Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 9.

Основы СТО - динамика

3

Интервал между событиями и собственные
параметры частиц
Н ачальны м

элем ентом

кинем атики

в

нью тоновой

м еханике

является элем ентарное перем ещ ение точки, определяем ое тройкой
в е л и ч и н ? d x ,d y ,d z ? , г е о м е т р и ч е с к и е с в о й с т в а к о т о р о г о о б у с л а в л и в а ю т
свойства

последую щ их

звен ьев

логи ческой

цепочки

описания

дви ж ен и я. С во й ства эти заклю чаю тся в то м , что п р и п о во р оте осей
д е к а р т о в о й с и с т е м ы к о о р д и н а т , в е л и ч и н ы ? d x ,d y ,d z ? п е р е х о д я т в н о в у ю
т р о й к у ? d x ?, d y ?, d z ?? п о п р а в и л у п р е о б р а з о в а н и я к о о р д и н а т - к а к п р о е к ц и и
векто ра. Е сли для удо б ства зап и си о бо зн ачи ть
правило

преобразован ия

координат

при

x , y ,z

через

повороте

осей

x1 , x 2 , x 3 ,

то

дается

таблицей, вид которой приведен на следую щ ем слайде.

4

Интервал между событиями и собственные
параметры частиц
x1

x2

x3

x 1?

? 11

? 12

? 13

x 2?

? 21

? 22

? 23

x 3?

? 31

? 32

? 33

гд е ш тр и х ам и о б о зн ач ен ы н о в ы е (п о сл е п о в о р о та о сей ) к о о р д и н аты , а
?

ik

- к о с и н у с ы у гл о в м е ж д у о с я м и к о о р д и н а т: k -й о сь ю н о в о й с и с т ем ы

и k -о й о сь ю стар о й си стем ы , гд е

i, k

?
? 1 ,2 ,3 :

ik

?

?

? c o s x i ?, x k ? .

5

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
Пользуясь таблицей, легко выразить новые значения координат через
старые и наоборот:
x1???11x1 ??12 x2 ??13x3 ,

x1=?11x1' ??21x2 ' ??31x3?

x2? ??21x1 ??22 x2 ??23x3 ,

x2 ??12x1' ??22x2 ' ??32x3'

x3? ??31x1 ??32 x2 ??33x3 , x3 ??13x1???23x2 ' ??33x3? .

Сокращенно эти формулы записываются в виде
3

3

k?
1

k?
1

xi ' ???ik xk , xk ???ik xi ',
или в виде, предложенном Эйнштейном:

xi???ik xk , xk ??ik xi?,

где опущен знак суммы ? и принято следующее соглашение: по индексу,
который повторяется в правой части соотношения, нужно просуммировать,
меняя его от 1 до3.

6

Интервал между событиями и собственные параметры частиц

Т акой ж е зако н п реоб разован и я сохран яется и для п оследу ю щ и х
ки н ем ати чески х звен ьев: для п ерем ещ ен и я, скорости , у скорен и я, си лы ,
к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я и п р ., - д л я л ю б о г о т р е х м е р н о г о в е к т о р а .
Р ассм отрим подробнее логи ческу ю ц епочку поняти й, на осно ве которой
стр ои тся н ью тон ова м ехан и ка. В сам ом н ачале н а осн ове и зм ен ен и я ради у с вектора точки

r
r ? ? x , y ,z ?

вслед за н и м - скорость
r
r dv
a ?
dt

вводится элем ентарное ее перем ещ ение
?
?? d r
v ?
dt

r
d r ? ? d x ,d y ,d z ? ;

r ? dx dy dz ?
v
, , ? , затем у ско рен и е
, т .е . в е к т о р ? ?
d
t
dt dt ?
?

r ? d 2x d 2 y d 2z ?
, т. е. вектор a ? ? 2 , 2 , 2 ? .
? dt dt dt ?

7

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
Н ью тон ова м ехан и ка стро и тся н а и звестн ы х п ред ставл ен и ях о свой ствах
пространства и врем ени. В аж нейш ее из них - инвариантность расстояний
м еж ду точкам и пространства при повороте осей декартовой систем ы ,
разверн у том ви де это рав енство и м еет вид
инвариантность врем ени,

dt ? dt?

d x 2 ? d y 2 ? d z 2 ? d x ?2 ? d y ?2 ? d z ?2 )

d s 2 ? d s ?2 (в

а такж е

(в ы п о л н я е т с я в о в с е х и н е р ц и а л ь н ы х с и с т е м а х

о тс ч е т а ). Э т и и н в а р и а н ты с о х р а н я ю т с я та к ж е и п р и п е р е х о д е о т K ? K ’ к а к п р и
V ?0,

