Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 6.

Механические колебания –затухающие,
вынужденные,параметрические и автоколебания
(часть 2)

3

Затухающие колебания
В о всякой реальной колебательной систем е им ею тся силы сопротивления, действие
ко то р ы х п ри во д и т к ум ен ьш ен и ю эн ер ги и си стем ы . Е сли уб ы ль эн ер ги и н е во сп о лн яется за
сч ет р аб о ты вн еш н и х си л, колебан и я б уд ут затух ать. В п р о стей ш ем , и вм есте с тем н аи б олее
часто встречаю щ ем ся, случае сила сопротивления F * пропорциональна величине скорости:

F * ? ? rv

. Здесь r - п остоян н ая, н азы ваем ая коэф ф ициент ом сопрот ивления. Зн ак

м инус обусловлен тем , что сила F *

и скорость v им ею т противополож ны е направления;

следовательн о, и х п р оекц и и н а ось х и м ею т р азн ы е зн аки . У р авн ен и е втор о го зако н а Н ью то н а
при наличии сил сопротивления им еет вид

2? ?

r
, ?
m

2
0

?

k
m

m &&x ? ? k x ? r x& .

П р и м ен и в о б о зн ачен и я

, п ер еп и ш ем ур авн ен и е след ую щ и м о б р азо м :

&&x ? 2 ? x& ? ? 02 x ? 0

.

Э то ди ф ф ерен ц и альн ое уравн ен и е ли н ей н ы х затухаю щ и х колебан и й .

4

Затухающие колебания
Свободные затухающие колебания линейнойсистемыописываются уравнением

d2x
dx
2
?
2
?
??
0.
0 x?
2
dt
dt
Заметим, что

?0

представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные

колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при ??0). Эту частоту называют
собственной частотой системы. Введемобозначение для частотызатухающих колебаний

?.

Она равна

?? ?02 ? ?2 .
При не

2
2
?
?
??
слишком сильном затухании (
0)

общее решение дифференциального

уравнения имеет вид
? ?t
x? t? ?Ae
cos? ?t ??? .
0

Здесь A0 и ? — произвольные постоянные. Справедливость решения можно проверить
подстановкой.

5

Затухающие колебания
На

рисунке

приведен

график

решения

уравнения затухающих колебаний. Пунктирными
линиями показаны пределы, в которых находится
смещение колеблющейся точки x . В соответствии с
видом

функции

x ? t ? ?A0e? ?t cos ? ?t ???

движение

системы можно рассматривать как гармоническое
колебание

частотой

изменяющейся по закону

?

и

амплитудой,

A? t ? ?A0e? ?t . Верхняя

из пунктирных кривых дает график функции A? t ? ,
причем величина

A0

представляет собой амплитуду

в начальный момент времени.

6

Затухающие колебания
Н ачальное см ещ ение

x0

зави си т от

A0

и н ачальн о й ф азы

x0 ? A0c o s? . С к о р о сть зату х ан и я к о л еб ан и й о п р ед ел яется вел и ч и н о й

которую

н азы в аю т к о э ф ф и ц и е н т о м з а т у х а н и я . Н а й д е м в р е м я

? ?
?,

?

:

r
2m

,

за

к о то р о е ам п л и туд а у м ен ьш ается в е р аз. О н о н азы вается вр ем ен ем
р елаксации си стем ы . П о определению

e ? ?? ? e ? 1 ,

откуда

?? ?1 .

С ледовательн о,

ко эф ф и ц и ен т зату х ан и я о б р атен п о вели ч и н е то м у п р о м еж у тку вр ем ен и
за ко то ры й ам п ли туда ум ен ьш ается в

e

р аз. П ер и о д зату х аю щ и х ко л еб ан и й

равен
T ?

2?
?
?

?,

2?
? 02 ? ? 2

.

С р о стом коэф ф и ц и ен та затух ан и я п ери о д колебан и й увели чи вается.

7

Затухающие колебания
Рассм отрим последовательны е наибольш ие отклонения в какую ли бо сторон у от п олож ен и я равн овеси я. Э ти зн ачен и я образую т
геом етри ческую
A3 ? A0e

? ? ?t ? 2 T

?

? A2e ? ?T

прогрессию :

если

A1 ? A0e ? ?t ,

то

A2 ? A0e

? ? ?t ? T

?

