д лина плеча l с учетом м н огократны х отраж ений составляла 11 м . Д лина волны света в
о п ы т е М а й к е л ь с о н а и М о р л и р а в н я л а с ь 0 ,5 9 м к м ( и с п о л ь з о в а л с я с в е т я р к о й л а м п ы с п а р а м и
н а т р и я в н у т р и ) . П о д с т а н о в к а э т и х з н а ч е н и й д а е т ? N ? 0 ,3 7 ? 0 ,4 п о л о с ы . П р и б о р п о з в о л я л
о б н а р у ж и т ь с м е щ е н и е п о р я д к а 0 ,0 1 п о л о с ы , н о н и к а к о г о с м е щ е н и я и н т е р ф е р е н ц и о н н о й
карти н ы о б н ар у ж ен о н е б ы ло. Ч то б ы и склю чи ть во зм о ж н о сть того , что в м ом ен т и зм ерен и й
п лоскость гори зон та окаж ется п ерп ен ди кулярн ой к вектору орб и тальн ой скорости Зем ли и
и н терф ерен ц и и н е будет, оп ы т п овторялся в разли чн ое врем я суток. В п оследстви и оп ы т
п р ои звод и лся м н ого кр атн о в разли ч н ое вр ем я го д а, так как за год вектор о рб и тальн ой ско р о сти
Зем ли п оворачи вается в п ростран стве н а 360°. Р езу льтат н еи зм ен н о б ы л отри ц ательн ы м обнаруж ить эф ирны й ветер не удавалось и м ировой эф ир оставался неуловим ы м . Б ы ло
п ред п ри н ято н есколько п оп ы ток об ъ ясн и ть отри ц ательн ы й результат оп ы та М ай кельсон а, н е
отказы ваясь

от

ги п отезы

о

м ировом

эф ире.

О днако

все

эти

попы тки

оказали сь

несостоятельны м и.

12

Причины возникновения СТО
Исчерпывающее объяснение всех противоречивых опытных фактов, в том
числе и результатов опыта Майкельсона, было дано в 1905 г. Эйнштейном, который
пришел к выводу, что мирового эфира, т. е. особой среды, которая могла бы служить
абсолютной системой отсчета, не существует. В соответствии с этим Эйнштейн
распространил механический принцип относительности Галилея на все без
исключения физические явления. Далее Эйнштейн в соответствии с опытными
данными ввел следующий постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчета и не зависит от движения приемников и
источников света. Два постулата – относительности и постоянство скорости света
- стали основой специальной теории относительности Эйнштейна.
СТО строится для инерциальных систем отсчета (ИСО) - систем, по
отношению к которым выполняется первый закон Ньютона - закон инерции.

13

Причины возникновения СТО
В классической механике пространство и время абсолютны, т. е.
одинаковы во всех системах отсчета вообще. В специальной теории
относительности предполагается, что в каждой инерциальной системе
отсчета метрические свойства пространства и времени такие же, как в
классической механике. Это означает, что пространство ИСО - евклидово (в
нем справедлива теорема Пифагора). Пространство является трехмерным,
однородным,

изотропным,

непрерывным

и,

односвязным.

Время

-

одномерное, однородное, непрерывное, однонаправленное. Все эти качества
являются следствием многовековой

практики человечества. Отличие

возникает при переходе от одной системы отсчета к другой.

14

Постулаты Эйнштейна
Два постулата А. Эйнштейна лежат в основе специальной теории
относительности:
1.

Постулат

относительности

:

при

одинаковых

условиях,

реализованных по отдельности в двух системах отсчета - некоторой
инерциальной системе К и системе, движущейся равномерно и
прямолинейно относительно системы K – любые физические
процессы в них протекают одинаково.
2. Постулат инвариантности скорости света: скорость света в
вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Она не
зависит от движения источника и приемника света.

