Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 5.

Механические гармонические колебания
(часть 1)

3

Основные определения
Колебаниями называются физические процессы, отличающиеся той или
иной степенью повторяемости.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему
различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные
колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободными или собственными называются такие колебания,
которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как
ей былf передана энергия. Примером могут служить колебания маленького
шарика, подвешенного на нити (математический маятник). Для того чтобы
вызвать колебания, нужно передать ему энергию: кинетическую - толкнуть
шарик, либо потенциальную - отведя в сторону, отпустить его.

4

Основные определения
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых
колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически
изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие
при прохождении по нему людей, шагающих в ногу,
Автоколебания сопровождаются воздействием на колеблющуюся
систему некоторого постороннего источника внешней энергии, однако
моменты времени, когда осуществляются эти воздействия и величина
порции получаемой энергии задаются самой колеблющейся системой система

сама

характеристики

управляет
своих

внешним

колебаний.

воздействием
Примером

и

определяет

автоколебательной

системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет
энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки
происходят в моменты прохождения маятника через положение
равновесия.

5

Основные определения
Параметрические колебания возникают в тех случаях, когда за счет
внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо
энергетического параметра системы, например, длины нити, к которой
привязан груз маятника.

6

Основные определения

П ростей ш и м и являю тся гарм онические колебания,
т. е. таки е колебан и я, п ри которы х зави си м ость
колеблю щ ейся

величина

(н а п р и м е р ,

отклонения

м а я т н и к а x ?t ? ) о т в р е м е н и о п и с ы в а е т с я г а р м о н и ч е с к о й
ф у н к ц и е й (с и н у с и л и к о с и н у с )

x ?t ? ? A c o s ?? t ? ?

?.
7

Основные определения
Гармонические колебания особенно важны по

следующим двум причинам:
1) колебания в природе и в технике часто имеют
очень близкий характер к гармоническим. Такие
колебания возникают при любом малом отклонении
системы от положения устойчивого равновесия, как это
будет показано далее.
2) периодические процессы иной формы (с другой
зависимостью от времени) могут быть представлены
как наложение нескольких гармонических колебаний.
8

Основные определения
Д
и
ф
ф
е
р
е
н
ц
и
р
у
я
з
а
в
и
с
и
м
о
с
т
ьx
о
в
р
е
м
е
н
и
в
с
л
у
ч
а
е
г
а
р
м
о
н
и
ч
е
с
к
и
х
? t? п
2
&
&
?
?A
?
s
in
t?
?
x
?
?A
?
c
o
s
t?
?
к
о
л
е
б
а
н
и
й
, п
о
л
у
ч
и
мx

.
??
?, &
??
?, т

г
а
р
м
о
н
и
ч
е
с
к
и
е
к
о
л
е
б
а
н
и
я
о
п
и
с
ы
в
а
ю
т
с
я
д
и
ф
ф
е
р
е
н
ц
и
а
л
ь
н
ы
м
у
р
а
в
н
е
н
и
е
м

&
&
x
?
??
x0
.
A
c
o
s
t?
?
? t? ?
??
? ,гдеA
О
б
щ
е
е
р
е
ш
е
н
и
е
у
р
а
в
н
е
н
и
яи
м
е
е
тв
и
дx
2

и
р
о
и
з
в
о
л
ь
н
ы
е
п
о
с
т
о
я
н
н
ы
е

а
в
и
с
я
щ
и
е
о
т
н
а
ч
а
л
ь
н
ы
х
у
с
л
о
в
и
й
.
?-п

9

Основные определения в теории колебаний
Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия
называется

амплитудой

колебания.

Амплитуда

a-

постоянная

положительная величина. Ее значение определяется первоначальным
отклонением или толчком, которыми система была выведена из положения
равновесия. Величина ? ?0t ?? ? , стоящая под знаком косинуса, называется
фазой колебания. Постоянная ? представляет собой значение фазы в
момент времени t ?0 и называется начальной фазой колебания. Значение
начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени.

10

Основные определения
П р о м еж уто к в р ем ен и Т н азы вается п е р и о д о м

к о л е б а н и я ..Ч и с л о

к о л еб ан и й в ед и н и ц у вр ем ен и н азы вается ча ст о т о й колебан и я ? . Ч астота
?