? A1e ? ?T

,

и т. д. В ообщ е, отн ош ен и е зн ачен и й ам п ли туд,

соответствую щ их м ом ентам врем ени, отличаю щ им ся на период,
равно
A ?t ?
A ?t ? T

?

? e ? ?T .

Э то о тн о ш ен и е н азы ваю т д е к р е м е н т о м з а т у х а н и я , а его л о гар и ф м
— ло гариф м ически м декр ем ент ом зат уха ни я
? ? ln

A ?t ?
A ?t ? T

?

?

:

??T .

8

Затухающие колебания

Для характеристики системы с затуханием обычно используется
логарифмический декремент затухания ?. Выразив коэффициент затухания ?
через ? и Т, можно записать закон убывания амплитудысо временем в виде
t
??
T

At
? ? ?Ae
0

?
N
?
. За время релаксации ?, система успевает соверш
ить e
T

колебаний. И
з условия

?
??
T

e

1. Логарифмический
?
e?1 получается, что ?Ne ?

декрементзатуханияобратенповеличинечислуколебаний, соверш
аемыхзатовремя,
за которое амплитуда уменьш
ается в

e

раз. Для характеристики колебательной

системычастоупотребляется такж
евеличинаQ

? ?
Q? ? ?
?Ne.
? ?T
называемая

добротностью

колебательной

пропорциональна числу колебаний

Ne,

системы.

Добротность

соверш
аемых системой за время

релаксации ?.

9

Затухающие колебания
Р ассм отри м п олн ую эн ерги ю колеблю щ ей ся си стем ы как
ф у н к ц и ю в р е м е н и E ?t ? ?
реш ения

x ?t ?

? ? a r c t g ?? / ?

?.

работой

силы

1
kx
?
2

1
E ? t ? ? k A 02 e
2

2

?t ? ?

? 2?t

m x& 2 ? t ? ? . П о с л е п о д с т а н о в к и

?
?
?
? 1 ? ? s in ?2 ? t ? 2 ? ? ? ?? ,
0
?
?

У бы ван и е п олн ой эн ерги и части ц ы обусловлен о

разви ваем ая

сопротивления среды
этой

силой,

равна

о бр азо м , в те м ом ен ты врем ен и , где
врем я d E

где

?t ? /

F с о п р ? ? r x& . М о щ н о с т ь ,

rr
N ? F v ? ? r x& 2 . Т а к и м
x& ? 0

,

E ?t ? ? 0

, в остальное

dt ? 0 .
10

Затухающие колебания
П ри малом затухании ( ?

2

?? ? 02 )

периодическим слагаемы м,

мож но пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону

E ? t ? ? E 0 e ? 2 ? t , где

1
E 0 ? kA02
2

— значение энергии в начальный момент.

Скорость убывания энергии

определяется формулой

?

dE
? 2? E
dt

.

Если энергия мало изменяется за время, равное периоду колебаний,
убыль энергии за период

вычисляется как

Запиш ем

связываю щ ее

соотнош ение,

? ? E ? 2 ? TE .
добротность

с

относительными потерями энергии за один период колебаний

E
Q
? .
? ?E 2?

11

Затухающие колебания
При

???0

решение дифференциального уравнения

затухающих колебаний представляется в виде суммы двух
экспонент:
? ?1t
? ?2t
x? t? ?Ce
?
Ce
.
1
2

Здесь

C1

и

C2

— вещественные постоянные, значения

которых зависят от начальных условий

x0

и

v0

,

?1

и

-

?2

вещественныечисла.
Движение носит апериодический (непериодический)
характер —выведенная из положения равновесия система
возвращается в положение равновесия, не совершая
колебаний.

12

Апериодический режим затухающих колебаний
На

рисунке

во звр ащ ен и я

п оказан о

систем ы

к

два

во зм ож н ы х

полож ению

способа

равновесия

при

апериодическом движ ении. К аким из этих способов п ри ходи т
систем а

в

полож ение

равн овеси я, зави си т

от

начальны х

условий. К ривая 2, получается тогда, когда систем а начин ает
д в и гаться и з п о л о ж ен и я, х ар ак тер и зуем ого см ещ ен и ем x0 , к
п олож ени ю равн овеси я с начальной скоростью v0 определяем ой
условием

?

v0 ? x0 ? ?

?

? 2 ? ? 02 .