так и при

V ?0,

что означает сохран ение дли н ы трехм ерн ого вектора

перем ещ ения и интервала врем ени м еж ду собы тиям и.
Из

преобразовани й

ком бинированной

Л оренца

следует

п р о ст р а н с тв е н н о -в р ем е н н о й

инвариантность
ф и зи ч еско й

некоторой

величины

при

переходе от инерциальной систем ы отсчета K к равном ерно движ ущ ейся
о т н о с и т е л ь н о н е е с и с т е м е K ’. У п о м я н у т а я в е л и ч и н а н а з ы в а е т с я и н т е р в а л о м
м еж ду двум я собы тиям и .

8

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета K произошли два
события

A? x,y,z,t ?

и

B? x ?dx,y ?dy,z ?dz,t ?dt ? .

Интервалом между этими событиями называется физическая величина
квадрат которой в системе K равен

ds ,

ds2 ?c2dt2 ? dx2 ? dy2 ? dz2 .

В соответствии с этим определением, в системе отсчета K’, которая
движется со скоростью



направлении оси абсцисс, квадрат интервала

между теми же событиями равен

ds?2 ?c2dt?2 ? dx?2 ? dy?2 ? dz?2 .
2

Докажем, что ds

?ds?2 , т. е. численное значение интервала между

двумя любыми событиями одно и то же в системеK?и в системе K.

9

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
dy ? dy?

П оскольку

и

d z ? d z ?,

d x 2 ? c 2 d t 2 ? d x ?2 ? c 2 d t ?2 .
диф ф еренциалов

(о н и

не

не

то

достаточно

В осп о льзуем ся

отличаю тся

от

д оказать

п реобразован и ям и

п рео б разо ван и й

для

равенство
Л оренца

координат,

для

поскольку

п реоб разо ван и я ли н ей н ы е)

dx ?

d x ?? V d t?
1 ?

2

V
c

2

V
dx?
2
c
,
2
V
1 ? 2
c

d t??
, dt ?

и состави м разн ость
2

2

?
?
?
?
V
V
? ?
??
? d t?? 2 d x ??
( d x ?2 ? c 2 d t ?2 ) ( 1 ?
dx ? V dt ?
c
c
? ?
d x 2 ? c 2d t2 ? ?
? c2 ?
2
V
?
?
V 2 ?
V 2 ?
1 ? 2
1 ? 2 ?
? 1 ? 2 ?
?
c
c ?
c
?
?
?

2
2

)

? d x ?2 ? c 2 d t ?2

Э то р авен ство и д о казы вает и н вари ан тн ость и н тер вала.

10

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
И нвариантность

интервала

м еж ду

двум я

собы тиям и



это

м атем атическое вы раж ение постоянства скорости света в лю бой систем е
отсчета.
Е сли d s ? 0 , то и н тервал н азы вается свет оподобны м .
Е сли

интервал

ds

-

мнимый

?d s

2

? 0?,

он

н азы вается

прост ранст венноподобны м .
В ещ ественны й интервал
Д ля

ds

?d s

2

? 0 ? н азы вается врем ени подо бны м .

прост ранст венноподобны х инт ервалов м ож но

всегда

указат ь

т акую сист ем у от счет а, где два собы т ия происходят одноврем енно.
П ричинная связь м еж д у д вум я собы т иям и возм ож на т олько, если
инт ервал м еж ду ним и врем ениподобны й.

11

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
Из инвариантности интервала следует инвариантность еще одной
важной физической величины - собственного времени движущегося
тела. Это понятие дает возможность построения всей цепочки мер
движения (скорости, ускорения и т. д.) в СТО, а значит и построения
всей теории вообще.
Собственным временем частицы называется время, которое
измеряется по часам, связанным с движущейся частицей. Для
пояснения приведем простой пример: время, измеренное по часам
движущегося произвольно космического корабля, - это и есть
собственное время экипажа, находящегося в космическом корабле.

12

Интервал между событиями и собственные параметры частиц
П усть м гновенная скорость частицы

в некоторой И С О

K

есть

r
v ?t ? . В

этой систем е

приращ ения координат и врем ени для частицы равны dx, dy, dz и dt, а в систем е координат, в
которой

частица

в

данны й

м ом ент

покоится,

приращ ения

координат

и

врем ени

суть

в

виде

d x ?? d y ?? d z?? 0 и d t? ? d ? .