свя зан а

с

п родолж и тельн ости

о д н ого

колебан и я

Т

следую щ им

с о о т н о ш е н и е м : ? ? 1 / T .З а е д и н и ц у ч а с т о т ы п р и н и м а е т с я ч а с т о т а т а к о г о
к о л еб ан и я , п ер и о д к о т о р о го р а в е н 1 с . Э т у е д и н и ц у н а зы в а ю т г е р ц е м (Г ц ).
И з (7 .3 ) с л е д у е т , ч т о ? 0 ? 2 ? / T . В е л и ч и н у ? 0 н а зы в а ю т к р у г о в о й и л и
циклической

част от ой.

О на

связан а

с

обы чной

частотой

с о о т н о ш е н и е м ? 0 ? 2 ? ? , а с периодом - T ? 2 ? / ? 0

11

?

Связь кинематических величин при колебаниях
В ы раж ение

для

скорости

v ? t ? ? x& ? ? A ? 0 s i n ? ? 0 t ? ? ? ? A ? 0 c o s ? ? 0 t ? ? ? ? / 2 ? .

им еет

вид
С корость

и зм ен яется п о гар м о н и ч еско м у закон у, п ри чем ам п ли туд а ско рости
равн а A ? 0 . В и дн о, ч то скорость оп ер еж ает см ещ ен и е п о ф азе н а

? /2

П родиф ф еренцировав скорость п о врем ен и , н ай дем вы раж ен и е для
ускорения:
a ? t ? ? v& ? ? A ? 02 c o s ? ? 0 t ? ? ? ? A ? 02 c o s ? ? 0 t ? ? ? ? ? ? ? ? 20 x ? t ? .

П ри гарм он и ческих колебани ях ускорен ие и см ещ ение находятся в
п р о ти во ф азе. Г арм он и чески е колеб ан и я – это д ви ж ен и е с п ерем ен н ы м
у с к о р е н и е м , з а в и с и м о с т ь к о т о р о г о о т в р е м е н и и м е е т в и д a ? t ? ? ? ? 02 x ? t ? .

12

.

Связь кинематических величин при колебаниях

13

Гармонический осциллятор
Р ассм отри м м ехан и ческую систем у, полож ени е которой м ож ет
б ы ть зад ан о с п о м о щ ью од н ой вели чи н ы , ко тор ую о б о зн ач и м ч ер ез x.
В ели чи ной x, определяю щ ей полож ен ие си стем ы , м ож ет бы ть угол,
отсчиты ваем ы й

от

н еко то рой

п ло ско сти ,

или

расстоян ие,

о т с ч и т ы в а е м о е в д о л ь з а д а н н о й к р и в о й (в ч а с т н о с т и п р я м о й ) л и н и и и т .
п . П отенциальн ая энергия такой си стем ы будет ф ун кц ией одной
п е р е м е н н о й U = U (x ). Д о п у с т и м , ч т о с и с т е м а о б л а д а е т п о л о ж е н и е м
у с т о й ч и в о г о р а в н о в е с и я , т о гд а в ы б е р е м з а н а ч а л о о т с ч е т а к о о р д и н а т ы
x и п о т е н ц и а л ь н о й э н е р ги и U п о л о ж е н и е р а в н о в е с и я , т о г д а U ? 0 ? ? 0 .
Т акая си стем а н азы вается гар м о ни чески м о сц и ллят о ро м .

14

Гармонический осциллятор
Р азл о ж и м ф у н к ц и ю U (x) в р яд М ак л о р ен а п о степ ен ям , в это м
случае
1
U ? x ? ? U ? 0 ? ? U ?? 0 ? x ? U ??? 0 ? x 2 .
2
П о с к о л ь к у U (x ) п р и x ? 0 и м е е т м и н и м у м , т о U ' (0 ) р а в н а н у л ю , а U " (0 )
п о ло ж и тельн а. К р о м е то го , п о усло ви ю U ?0 ? ? 0 . В вед ем о бо зн ач ен и е:
U ??? 0 ? ? k , ? k ? 0 ? , т о г д а U ( x ) = k x 2 /2 . Э т о с о о т в е т с т в у е т в ы р а ж е н и ю д л я
п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и и д е ф о р м и р о в а н н о й п р у ж и н ы . И с п о л ь з у я с в я зь
м еж д у п о тен ц и ал ьн о й эн ер ги ей и си ло й , н ай д ем си лу: F x ? ? k x . С и л у
т а к о г о в и д а , н е з а в и с и м о о т е е п р и р о д ы , н а зы в а ю т к в а з и у п р у г о й .