Э то

условие

будет

вы полнено в том случае, если, наприм ер, вы веденном у из
п о ло ж ен и я р авн о веси я м аятн и ку в вязко й ср ед е соо бщ и ть
достаточно сильны й им пульс к п олож ен ию равн овеси я. Е сли ,
о т в е д я е г о и з п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я , о т п у с т и т ь б е з т о л ч к а (т . е .
с v0 ? 0 ) и л и со о б щ и ть ем у н ед остато чн ы й и м п ульс, то движ ение
будет происходи ть в со ответстви и с кр и вой 1.

13

Вынужденные линейные колебания
Когда на линейную колебательную систему действует внешняя
сила, изменяющаяся по гармоническому закону F? t? ?F0 cos?t ,
колебания

описываются

линейным

неоднородным

дифференциальнымуравнением

d2x
dx
2
?
2
?
??
t.
0 x ?f0 cos?
2
dt
dt
где f0 ?F0 / m—нормированная вынуждающая сила, ? - ее частота.
Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение
линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения.

14

Вынужденные линейные колебания
Общее решение однородного уравнения затухающих колебаний имеет вид

x ? t ? ? A0 e ? ?t cos ? ?затt ? ? ? , где ?зат ? ?02 ? ? 2 , а

A0

и

?

- произвольные

постоянные.
Частное решение уравнения вынужденных колебаний следует искать в виде
гармонической зависимости от времени с частотой внешней вынуждающей силы
и амплитудой пропорциональной величине этой силы

f0
x? t? ?
cos ? ?t ? ? ? ?? ?
.
? ? ??
Так как

sin ?t

и

cos ?t

линейно независимые функции, то после подстановки этого

решения в уравнение колебаний необходимо приравнять коэффициенты при
cos ?t

в обеих частях уравнения. Получим два уравнения для

? ? ??

и

sin ?t

? ? ?? .
15

и

Вынужденные линейные колебания
Р е ш а я у р а в н е н и я д л я к о э ф ф и ц и е н т о в п р и s in и c o s , о п р е д е л и м в и д ф у н к ц и й

? ??

?

и ?

?? ?
? ??

??

П од стан овка зн ачен и я

??
f0

2
0

2

? ?

?

2

2

? 4? ?

, а такж е

вы раж ени ю для частн ого реш ен ия

x ?t ? ?

2

x ?t

? и

? ??

2
0

? ?

2

?

2

? ??

?

? a r c tg

2? ?
? 02 ? ?

2

.

? приводит к окончательном у

?:

F0 / m

??

, ? ??

? 4? 2?

2

?
2? ? ?
c o s ? ? t ? a r c tg 2
2 ? .
?
?
?
0
?
?

О тм ети м , ч то р еш ен и е н е со д ер ж и т п р ои зво льн ы х п о сто ян н ы х. Е го сум м а с
реш ением

у равн ен и я зату х аю щ и х кол еб ан и й д ает об щ ее реш ен и е у равн ен и я,

описы ваю щ ее поведение систем ы при вы нуж денны х колебаниях.

16

Вынужденные линейные колебания
Частное

решение

неоднородного

уравнения

описывает

установившиеся вынужденные колебания, которые представляют
собой гармонические колебания с частотой, равной частоте
вынуждающей

силы.

Амплитуда

вынужденных

колебаний

пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от ее
частоты.

Вынужденные

колебания

отстают

по

фазе

от

вынуждающей силы, причем величина этого отставания также
зависит от частоты вынуждающей силы. Зависимость амплитуды
вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит
к тому, что при некоторой определенной (для данной системы)
частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

17

Вынужденные линейные колебания - резонанс
Я вление

сущ ествен н о го

во зрастан и я

ам плитуды

вы нуж денны х

ко лебан и й н азы вается р езо н а н со м а м п ли т уд , а соо тветствую щ ая ч асто та
- р езо н а н сн о й ча ст о т о й . Ч тоб ы о п р ед ели ть р езон ан сн ую ч астоту

? рез

,

нуж но найти м аксим ум ам плитуды , или, что то ж е сам ое, м иним ум
вы раж ения

? ?? ? ?

??

2
0

2

? ? 2 ? ? 4? 2? 2

П родиф ф еренцировав

это

, стоящ его п од ко рн ем в зн ам ен ателе.

вы раж ение

по

?