И нвариантное

зн ачен и е

d s ? c d t ? d x ? d y ? d z ? c d ? ,о т к у д а
2

2

2

2

2

2

частицы

в систем е K ,

d ? ? dt 1 ?

v2
, где v ?
c2

2

2

dl
? v
dt

квадрата

интервала

представляется

?
dx2 ? dy2 ? dz2
1 ? d
d ? ? dt ?
? d t2 ?1 ? 2 ?
2
?
c
c ? d
?
2

2

- м гновенная скорость частицы

2
l ? ?
? ?,
t ? ??

в систем е

где

dl

-

путь

K . О кончательно

скорость частицы в систем е K . В рем я d ?- это и есть собственное врем я

дви ж ущ ей ся части ц ы . О н о и зм ерен о в си стем е отсчета, в которой части ц а н еп одви ж н а в дан н ы й
м о м е н т (э т а с и с те м а п р и н и м а е т с я и н е р ц и а л ь н о й в те ч е н и е э л е м е н та р н о го п р о м е ж у т к а в р е м е н и ).
В аж ны м свойством собственного врем ени

d ? есть его и н вари ан тн ость п ри п реобразован и ях

Л оренца, что видно из соотнош ения: d ?2 ? ds2 / c2.

13

Интервал между событиями и собственные параметры частиц

По

аналогии

с

собственным

временем

собственными параметрами частицы называют
их значения, измеренные в той системе отсчета,
где тело покоится. К ним относятся, в частности,
собственная длина и собственная масса (масса
покоя). В соответствии с первым постулатом
Эйнштейна эти собственные параметры одинаковы
во всех ИСО.

14

Четырехвекторы СТО
П олная инф орм ация о перем ещ ении точки дается набором

dt, dx , dy , dz

с

у казан и ем врем ен и , за котор ое п рои зош ло и зм ен ен и е коорд и н ат. О дн ако,
у добн ее п ользоваться н абором

вида

c d t ,d x ,d y ,d z

в котором

все четы ре

к о м п о н е н т ы и м е ю т о д и н а к о в у ю р а зм е р н о с т ь (м е т р ы ). И м е н н о т а к о й н а б о р
величин для перем ещ ения прим ем в качестве основного. Е м у соответствую т
" к о о р д и н а т ы " в н а б о р е ?c t , x , y ,z ? . В в е д е м о б о з н а ч е н и я

ct ? a0 , x ? a1, y ? a2 , z ? a3

п ереп и ш ем п рео б разован и я Л орен ц а в эти х об щ и х обозн ачен и ях:

?
a0 ?

V
V
a1
a1 ? a0
?
c
c
, a1 ?
, a2' ? a2, a3' ? a3.
2
2
V
V
1? 2
1? 2
c
c

a0 ?

15

и

Четырехвекторы СТО
В
сяку
ю ч
еты
р
ех
к
о
м
п
о
н
ен
тн
у
ю ф
и
зи
ч
еску
ю вел
и
ч
и
н
у

(a,
0 a,
1 a,
2a
3)

?
со
ставл
яю
щ
и
еко
то
р
о
йп
р
ип
ер
ех
о
д
еK
K
’п
р
ео
б
р
азу
ю
тсяп
оф
о
р
м
у
л
амЛ
о
р
ен
ц
а
б
у
д
емн
азы
ватьчет
ы
р
ехм
ер
н
ы
мвект
о
р
о
м(ч
еты
р
ех
векто
р
о
м

л
исо
кр
ащ
ен
н
о4
вект
о
р
о
м
)иб
у
д
емо
б
о
зн
ач
атьо
д
н
о
йб
у
кво
йскр
ы
ш
ечко
йн
адн
ейвм
естостр
ел
ки
??
a
? a,
0 a,
1 a,
2a
3?

?.
и
л
ип
р
о
стоa

К
вад
р
ат д
л
и
н
ы л
ю
б
о
го 4
-векто
р
а

н
е м
ен
яется п
р
и

??
a
? a,
0 a,
1 a,
2a
3?

п
р
ео
б
р
азо
ван
и
иЛ
о
р
ен
ц
аио
п
р
ед
ел
яетсявы
р
аж
ен
и
ем
2

??
(? a

2

2

2

2

?
? a0? ?? a1? ? ? a2? ? ? a3? .