15

Гармонический осциллятор
Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия
гармонического колебания остается постоянной. В процессе колебаний дважды за
период колебаний происходит превращение кинетической энергии в
потенциальную и обратно. В моменты наибольшего отклонения от положения
равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии,
kA2
которая достигает своего наибольшего значения Umax , E ?Umax ?
П ри
2

прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит
полностью из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего
max
кин

наибольшего значения E

max
кин

E ?E

2
mvmax
mA2?02
?
?
, так как выше было показано,
2
2

что амплитуда скорости равна A?0 .

16

Гармонический осциллятор

2
mx&
mA2?02 2
Кинетическая энергия равна Eкин ? ?
sin ? ?0t ???
2
2

,

а

kx2 kA2 2
потенциальная энергия выражается формулой U ? ? cos ? ?0t ??? .Сложив
2
2
kA2 mA2?20
их, получим формулу для полной энергии: E ?Eкин ?U ? ?
.
2
2
Выражениямдля Eкин и U можно придать вид
?1 1
?
Eкин ?Esin2 ? ?0t ??? ?E? ? cos2? ?0t ??? ?,
?2 2
?
?1 1
?
U ?Ecos2 ? ?0t ??? ?E? ? cos2? ?0t ??? ?,
?2 2
?
гдеE - полная энергия системы. Из этих формул видно, что Eкин и U
изменяются с частотой 2?0, т. е. с частотой, в два раза превышающей частоту
гармоническогоколебания. На рисункесопоставленыграфики для х, Eкин и U.
Среднеезначение Eкин совпадает сосреднимзначениемU и равноЕ/2.

17

Гармонический осциллятор
?

Импульс гармонического осциллятора можно
вычислить по формуле

px ? mvx ? ?mA? sin ? ? 0t ? ? ?

Среднее значение
импульса равно нулю –
колебания происходят
вблизи положения
устойчивого
равновесия.
18

Векторная диаграмма колебаний
?

Сложение нескольких колебаний
одинакового направления значительно
облегчается и становится наглядным, если
изображать колебания графически в виде
векторов на плоскости. Полученная таким
способом схема называется векторной
диаграммой. Возьмем ось, которую
обозначим буквой Х . из точки , взятой на
оси, отложим вектор длины а,
образующий с осью угол а . Если
привести этот вектор во вращение с
угловой скоростью , то проекция конца
вектора будет перемещаться по оси в
пределах от -а до +а, причем координата
этой проекции будет изменяться со
временем по гармоническому закону

.
19

Векторная диаграмма колебаний
?.
x ?t ? ? A c o s ?? 0 t ? ?
С ледовательно,

проекция

конца

вектора

?.
на

ось

будет

соверш ать гарм оническое колебание с ам плитудой , равной
длине вектора, с круговой частотой, равн ой угловой скорости
вращ ения

вектора, и

с

начальной

ф азо й , равн ой

углу,

об разу ем о м у вектором с о сью в н ачал ьн ы й м ом ен т вр ем ен и .
П оэтом у гарм оническое колебание м ож ет бы ть представлено
с

пом ощ ью

вектора, длина

которого

равна

ам плитуде

колебан и я, а н ап равлен и е вектора образует с осью х угол,
равн ы й н ачальн ой ф азе колебан и я.

20

Сложение колебаний одного
направления
?
Р
ассм
отри
мдви
ж
ен
и
е части
ц
ы
, участвую
щ
ей в двух
колебательн
ы
х п
роц
ессах, которы
е п
редставляю
т собой
гарм
он
и
чески
еколебан
и
яоди
н
аковогон
ап
равлен
и
яиравн
ой
частоты

м
ещ
ен
и
е х колеблю
щ
ей
ся части
ц
ыоп
ределяется
сум
м
ойсм
ещ
ен
и
й x1 и x2, которы
е зап
и
ш
утся следую
щ
и
м
образом
:

x1? t? ?
A
os? ?
?
Ac
s? ?
?
1c
0t?
1? ,x
2? t? ?
2 o
0t?
2? .
r

П
редстави
м

r

обаколебан
и
ясп
ом
ощ
ьювекторовA
1иA
2.