15

Постулаты Эйнштейна
И
зпервогопринципаследует: еслидлядан
нойзадачи найденаин
ерциальная
систем
а отсчета K
, то для этойзадачисущ
ествует ибесчисленное м
нож
ество
инерциальны
х си
стем
. В
се они движ
утся равном
ерно и прям
олинейно
относительно Kсо скоростьюV. С
коростивсехсистемK
’м
еньш
е с: систем
ы
отсчета необходим
о связы
вать с тверды
м
и телам
и, а их скорости не м
огут
равнятьсяилипревосходитьм
аксим
альнуюскоростьсветаввакуум
е, равнуюс;
онидолж
ныбы
тьстрогом
еньш
ем
аксим
альной.
В отличие от м
гн
овенного распространения взаим
одействия (принцип
дальнодействия), из второго постулата следует, что в природе сущ
ествует
м
аксим
альнаяскоростьраспространенияф
изическихвзаим
одействий- однаита
ж
евовсехинерциальны
хсистем
ахотсчета. Э
таскоростьсовп
адаетсоскоростью
света в вакуум
е c= 300000 км
/с и она не зависит от движ
ения источника и
прием
никасвета.

16

Относительность одновременности
Из

постулатов

одновременность

Эйнштейна

разноместных

следует,
событий,

что
т.

е.

происходящих в разных точках пространства, не является
абсолютной,

независимой

от

систем

отсчета.

Действительно, пусть от лампы L (рис.9.5), находящейся
на середине платформы,

движущейся со скоростью V

распространяется свет. Наблюдатель, находящийся на
платформе, заметит, что свет дойдет до ее заднего 1 и
переднего 2 краев ее концов одновременно, тогда как
наблюдатель на перроне увидит, что свет края 1 раньше, а
до края 2 позже. Это объясняется тем, что

край 1

приближается к фронту световой волны, а край 2
отдаляется

от

принципов
направлениях

него.

Оба

Эйнштейна;
для

наблюдателя

скорость

каждого

из

света

исходят
в

из

обоих

наблюдателей равна

максимальной скорости с и не зависит от того, движется
или покоится источник света.

17

Взаимное расположение ИСО
З д е с ь и д а л е е п р е д п о л а га е т с я , ч т о
систем а

K’

r
V относительно

оси

абсцисс

движ ется

со

скоростью

систем ы K в направлении
Х.

О стается

только

с о гл а с о в а т ь в ы б о р н а ч а л о т с ч е т а в р е м е н и в
с и с т е м а х K и K ’. П р и н и м а е т с я у с л о в и е :
к о гд а в с е д е к а р т о в ы о с и о б е и х с и с т е м K и
K ’ б ы л и с о в м е щ е н ы , б а зо в ы е ч а с ы н а ч а л
координат в обеих систем ах долж ны бы ли
п о к а зы в а т ь о д и н а к о в о е в р е м я : t = 0 (в
с и с т е м е K ) и т а к ж е t = 0 (в с и с т е м е

K ?).

18

Преобразования Лоренца
В релятивистской м еханике процесс рассм атривается как последовательность
собы тий. П онятие
координатам и

r
r

собы тия

определяется

), и м о м е н т о м в р е м е н и

t

м естом , где

оно

п рои зош ло

(е го

, когда он о п рои зош ло. Е сли о п редели ть

доп олн и тельн у ю коорди н ату , и м ею щ у ю разм ерн ость дли н ы

ct

, где

скорость

c ?

света в ваку у м е, то у добн о ввести в рассм отрен и е так н азы ваем ое п ростран ство
собы тий,

или

п р о с т р а н с т во -вр е м я

п р о стр а н ств а -в р ем ен и

М инковского

М инковского .

Г еом етрические

определяю тся вы раж ением

для квадрата

р а с с т о я н и я м е ж д у д в у м я с о б ы т и я м и (и н т е р в а л а )

s 2 : s 2 ? ?c t ? ? ?? x

?

этом

собы тий, а

?t?

вы раж ении

?x, ?y, ?z ?

разн ости

координат

м ом ентов врем ени. П ространство с таким

s2

2

2

? ?? z

2
? . В

разн ость

их

? ?? y

x ?, y ?, z ?, t ? .

?

2

н азы вается п севд о евкл и д о вы м .

П усть коорди наты н екоторого собы тия в си стем е отсчета K равны
систем е K ’ они

свойства

x , y , z ,t

, а в

У стан ови м связь м еж ду н и м и , и сходя и з п осту латов

Э йнш тейна.

19

Преобразования Лоренца
1) Искомая связь должна быть линейной, так как закон инерции
подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с
(движение по прямой линии в системе K остается таковым и в системе

K?).