п рои зводн ую , п олучи м услови е, оп ределяю щ ее

и
? рез

приравняв
: ?

рез

нулю

? ? 02 ? 2 ? 2 .

П о д стави в это зн ач ен и е часто ты , п о л уч и м вы р аж ен и е д л я ам п ли туд ы п р и
р езон ан се:
A рез ?

F0 / m
2 ? ? 02 ? ? 2

.

18

Вынужденные линейные колебания - резонанс
Зависим ость
колебаний

от

ам плитуды

вы нуж денны х

частоты

вы нуж даю щ ей

п оказан а н а ри су н ке. О тдел ьн ы е кри вы е н а
граф и ке соо тветству ю т разли чн ы м зн ачен и ям
парам етра

?

: чем

м еньш е

?

, тем

вы ш е и

правее леж ит м аксим ум данной кривой. П ри
очень
2?

2

? ?

больш ом
2
0

зату хан и и

(т а к о м ,

что

) вы раж ен и е для резон ан сн ой частоты

стан ови тся м н и м ы м , что озн ачает отсу тстви е
резон ан са - с у вели чен и ем частоты ам п ли ту да
вы нуж денны х колебаний м онотонно убы ваетниж няя кривая.

19

Вынужденные линейные колебания - резонанс
И зображ енная

совокупность

граф иков,

соответствую щ их различны м значениям парам етра ?
назы вается резонансны м и кривы м и . П ри стремлении
частоты к 0 все кривы е приходят к одном у и том у ж е,
отличному от нуля, предельном у значению , равн ом у
x ст ?

F0
F0
.
?
m ? 02 k

О но

назы вается

статическим

отклонением и представляет собой см ещ ение из
полож ения равновесия, получаем ое систем ой под
действием

постоянной

стремлении частоты к

силы

величины

F0 .

П ри

? все кривы е асим птотически

стремятся к 0, так как при больш ой частоте сила так
бы стро изм еняет свое направление, что систем а не
успевает зам етно см еститься из полож ения равновесия.

20

Вынужденные линейные колебания- резонанс
П ри

м алом

зату хан и и

ам п ли туд ы п ри резон ан се

( т .е .
A

рез

при

? ?? ?

0

)

отнош ение

к статическом у см ещ ению

x ст

приближ енно равно
A

рез

/ x ст ?

? 0
2?
?
?
? ? Q .
2?
2?T
?

Т аки м образом , добротн ость Q п оказы вает, во сколько
раз ам п ли ту да в м ом ен т резон ан са п ревы ш ает см ещ ен и е
систем ы

из

полож ения

равновесия

под

действием

постоянной силы той ж е величины .
21

Вынужденные линейные колебания - резонанс
В ы н у ж д ен н ы е к ол еб ан и я отстаю т п о ф азе
от

вы нуж даю щ ей

отставания
Зависим ость

от

?

ф азе

?

ф азовы м и

С обственной частоте
по

? ?

причем

величина

леж ит в пределах от 0 до

?

п оказан а

силы ,

?
2

.

п ри разны х зн ачен и ях
р езо н ан сн ы м и
?0

?.
?

кривы м и.

соответствует отставание

Р езон ан сн ая

частота

м еньш е

собственн ой , следовательно, в м ом ен т резон ан са
?

рез

?

?
2

. П р и слабом зату хан и и

? рез ? ? 0 ,

и в этом

сл у ч ае п р и р езо н ан се м о ж н о сч и тать отставан и е
п о ф азе

?

рез

?

?
2

.

22

Основные характеристики автоколебаний
Автоколебательные

системе

обеспечивают

поступление энергии от внешнего источника для
компенсации потерь энергии с нужной им самим
периодичностью.

Автоколебательные

системы

принципиально нелинейные и неконсервативные. Эти
особенности

обусловливают

существования
незатухающих
автоколебания
замкнутыми

в

возможность

автоколебательных

колебаний.

На

фазовой

характеризуются
фазовыми

системах
плоскости

асимптотически

траекториями.

Простейшая

автоколебательная система представлена схематически
на рисунке. В стационарном режиме автоколебаний
изменение полной энергии

W

, запасенной в контуре, за

период равно нулю.