21

Сложение колебаний одного
направления
?
?

П острои м п о п рави лам слож ен и я векторов результи рую щ и й векто р
r r r
A ? A1 ? A2 . Л егко ви д еть, что п р оекц и я это го вектор а н а ось х р авн а сум м е
r
п р о ек ц и й слагаем ы х векторов. С л ед о вател ьн о , в ек то р A п р ед ставл яет со б о й
р езул ьти р ую щ ее ко леб ан и е. Э тот векто р вращ ается с то й ж е угл о во й
r
r
ско р о стью ? 0 , как и векто р ы A1 и A2 , так ч то р езульти р ую щ ее д ви ж ен и е б уд ет
гарм он и чески м колеб ан и ем с частотой ? 0 , ам п ли туд ой A и н ачальн ой ф азой
? . И з п остроен и я ви д н о , что п о теорем е коси н усов ам п ли туда и ф аза
определяю тся ф орм улам и
A ?

A 12 ? A 22 ? 2 A 1 A 2 c o s ? ? 2 ? ?

1 ? ,

tg ? ?

A 1 s in ? 1 ? A 2 s in ? 2
.
A1 cos ? 1 ? A2 cos ? 2

22

Биения
Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания
одинакового

направления

мало

отличаются

по

частоте.

Результирующее

движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание
с периодически изменяющейся амплитудой. Такое колебание называется
биениями.

23

Биения

О б озн ач и м ч асто ту од н о го и з колеб ан и й б укво й

? , ч асто ту второго

колебания через ? ? ? ? и п усть ? ?? ? ? . А м плитуды обоих колебан и й будем
п олагать оди наковы м и и равн ы м и a и , чтобы не услож нять без н адобн ости
ф о р м улы , д оп усти м , ч то н ачальн ы е ф азы о б о и х ко леб ан и й р авн ы н улю . Т огд а
уравнения колебаний будут им еть следую щ ий вид:
x 1 ?t ? ? a c o s ? t , x

2

?t ? ?

a c o s ?? ? ? ? ?t .

С клады вая эти вы раж ени я и при м еняя три гоном етри ческую

ф орм улу для

сум м ы косинусов, получим при пренебреж ении во втором м нож ителе членом
? ? / 2

по сравнению

с

?

?? ?
?
x ?t ? ? x 1 ? x 2 ? ? 2 a c o s
t? cos ? t . Г раф ик этой
2 ?
?

ф ун кц и и д ля ? / ? ? ? 10 и зоб раж ен н а ри сун ке

24

Биения
??
?
x ?t ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 a c o s
2
?

?
t? cos ? t .
?

З аклю ч ен н ы й в скоб ки м н о ж и тель и зм ен яется го р азд о м ед лен н ее, ч ем вто ро й
м н о ж и тель. В ви д у усло ви я ? ? ? ? за то врем я, за ко то р ое м н о ж и тель co s ? t
соверш ает несколько п олн ы х колебани й, м н ож и тель, стоящ ий в скобках,
п о ч ти н е и зм ен и тся. Э то д ает н ам о сн о ван и е р ассм атр и вать так о е к о л еб ан и е
к ак гар м о н и ч еск о е с ч астотой ? и ам п ли туд ой , и зм ен яю щ ей ся п о н ек о то р о м у
п ери оди ческом у закон у. Т ак как ам п ли туда п о оп ределен и ю - п олож и тельн ая
вели чи н а, то гр аф и к ам п ли туд ы п о казан н а р и сун ке, а ее ан али ти ческо е
вы раж ение

им еет

вид

A ? 2a cos

??
t . Э то
2

периодическая

ф ункция

с

ч астото й , в 2 р аза п р евы ш аю щ ей ч асто ту вы р аж ен и я, сто ящ его п о д зн ако м
м одуля.

25

Биения
Т аким

образом , ч астота п у льсац и й

ам п ли ту д ы - ее н азы ваю т ч астотой б и ен и й равна

разн ости

частот

склады ваем ы х

колебаний. О тм етим , что м нож итель

2a cos

??
t
2

не только определяет ам плитуду, но и влияет
н а ф азу колебан и я. Э то п роявляется в том ,
что отклонения, соответствую щ ие соседним
м аксим ум ам

ам плитуды ,

им ею т

п роти воп олож н ы е зн аки .
26

Сложение перпендикулярных колебаний

?