Поэтомуформасвязидолжнабытьследующей:

?z.
x???? x? Vt? , x?
?? x??Vt?
? , y??y, z=
Здесь учтено, что x? и ? x? Vt? в одном случае обращаются в нуль вместе (нулю
равныабсциссыточкиО’ всистемахK’ иKсоответственно); тожеотноситсякхи
? x??Vt?? (точкаО).
2) М
ножитель

?

в обеих формулах один и тот же, так как системы K и K’

совершенноравноправны.
3) Координаты y и z не меняются, так как в направлении осей y и z движение
системотсутствует.

20

Преобразования Лоренца
Ф орм улы перехода относятся к лю бы м собы тиям , но м нож итель ? м ож но
о п р е д е л и т ь , р а с с м а т р и в а я к а к о е -л и б о ч а с т н о е с о б ы т и е . Д л я о п р е д е л е н и я
рассм отрим

?

распространение света в направлении оси абсцисс от начала

координат - приход света в точку х

1

в м ом ент

о зн а ч а е т п р и х о д е го в т о ч к у х 1’ в м о м е н т

t1?

t1

(в с и с т е м е K ), ч т о т а к ж е

(в с и с т е м е

K ?)

. В соответствии со

вторы м постулатом Э йнш тейна, путь света в систем ах K и K ’ равен

x 1 ? c t1 , x 1? ? c t1?.
Е щ е два равенства долж ны вы полняться на основе ф орм ул перехода

x 1? ? ?

?x1

?

?

? V t1 ? , x 1 ? ? x 1? ? V t1? .

21

Преобразования Лоренца
Е сли п ослед ни е два равен ства п ерем н ож и ть и зам ен и ть
после сокращ ения на

t1 t1 ? ,

получим

c2 ? ? 2 ?c2 ? V

2

x 1 x 1?

через

c 2 t1 t1 ? ,

то,

?, откуда

1

? ?

V2
1? 2
c

П одставляя н ай ден н ое зн ачен и е ? , п олу чи м для коорди нат в н ап равлен и и
движ ения систем отсчета
x??

x ? Vt
2

1?

V
c2

,x?

x ?? V t
2

1?

V
c2

.

22

Преобразования Лоренца
И з в т о р о й ф о р м у л ы л е г к о о п р е д е л и т ь t? (п о с л е за м е н ы x ? н а о с н о в а н и и п е р в о й
ф о р м у л ы ), и т о гд а о к о н ч а т е л ь н о и м е е м

x ??

x ? Vt
2

1?

V
c2

, t??

V
x
2
c
, y ?? y , z?? z
2
V
1? 2
c

t?

Т акова связь м еж ду коорди н атам и и врем ен ем одн ого и того ж е собы ти я в двух
и н е р ц и а л ь н ы х с и с т е м а х о т с ч е т а K и K ’ (ш т р и х о в а н н а я с и с те м а 1 д в и ж е т с я о т н о с и т е л ь н о й
н е ш т р и х о в а н н о й K с о с к о р о с т ь ю V в н а п р а в л е н и и о с и х ). Э т и ф о р м у л ы и зв е с т н ы в н а у к е
как

пр еобр азо вани я

Л оренца.

О ни

бы ли

получены

в

1904

году

Л оренцем

как

п реобразован и я, оставляю щ и е н еи зм ен н ы м и уравн ен и я М аксвелла для электром агн и тн ого
поля при п ереходе из одной и нерциальной систем ы отсчета в другую . Значение этих
ф ормул

в

ф и зи ке

очень

велико.

П осле

их

откры тия

вся

ф и зи ка

(м е х а н и к а ,

э л е к т р о д и н а м и к а , т е р м о д и н а м и к а и д р .) п о д л е ж а л а п е р е с т р о й к е – н у ж н о б ы л о у ч е с т ь э т и
связи . Э то бы ло осущ ествлен о в сп ец и альн ой теори и отн оси тельн ости Э й н ш тей н ом .

23

Преобразования Лоренца
И з ф ор м улы д ля п р ео б разован и я врем ен и в ч астн о сти след ует: о д н овр ем ен н ы е, н о п р о и сх од ящ и е
в р азн ы х

точках

простран ства, собы ти я в си стем е K

не являю тся таковы м и

в с и с тем е K ’.