23

Основные характеристики автоколебаний
В консервативных системах
диссипативных систем

dW
? 0 , поскольку запас колебательной энергии W ? const . В случае
dt

dW
?? F ? t ? ? 0 , где F ? t ? - функция диссипации, которая характеризует
dt

мощность потерь в системе. Если написать уравнение, описывающее поведение колеблющегося
маятника с линейным затуханием в виде mx&&? rx&? kx ? 0 , то отсюда легко находим изменение полной

энергии колебательной системы
обобщенной записи

d ? mx&2 kx 2 ?
2
&
?
??
rx
.
?
?
dt ? 2
2 ?

Оно равно мощности потерь, или в

dW
?? F ? t ? . В диссипативной системе F ? t ? ? 0 , но в автоколебательном движении
dt

при определенных значениях амплитуды и скорости в некоторые интервалы времени происходит
подкачка энергии, при которой F ? t ? ? 0 . Это осуществляется при активном вмешательстве самой
системы. Такое физическое представление определяет основное уравнение энергетического баланса
T

автоколебательных систем

?F ? t ?dt ? 0 .
0

24

Основные характеристики автоколебаний
В

линейной

и

нелинейной

диссипативных

системах

невозможен автоколебательный процесс, так как в них знак
функции

F ? t ? постоянен.

Для осуществления автоколебательного

процесса необходимо, чтобы в течении периода колебаний
функция диссипации F ? t ? была знакопеременной. При этом в одной
части периода происходит пополнение энергии колебательной
системы, в течение другой части периода- уменьшение энергии.
Тогда можно обеспечить выполнение условия энергетического
баланса

системы,

что

означает

наличие

стационарных

автоколебаний в колебательной системе.

25

Основные характеристики автоколебаний
Автоколебательные системы можно условно разделить на два типа. Если
накопительный элемент 1 представляет собой маятник с малыми потерями и в
системе происходят автоколебания, то эти колебания будут близки к
гармоническим; свойства цепи обратной связи 2 слабо повлияют на форму
колебаний и, в основном, обратная связь служит только для пополнения
колебательной энергии в течение части периода автоколебаний, Если при
автоколебательном движении разорвать обратную связь, то в накопительном
элементе будут наблюдаться затухающие колебания. Такие автоколебательные
системы называются автоколебательными системами осцилляторного типа
(или томсоновские системы). В них потери энергии за период, а следовательно,
и величина добавляемой энергии значительно меньше запаса энергии,
накопленной в основной колебательной системе. Такими системами являются
часы разного вида.

26

Основные характеристики автоколебаний
Если же элемент 1 представляет собой апериодическое устройство, то форма
автоколебаний существенно зависит от свойств обратной связи 2. Если в такой
системе

выполнены

условия

самовозбуждения,

то

форма

генерируемых

колебаний, далека от синусоидальной, а период колебаний связан с временем
релаксации системы. Эти автоколебательные системы принято называть
релаксационными. Релаксационными системами считаются системы, в которых
после разрыва канала, по которому восполняются потери в системе (элемент 2),
колебания в накопителе апериодически затухают независимо от формы этих
колебаний

до

разрыва

цепи

обратной

связи.

В

релаксационных

автоколебательных системах может происходить 100 % обмен энергии
(рассеиваемой на пополняемую) в течение каждого периода автоколебаний.

27

Сравнение разных автоколебаний

?

На рисунке а) показано установление колебаний в системе ( ? ? 0,1 )
томсоновского типа, на нижнем рисунке – в релаксационной системе, а
на среднем рисунке изображен промежуточный случай. Смысл параметра
ясен из дифференциального уравнения, описывающего автоколебания в
безразмерных переменных .

&
x&? ? ? ?1 ? x& ? x&? x ? 0
2

28

Пример автоколебательной системы томсоновского типа.
Рассмотрим часовой механизм с физическим маятником. Маятник часов
насажен на одну ось с изогнутым рычагом – анкером. На концах анкера имеются
выступы, называемые паллетами. Зубчатое ходовое колесо находится под
воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся
повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо
упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной паллеты,
скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда
маятник находится вблизи среднего положения, паллеты перестают преграждать
путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим
своей вершиной по скошенному торцу паллеты. За полный цикл качаний маятника
(за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из паллет
получает по толчку. Посредством этих толчков за счет энергии поднятой гири или
закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая
вследствие трения. Такая система малое затухание и малое вложение энергии за
период колебаний по сравнению с запасом колебательной энергии системы.
Колебания в таких системах почти гармонические.