Рассмотрим случай колебаний частицы с
двумя степенями свободы. Предположим, что
частица может совершать колебания с
одинаковой частотой как вдоль оси х, так и вдоль
перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить
оба колебания, частица будет двигаться по
некоторой, вообще говоря, криволинейной
траектории, форма которой зависит от разности
фаз обоих колебаний. Выберем начало отсчета
времени так, чтобы начальная фаза первого
колебания была равна нулю.
27

Сложение перпендикулярных колебаний
У равнения

колебаний

зап и ш ем

следую щ им

x ?t ? ? A c o s ? t , y ?t ? ? B c o s ?? t ? ? ? , г д е
колебаний,

A , B ?

?

образом :

- разн ость ф аз обои х

ам плитуды колебаний. Э то вы раж ение представляю т

собой задан н ое в п арам етри ческой ф орм е уравн ен и е траектори и , п о
которой движ ется тело, участвую щ ее в обоих колебаниях. Ч тобы
получить

уравнение

траектории

исклю чить из уравнений
что

cos ? t ?

x
A

.

в

виде

зави си м ости

y ?x

?, н у ж н о

п а р а м е т р t. И з п е р в о г о у р а в н е н и я с л е д у е т ,

С ледовательно,

x
s in ? t ? ? 1 ?
A

2
2

.

В

и тоге

уравнение

траектории м ож но привести к виду
y
B

2
2

x
?
A

2
2

?

2 xy
c o s ? ? s in 2 ?
A B

.

28

Сложение перпендикулярных колебаний
?

На верхнем рисунке
изображен случай с
нулевой разностью фаз,
а на нижнем – со
сдвигом фаз на +90 или
-90 градусов – от знака
разности фаз зависит
направление движения
точки на траектории.

29

Фигуры Лиссажу
Есличастотыперпендикулярныхколебанийнеодинаковы, аихотношениеможнопредставить

?x p
?
ввиде ?
q, гдеpиq–простыечисла, тотраекториярезультирующегодвиженияимеетвид
y
довольносложныхзамкнутыхкривых, которые называют фигурамиЛиссажу. Принебольших pиq
получаемые фигурыимеют достаточнопростойвид. Этикривые заключенывнутрипрямоугольника
с центромв начале координат, у которого стороныпараллельныосям OX и OY и соответственно
равны 2A и 2B. Числа точек касания фигурыЛиссажу прямоугольника, в которыйона вписана, по
оси x - nxи y - ny определяютсоотношениечастотколебаний

?x ny
?
?y nx .
30

Фигуры Лиссажу

31

Маятник
М
а
я
т
н
и
к
о
мн
а
з
ы
в
а
ю
тт
в
е
р
д
о
ет
е
л
о

о
в
е
р
ш
а
ю
щ
е
ек
о
л
е
б
а
н
и
яв
о
к
р
у
г
н
е
п
о
д
в
и
ж
н
о
йт
о
ч
к
ии
л
ио
с
ип
о
дд
е
й
с
т
в
и
е
мс
и
л
ыт
я
ж
е
с
т
и

р
и
н
я
т
ор
а
з
л
и
ч
а
т
ь
м
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
йиф
и
з
и
ч
е
с
к
и
йм
а
я
т
н
и
к
и

р
у
з,к
о
л
е
б
л
ю
щ
и
й
с
ян
ап
р
у
ж
и
н
е

а
к
ж
е
н
а
з
ы
в
а
ю
тп
р
у
ж
и
н
н
ы
м
м
а
я
т
н
и
к
о
м
.
М
а
т
е
м
а
т
и
ч
е
с
к
и
мм
а
я
т
н
и
к
о
мн
а
з
ы
в
а
ю
т и
д
е
а
л
и
з
и
р
о
в
а
н
н
у
юс
и
с
т
е
м
у
,
с
о
с
т
о
я
щ
у
юи
зн
е
в
е
с
о
м
о
г
оин
е
р
а
с
т
я
ж
и
м
о
г
оп
о
д
в
е
с
а

ак
о
т
о
р
о
мз
а
к
р
е
п
л
е
н
а

ч
а
с
т
и
ц
а (м
а
т
е
р
и
а
л
ь
н
а
ят
о
ч
к
а
) во
д
н
о
р
о
д
н
о
мп
о
л
ес
и
лт
я
ж
е
с
т
и