К
вад
р
ат4
-век
то
р
ам
о
ж
етб
ы
тьп
о
л
о
ж
и
тел
ьн
ы
м

тр
и
ц
ател
ьн
ы
ми
л
ир
авн
ы
мн
у
л
ю
.
С
о
о
тветствен
н
о

4-векто
р
ы

н
азы
ваю
тся

вр
ем
ен
и
п
о
д
о
б
н
ы
м
и
,

п
р
о
ст
р
а
н
ст
вен
н
о
п
о
д
о
б
н
ы
м
иин
улевы
м
и(и
лии
зо
тр
о
п
н
ы
м
и
). К
о
м
п
о
н
ен
ту a0 4
векто
р
ан
азы
ваю
твр
ем
ен
н
о
й
,ао
стал
ьн
ы
е–п
р
о
стр
ан
ствен
н
ы
м
и
.

16

Четырехвекторы СТО
П ри этом п ростран ствен н ы е ком п он ен ты сам и образу ю т, как вы ш е бы ло
у казан о, трехком пон ен тн ы е векторы

r
r ? ? x , y ,z ?

п р е д с т а в и т ь 4 -в е к т о р ы в к о м п а к т н о м в и д е :

и

r
?r ? ? c t , r ?

r
d r ? ? d x ,d y ,d z ? .

Э то п озволяет

r
d r? ? ? c d t , d r ? .

У добство такой

и

зап и си в то м , ч то ср азу ви д н о тр ан сф о р м ац и о н н ы е сво й ства вел и ч и н . С тр ел к а н ад
бу квой озн ачает, что вели чи н а трехком п он ен тн ая, и п ри п овороте осей д екартовы х
координат

эти

пространства.

ком поненты
К ры ш ечка

п р ео б р азу ю тся
над

буквой

как

координаты

п оказы вает,

что

x , y ,z

точки

величина

ч е т ы р е х к о м п о н е н т н а я , и п р и п е р е х о д е K ? K ’ (о т и н е р ц и а л ъ н о й с и с т е м ы K к
д в и ж у щ е й с я с п о с т о я н н о й ск о р о с т ь ю V с и с т е м е K ’) в с е ч е т ы р е к о м п о н е н т ы
п р е о б р а зу ю т с я п о ф о р м у л а м Л о р е н ц а . В в е д е н и е п о н я т и я 4 -в е к т о р а п о зв о л я е т
у д о б н о о п и с ы в а ть в с е п о н я т и я С Т О , а н а л о ги ч н о то м у , к а к о б ы ч н ы е 3 -в е к то р ы в
н ью тон овой м ехан ике п озволяю т зап и сать все закон ы в п ростом и п он ятн ом ви де.

17

Четырехвекторы СТО
П ока
r? ? ? c t , x , y , z

?

в

рассм отрение

и

d r? ? ? c d t , d x , d y , d z

?.

введено

только

П остроим

два

следую щ ий

4 -в е к т о р а :
элем ент

цепочки. Рассм отрим движ ущ ую ся в пространстве частицу
(м а те р и а л ь н у ю

т о ч к у ).

И м еется

универсальны й

нахож дения ком понент лю бы х векторов при переходе

способ
K ? K ?.

Д остаточ н о о бо бщ и ть тр ехм ер н ую ф и зи ческую вели чи н у так,
ч т о б ы о н а в о ш л а в с т р у к т у р у ч е т ы р е х м е р н о й в е л и ч и н ы , т .е . в
с т р у к т у р у 4 -в е к т о р а , п р е о б р а зо в а н и е к о м п о н е н т к о т о р о го н а м
и звестн о: он о соверш ается п о ф ор м улам Л ор ен ц а, то есть с
соблю ден и ем двух п ри н ц и п ов Э й н ш тей н а, как того и требует
СТО.

18

Четырехвекторы СТО
Обобщим вектор скорости. Исходим из того, что сохранить свойства 4-вектора
r

перемещения dr? ?? cdt,dr ? , как того требует СТО, можно только поделив (умножив) его
компоненты на инвариант (величину, численно сохраняющую свое значение при переходе
K ? K ?). Единственным инвариантом, имеющим отношение ко времени, является собственное

время движущейся точки. Если промежутку времени dt соответствует собственное время
движущейся точки d?
отношения

d?r
d?

?
v2
( d? ?dt 1 ? 2
c

), то 4-скорость следует определить, очевидно, в виде

r
dt dr
т. е. как v? ?( c , ) или подробнее
d? d?

v? ?( c

dt dx dy dz
, , , ) После перехода от
d? d? d? d?

собственного времени d? ко времени dt системы отсчета K в компактной записи получаем
?
r
?
c
v
v? ??
,
?
v2
v2
? 1? 2 1? 2
c
c
?

?
?
?.
?
?
?