29

Пример автоколебательной системы – часы
?

Рассмотрим элементарную теорию
часов. Если бы маятник (баланс)
совершал колебания без подталкивания
со стороны заведенной пружины, то
уравнение его движения записывалось
2
x&? 2? x&? ?0 x ? 0
бы в виде &
, а фазовая
траектория имела бы вид постепенно
скручивающейся спирали. Обозначим
через d изменение скорости в момент
прохождения маятника через положение
y ? t ? 0 ? .? В
y ? этом
t ? 0? ? d .
равновесия :
случае
в
стационарном
режиме
колебаний (при двух толчках за период)
предельный цикл на фазовой плоскости
имеет вид, схематически показанный на
рисунке.
30

Расчет часов как автоколебательной системы
Д ля этой автоколебательной систем ы

м ож но определить стационарную

ам п ли ту ду колеб ан и й , и сп ользу я то обстоятельство что у м ен ьш ен и е ам п ли ту д ы
ско ро сти за п ол ови н у п ер и о да в точн о сти ко м п ен си р у ется у вели чен и ем скор ости

x ? 2 ? x& ? ?
н а d в р е з у л ь т а т е о д н о г о т о л ч к а . Р е ш е н и е у р а в н е н и я &&
вид

x ?t ? ? A e

? ?t

s in ?? 0t ? ,

тогда

y ? x& ? A e

? ?t

?c o s ?? t ? ?
0

2
0

x ? 0 им еет

? s in ?? 0 t ?? . П р и

?y ? d

эн ерги я си стем ы возрастает; п ри ?y ? d си стем ы у бы вает; п ри ?y ? d и м еет м есто
стационарны й автоколебательны й реж им , при котором сум м а вклады ваем ой и
рассеиваем ой энергий равна нулю Е сли считать, что толчок происходит при
то

м ож но

?y ? A ? Ae

зап и сать
? ?T / 2

условие

? A ?? 1 ? e

? ?T / 2

баланса

за

половину

периода

t ? 0

колебаний

?? ? d , о т к у д а с р а з у о п р е д е л я е т с я с т а ц и о н а р н а я

?

ам плитуда колебаний A0 ? d / 1 ? e

? ?T /2

?.
31

,

Параметрические колебания и резонанс
?

Существует вид внешнего воздействия, с
помощью которого можно сильно раскачать
систему. Такое воздействия состоит в
совершаемом
в
такт
с
колебаниями
периодическом изменении параметра системы,
связанного с запасенной в ней энергией.
Вследствие этого явление называется
параметрическим резонансом. Рассмотрим для
примера математический маятник - шарик на
нитке. Если периодически изменять среднюю
длину маятника , увеличивая ее в моменты,
когда
маятник
находится
в
крайних
положениях, и уменьшая на в моменты, когда
маятник находится в среднем положении, то
маятник сильно раскачается.
32

Параметрические колебания и резонанс
Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую
совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити

T

при колебаниях

маятника не постоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость
обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника
максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении нити
маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая
при укорачивании нити маятника. В итоге работа внешней силы за период
оказывается больше нуля.
Обозначим среднюю длину маятника l , она увеличивается на
l ? ?l )
2?l

2?l (от l ? ?l

до

в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшается на

в моменты, когда маятник находится в среднем положении. Проделаем расчет

описанного процесса.

33

Параметрические колебания и резонанс
Д ви ж ен и е п о о к р у ж н о сти

о п и сы вается у р авн ен и ем

2

? T ? m g co s?

, гд е

- у го л о ткл о н ен и я н и ти о т вер ти кал и . П о это м у в н и ж н ем п о л о ж ен и и

?
T

m v
l

m a x

?

2

m v

m a x

l

? m g

, а

T

m in

? m g co s ?

m a x

. Е сл и о б о зн ач и ть зап ас эн ер ги и м аятн и ка

то п о зако н у со х р ан ен и я эн ер ги и

E

0

? m g l ?1 ? c o s ?

m a x

??