о
р
о
ш
и
м
п
р
и
б
л
и
ж
е
н
и
е
мс
л
у
ж
и
тн
е
б
о
л
ь
ш
о
йт
я
ж
е
л
ы
йш
а
р
и
к
,п
о
д
в
е
ш
е
н
н
ы
йн
ад
л
и
н
н
о
й
т
о
н
к
о
й
н
и
т
и

т
к
л
о
н
е
н
и
ем
а
я
т
н
и
к
ао
тп
о
л
о
ж
е
н
и
яр
а
в
н
о
в
е
с
и
яб
у
д
е
м
х
а
р
а
к
т
е
р
и
з
о
в
а
т
ь
у
г
л
о
м?, о
б
р
а
зо
в
а
н
н
ы
мн
и
т
ь
юсв
е
р
т
и
к
а
л
ь
ю

р
ио
т
к
л
о
н
е
н
и
им
а
я
т
н
и
к
ао
т
r
п
о
л
о
ж
е
н
и
яр
а
в
н
о
в
е
с
и
яв
о
з
н
и
к
а
е
тв
р
а
щ
а
т
е
л
ь
н
ы
йм
о
м
е
н
тс
и
лM

г
оп
р
о
е
к
ц
и
ян
а
о
с
ьм
а
я
т
н
и
к
ар
а
в
н
а?m
g
lsin
?,г
д
еm

а
с
с
а
,аl-д
л
и
н
ам
а
я
т
н
и
к
а

о
м
е
н
тс
и
л
н
а
п
р
а
в
л
е
нт
а
к

т
ос
т
р
е
м
и
т
с
яв
е
р
н
у
т
ьм
а
я
т
н
и
квп
о
л
о
ж
е
н
и
ер
а
в
н
о
в
е
с
и
я

а
н
а
л
о
ги
ч
е
нвэ
т
о
м
о
т
н
о
ш
е
н
и
ик
в
а
зи
у
п
р
у
го
йс
и
л
е
.

32

Математический маятник
З ап и ш ем д ля м аятн и ка ур авн ен и е д и н ам и ки вр ащ ательн ого д ви ж ен и я. О б озн ачи м угловое
ускорение

через

?&& и , п о л у ч и м :

I ?&& ? ? m g l s i n ? . П о с л е д н е е

у р а в н е н и е , т .к . м о м е н т

инерции

м а т е м а т и ч е с к о г о м а я т н и к а р а в е н I ? m l 2 , п р е о б р а з у е м к в и д у ?&& ?

g
s in ? ? 0 . В с л у ч а е м а л ы х к о л е б а н и й
l

м а я т н и к а м о ж н о п о л о ж и т ь s i n ? ? ? . В в е д е м о б о з н а ч е н и е ? 02 ?

g
; и п о л у ч и м у р а в н е н и е : ?&& ? ? 02 ? ? 0 .
l

С л ед о вательн о , п р и м ал ы х к о л еб ан и ях угл о во е о ткл о н ен и е м атем ати ч еско го м аятн и к а и зм ен яется со
в р ем ен ем п о гар м о н и ч еск о м у зако н у.
П р и б о л ь ш и х у г л а х о т к л о н е н и я ? т о ч н о е р е ш е н и е у р а в н е н и я д л я м а т е м а т и ч е с к о г о м а я т н и к а ( 7 .5 0 ) д а е т д л я
п ери ода колебани й следую щ ую ф орм улу:
T ? 2?

l
g

2
? ? 1 ?2
?
? 1 3 ?
2 A
4 A
1
?
s
i
n
?
?
s
i
n
?
.
.
.
? ? ?
?
?
?
2 ? 2 4 ?
2
? ? 2 ?
?

где A - ам п ли туда колеб ан и й , т. е. н аи больш и й угол ? , н а которы й отклон яется м аятн и к и з п олож ен и я
р авн о веси я. У вели ч ен и е п ер и о д а п о ср авн ен и ю со случ аем м алы х ко леб ан и й связан о с ум ен ьш ен и ем
в о зв р а щ а ю щ е г о м о м е н т а , т а к к а к s in ? ? ? .