Д ей ств и те л ь н о , е сл и x 2 ? x1 , то д л я о д н о го и то го ж е t и м е ем
V
V
x
t
?
x2
1
c2 , t ??
c2
, т . е . t 2 ? ? t1?.
2
2
2
V
V
1? 2
1? 2
c
c

t?
t 1? ?

Е с л и р а зр е ш и т ь п р е о б р а зо в а н и я Л о р е н ц а о т н о с и т е л ь н о н е ш т р и х о в а н н ы х к о о р д и н а т (э т о
о зн ач ае т п ер ех о д K ’ ? K ), то п о л у ч и м

x ?

x ?? V t?
2

1?

V
c2

V
x?
2
c
, y ? y ?, z ? z ?
2
V
1? 2
c

t ??
, t?

Э ти ф орм улы отличаю тся только тем , что ш трихован ны е и не ш трихованны е координ аты
п о м е н я л и с ь м е с т а м и , а с к о р о с т ь (+ V ) за м е н е н а н а (- V ), ч т о в п о л н е п о н я т н о - с и с т е м ы K и K ’
р а в н о п р а в н ы и K д в и ж е тс я о тн о с и те л ь н о K ’ с о с к о р о с ть ю (- V ).

24

Преобразования Лоренца
Е сл и

x ?

V ? ? c

x ?? V t?
1 ?

2

V
c

, то ф о р м у л ы

V
c

t??
, t ?
1 ?

2

x ?

2

2

V
c

, y ? y ?, z ? z ?

п р ео б р азо в ан и й Л о р ен ц а

2

в ы р о ж д аю тся и п р и н и м аю т в и д

x ?? x ? V t, t?? t, y ?? y , z?? z.
Э то и зв естн ы е в н ью то н о в о й м ех ан и к е п р ео б р а зо ва н и я Г а ли лея . С
н и м и

св язан о

тек у щ ем

в о

п р ед став л ен и е
в сех

си стем ах

о б

аб со л ю тн о м

о тсч ета

в р ем ен и ,

(о д н о в р е м е н н о с т ь

о д и н ак о в о
со б ы ти й

а б с о л ю т н а - эт о о т н о с и т с я к о в с е м с и с т е м а м о т с ч е т а ).

25

Кинематические следствия из преобразований Лоренца
Р а с с м о т р и м л и н е й к у , н е п о д в и ж н у ю в K , р а зм е щ е н н у ю п а р а л л е л ь н о о с и а б с ц и с с . Д л и н а л и н е й к и
? x ? x 2 ? x1 , г д е x 2 и x1 - к о о р д и н а т ы к о н ц о в л и н е й к и в э т о й с и с т е м е K .
В с и с т е м е K ’ д л и н а э т о й л и н е й к и ? x ? ? x 2 ? ? x 1 ?, гд е x 2 ? и x 1 ? с л е д у е т б р а т ь в о д и н и т о т ж е м о м е н т t ? .
П о п р е о б р а зо в а н и ю Л о р е н ц а x 2 ?

x 2? ? V t ?
2

1?

V
c2

, x1 ?

x 1? ? V t ?
2

1?
?x ?

V
c2

. О тсю да н аходи м дли ну лин ей ки

?x?
2

1?

V
c2

.

Д л и н а п р е д м е т а в с и с т е м е о т с ч е т а , в к о т о р о й о н п о к о и т с я , н а з ы в а е т с я с о б с т в е н н о й д л и н о й (з д е с ь
? x ). О н а н а и б о л ь ш а я . В с и с т е м е , о т н о с и т е л ь н о к о т о р о й л и н е й к а д в и ж е т с я , о н а к о р о ч е ? x ? ? ? x , и т е м
к о р о ч е , ч е м б о л ь ш е е е с к о р о с т ь V . Э т у ж е ф о р м у л у м о ж н о за п и с а т ь и т а к