2

m v

m a x

2

зн ач ен и е н атяж ен и я м о ж н о зап и сать в сл ед у ю щ ем ви д е

E

0

, и экстр ем ал ьн о е
T

m a x

? 3 m g ? 2 T

m in

. П р и

о п у скан и и гр у за за п ер и о д к о л еб ан и й со вер ш ается о тр и ц ател ьн ая р аб о та
си л ы н атяж ен и я

? 2 T

m in

2 ? l

, а п р и п о д ъ ем е – п о л о ж и тел ьн ая

? 2 T

m a x

2 ? l

. О б щ ая

р аб о та вн еш н и х си л со стави т за п ер и о д
? A ? 4 ? l ?T

m a x

? T

m in

??

4 ? l ?3 m g ? 3 T

m in

??

1 2

? l
?m g l ? m g l c o s ?
l

m a x

??

1 2

? l
E 0.
l

34

,

Параметрические колебания и резонанс
Если ввести коэффициент ?, называемый глубиной модуляции парамет
ра
?l
ение потенциальной энергии в контуре за период равняется
?? , то приращ
l

?Eпот ?
12?E0.

Будем считать колебания маятника имею
щ
ими слабое затухание
2

&
&
x
?2?x
??0 x?
0). Вэтомслучаесредняявеличинапотерьэнергиизапериод
(&
1 2 2
?
E
?
rx0 ?T, где x0 –амплитуда колебаний,
гармонических колебанийравна п
2
2
&и м
&
&
так как Fсопр ?rx
гновенная мощ
ность потерь Fсопрx
?
rx
. П
осле проведения
2 E0, где ? - логариф
выкладок получим ?Eп ??
мический декремент затухания.
Возбуждение колебаний будет иметь место, если ?Eп ??A, т.е. при условии что
глубина модуляции параметра ???. Врассмотренномпримере длина маятника
6

изменялась дважды за период возбуждаемых колебаний. О
днако можно
производитьвложениеэнергиизасчетизмененияпараметраодинраз запериод, 2
разаза3периодаивообщ
епривыполненииусловия p?2?, гдеn?
1, 2,..., p? частота
n

изменения параметра, ?? частота возбуждаемых колебаний. Конечно при этом
вложение энергии к колебательнуюсистему за период будет тем меньш
е, чем
больш
еn.

35

Сравнительный анализ резонансов при вынужденных и
параметрических колебаниях
1. Р езон ан с п р и вы н у ж д ен н ы х кол еб ан и ях во зн и кает п ри б л и зости частоты
вн еш н его во зд ей стви я ? к со б ствен н о й ч асто те к о л еб ател ьн о й си стем ы ? 0, н о
вы н у ж д ен н ы е к ол еб ан и я су щ еству ю т п ри л ю б ой ч астоте возд ей стви я ? . П ри
п арам етри ческом резон ан се су щ еству ю т ли ш ь огран и чен н ы е частотн ы е и н тервалы
вб л и зи часто т, п од ч и н яю щ и х ся со отн ош ен и ю ? ? 2? 0 / n , вн у три ко то ры х во зн и каю т
п ар ам етри ч ески возб у ж д ен н ы е кол еб ан и я.
2. Л ю б ая п о вел и чи н е вн еш н яя си л а м ож ет вы звать резон ан с п р и вы н у ж д ен н ы х
кол еб ан и ях. Д ля возн и кн овен и я п ар ам етри ческого р езон ан са в си стем е с п отерям и
вели чи н а воздей стви я д олж н а б ы ть бо льш е н екоторой п ор оговой вели чи н ы .
3 . И з-за с у щ е с т в о в а н и я п о р о го в о го зн а ч е н и я а м п л и т у д ы п а р а м е т р и ч е с к о г о
возд ей стви я в си стем е с п о тер ям и су щ еству ет огр ан и чен н ое чи сл о часто тн ы х
и н тервал ов, вн у три ко то р ы х о су щ ествл яется п ар ам етр и чески й резо н ан с.
4. Д л я л и н ей н ой си стем ы с п отер ям и п ри вы н у ж д ен н ы х кол еб ан и ях р езон ан сн ая
ам п ли туда колебан и й всегда огран и чен а, так как п отери расту т бы стрее влож ен и я
эн ерги и . П ри п арам етри ческом резон ан се си стем е п р ои сходи т н еогран и чен н ы й р ост
ам плитуды , так как что влож ен ие эн ерги и и ее п отери п роп орц ион альн ы квадрату
а м п л и т у д ы и т о л ь к о и з-за н е л и н е й н ы х п р о ц е с с о в п р о и с х о д и т о гр а н и ч е н и е к о л е б а н и й .
К онец лекции.

36






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.