33

Физический маятник
Физическиммаятникомназывается твердое тело, которое может совершать
колебания в однородном поле сил тяжести вокруг горизонтальной оси, не
проходящейчерезцентрмасс.Обозначивмоментинерциимаятникаотносительно
этой оси буквой I , получаем
Величина?0 ?

mgl
I

mgl
&
&
sin??0.
уравнение колебаний ??
I

будет круговой частотой колебаний,

а период

физического маятника определяется выражением T ??
2

I
. Из
mgl

I
сопоставленияформулполучается, чтоматематическиймаятниксдлинойlпр ?
ml
будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Эту
величину называют приведенной длиной физического маятника. Приведенная
длина физического маятника lпр - это длина такого математического маятника,
периодколебанийкоторогосовпадаетспериодомданногофизическогомаятника.

34

Физический маятник
Точка на прямой, соединяю щ ей точку подвеса с центром м асс, леж ащ ая на
расстоянии приведенной длины от оси вращ ения, называется ц ен т р о м ка ча ни я
физического м аятника (точка О ' на рисунке). Точка подвеса и центр качания
обладаю т свойством взаим озам еняемости: при переносе точки подвеса в центр
качания преж няя точка подвеса становится новы м центром качания. Н а этом свойстве
основано определение ускорения свободного падения с помощ ью оборотного
маят ника. О боротны м назы вается такой физический маятник, у которого имею тся две
параллельные друг другу, закрепленны е вблизи его концов опорны е призмы , за
которы е он мож ет поочередно подвеш иваться. В доль маятника могут перемещ аться
и закрепляться на нем тяж елы е грузы . П еремещ ением грузов добиваю тся того, чтобы
при подвеш ивании маятника за лю бую из призм период колебаний был одинаков. Тогда
расстояние меж ду опорны ми ребрами призм будет равно l п р . Измерив период
колебаний маятника и зная l п р , мож но н ай ти уск о р ен и е сво б од н о го п ад ен и я g по
формуле g ?

4 ? 2 lпр
T2

.

35

Фазовая плоскость
Если ввести переменную y ?mx&, т.е. импульс частицы, то для изучения колебаний
весьма полезным оказывается известный метод рассмотрения поведения исследуемой
системы с помощью фазовой плоскости - плоскости переменных x и y .
Примечание. В других разделах физики, прежде всего в статистической физике, фазовая
плоскость обобщается в фазовое пространство 6N измерений – 3N координат и 3N
соответствующих им импульсов.
Каждому состоянию системы соответствует пара значений x и y , т. е. точка на
фазовой плоскости. Назовем точку, координаты которой однозначно определяют мгновенное
состояние системы, описывающей или изображающей точкой. Очевидно, что при движении,
совершаемом системой, будет происходить изменение величин x и y , а следовательно,
описывающая точка будет перемещаться по кривой, которую принято называть фазовой
траекторией движения. Следует заметить, что по определению величины y ?mx&значения
y ? 0 соответствуют росту x , а y ? 0 - убыванию x . Поэтому движения описывающей точки
по фазовым траекториям всегда происходят в верхней полуплоскости фазовой плоскости в
сторону возрастания x , а в нижней - в сторону убывания x .

36

Фазовая плоскость
На рисунке слева показан фазовый портрет
маятника. При малых колебаниях фазовая траектория
будет эллипсом, уравнение которого можно получить из
закона сохранения энергии.
Незамкнутые траектории соответствуют
вращательному движению маятника. При учете затухания
вместо эллипса получается скручивающаяся спираль.

37

Фазовая плоскость
Вычислим площадь эллипса, соответствующего гармоническому осциллятору, S ??ab ,
где одна из полуосей эллипса a ? A - амплитуда колебаний, другая – максимальный импульс
b ?mvmax . Для пружинного маятника, у которого ? ?

k
получаем S ??Am ? ?A? ?TE , где
m

T ?2 ? / ? - период колебаний, E - полная механическая энергия маятника. Заметим, что

размерность площади фигуры на фазовой плоскости совпадает с постоянной Планка h .
Постоянная Планка определяет связь частоты излучения ? и энергии кванта E ?h? . Это
совпадение не случайно: оказывается, что если представить площадь эллипса как S ?Nh , где
N - целое число, то рассматриваемому случаю N ?? 1 соответствует описание колеблющегося

тела с помощью ньютоновой механики, а при малом N ?1 необходимо использовать законы
квантовой механики.

38






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.