V2
? x ?? ? x 1 ? 2 .
c

26

Кинематические следствия из преобразований Лоренца
С л е д о в а т е л ь н о , д л и н а н е я в л я е т с я п о н я т и е м а б с о л ю т н ы м (н е за в и с я щ и м о т с и с т е м ы о т с ч е т а ), к а к
п ри н и м ается в н ью тон овой м ехан и ке. Д ля н ью тон овой м ехан и ки , где сп раведли вы п р еобразован и я Г али лея,
? x ?? ? x .
П у с т ь в н е п о д в и ж н о й т о ч к е x ? с и с т е м ы K ’ п р о и з о ш л и д в а с о б ы т и я в м о м е н т t1? и в м о м е н т t 2 ? . В р е м я
оп р ед еляется п о часам , п о ко ящ и м ся в си стем е о тсч ета, гд е п р ои зо ш ли соб ы ти я. П р о м еж уто к вр ем ен и
м е ж д у э т и м и с о б ы т и я м и ? t ? ? t 2 ? ? t1 ? . В ы ч и с л и м п р о м е ж у т о к в р е м е н и м е ж д у н и м и п о ч а с а м с и с т е м ы К ,
и сп о льзуя

ф орм улы

Л оренца

t1 ?

t 2 ? t1 ? ? t , t 2 ? ? t1? ? ? t ? , н а х о д и м ? t ?

V
V
x?
t2? ? 2 x ?
2
c
c
, t2 ?
.
2
2
V
V
1? 2
1? 2
c
c

t1? ?

? t?
V 2
1? 2
c

В ы читая

зн ачен и я

м ом ентов

врем ени

.

О тсю д а в и д н о , ч то ? t б о л ь ш е, ч ем ? t?. В си с тем е о тсч ета K ?, в к о то р о й то ч к а н еп о д в и ж н а и ч а сы
п о ко ятся, п р ом еж уто к вр ем ен и н аи м ен ьш и й . Е го н азы ваю т со б ст вен ны м вр ем ен ем . И н о гд а это т р езультат
вы р аж аю т сло вам и так: в д ви ж ущ ем ся теле п р о ц ессы зам ед ляю тся, и ли : часы , д ви ж ущ и еся о тн оси тельн о
и н ер ц и альн о й си стем ы отсч ета и д ут м ед лен н ее. Д ля п р еоб р азован и й Г али лея о тр езки вр ем ен и в разли ч н ы х
си стем ах о тсч ета р авн ы ? t?? ? t .

27

Релятивистское сложение скоростей
Скорость точки
декартовы оси)
dx' dy' dz'
.
,
,
dt' dt' dt'

r


системе K имеет составляющие (проекции на

dx dy dz
, ,
а в системе K’ у скорости vr? это составляющие
dt dt dt

Заметим, что

r
v

и

r
v?

- это обычные трехмерные векторы. В

соответствии с преобразованиями Лоренца составляем отношения:

dy
V2
dx
1? 2
?V
?
dx? dx? Vdt
dy
c ,
?
? dt
,
?dt
dt? dt ? Vdx 1? V dx dt? 1? V dx
c2
c2 dt
c2 dt

dz
V2
1? 2
dz? dt
c ,
?
dt? 1? V dx
c2 dt

28

Релятивистское сложение скоростей
В ставляя обы чн ы е обозн ачен и я ком п он ен т скорости , п олу чаем
V
?
?
v x? ? ?v x ? V ? / ? 1 ? 2 v x ? , v y? ? v
c
?
?

y

V
V 2 ?
V
?
1 ? 2 / ? 1 ? 2 v x ? , v z? ? v z 1 ?
c
c
c
?
?

2
2

V
?
?
/ ?1 ? 2 vx ?.
c
?
?

П о эт и м ф о р м у л а м в ы ч и с л я е т с я с к о р о с т ь в с и с т е м е K ’, е с л и о н а и зв е с т н а в
си стем е K . А н алоги чн о н аходи м обратн ы е зави си м ости

?

v x ? v x? ? V

?

V
?
?
/ ? 1 ? 2 v ?x ? , v
c
?
?

y

2
2
V
V
V
V
?
?
? v y ? 1 ? 2 / ? 1 ? 2 v x? ? , v z ? v z ? 1 ? 2 / ?? 1 ? 2 v ?x ?? .
c
c
c
c
?
?
?
?

Ч астиц ы , дви гаю щ иеся со скоростям и , сравн им ы м и со скоростью света, для
которы х

необходим о

и сп о л ьзо вать

эти

ф ормулы , обы чно

н азы ваю т, для

краткости, релятивистским и частицам и.

29






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.