19

Динамика СТО
Построение релятивистской динамики (т. е. динамики частиц,
движущихся со скоростями, близкими к скорости света) должно
опираться на логические построения, использованные при изложении
ньютоновой механики. Это следует из подтверждений теории опытными
фактами и требования, чтобы при плавном изменении скоростей от
больших до малых происходил непрерывный переход в соответствующих
формулах динамики. Единственным отличием от логического построения
ньютоновой механики, будет исключение из рассмотрения понятия
потенциальных сил и потенциальной энергии, введение которых в
теорию опирается на принцип дальнодействия, непригодный для
релятивистской динамики. Именно поэтому все три закона сохранения,
действующие и в специальной теории относительности, будут
рассмотрены
кратко, с приведением только нескольких простых
примеров. Это связано также и с тем, что при изучении релятивистских
движений практически невозможно отделить собственно механику от
остальных разделов физики. Прежде всего необходимо учитывать связь с
электродинамикой.

20

Релятивистский импульс
Р е л яти ви с тс к а я д и н а м и к а с тр о и тся н а о с н о ве п о с ту л а то в Э й н ш те й н а и
п р е о б р а зо ва н и й

Лоренца,

к о то ры е

м ате м ати ч е ск и

вы раж аю т

в

себе

м е тр и ч е с к и е с во й ства п р о с тр а н с тва и вр е м ен и . Р а с с м о тр и м с п о с о б п о с тр о е н и я
р е л яти ви с тс к о й д и н а м и к и п о а н а л о ги и с п о с тр о е н и е м н ь ю то н о во й д и н а м и к и .
И д е я з а к л ю ч а е т с я в п о с т р о е н и и ц е п о ч к и в з а и м н о с в я за н н ы х в е л и ч и н и
у с та н о в л е н и и за к о н о в за в и с и м о с ти м е ж д у н и м и .
Н ью то н о ва д и н а м и к а н а ч и н а ется с вве д ен и я р яд а к и н е м ати ч ес к и х м ер
д в и ж е н и я ( rr ? р а д и у с - в е к т о р ч а с т и ц ы ,

r
v?

е е с к о р о с т ь и т .п .) , о б р а з у ю щ и х

л о г и ч е с к у ю ц е п о ч к у , в к о т о р о й к а ж д о е с л е д у ю щ е е зв е н о о п р е д е л я е т с я н а
о с н о в е п р е д ы д у щ и х .И с п о л ь з у я п о н я т и е м а с с ы т ( п о с т о я н н о й в о в с е х с и с т е м а х
о тс ч е та

п ар а м етр

ч а с ти ц ы ,

х а р а к те р и зу ю щ и й

mv2
дин ам ически е м еры движ ения:
- импульс,
2
r
r
r
r ?m v - м о м е н т и м п у л ь с а . Н а о с н о ве п о н яти я с и л ы F
r
r r
rr
F dt - и м п у л ьс с и л ы , Fdr - р а бота си л ы , F v - м о щ н ос ть

r
mv

ее

и н е р тн о с т ь ),

вводят

-к и н е ти ч е с к у ю эн е р ги ю ,
вво д ят м е р ы е е д е й с тви я :
силы ,

r r
r ?F

- момент силы .

21

Релятивистский импульс
О п и сан и е м ехан ич еск о го д ви ж ен и я ло ги ч н о п о стр о и ть в ви д е
4 -в е к т о р о в п о л о ж е н и я ч а с т и ц ы

r? ? ? c t , x , y , z ? ,

?
?
r
?
?
c
v
?
v? ? ?
,
.
2
2
?
v
v ?
1? 2 ?
? 1? 2
c
c ?
?

ч еты р ехско р о сти

перем ещ ения

и

d r? ? ? c d t ,d x ,d y ,d z ?

С л е д у ю щ и м э л е м е н т о м (з в е н о м )

б у д е т и м п у л ь с (к о л и ч е с т в о д в и ж е н и я ). В в о д и м и м п у л ь с п о а н а л о г и и с
нью то но во й м еханик о й - как пр о извед ение инвар иантно й м ассы

m0

(м а с с ы п о к о я ), о д и н а к о в о й в и н е р ц и а л ь н ы х с и с т е м а х о т с ч е т а K и K ’,
н а 4 -ск о р о с т ь
велич ина

v? .

И так, ч еты р ехм ер ны м

и м пульсо м н азы вается

?p ? m v? :

?
?
?
p? ? m 0 v? ? ?
?
?
?
?

m 0c
v2
1?
c2

,

?
?
r ?
m 0v
?.
v2 ?
?
1?
2
c ??

22

Релятивистский импульс
?p ? ? p 0 , pr

С окращ ен н о п и ш ем четы рехи м п ульс

? , где п ростран ствен н ая и

в р е м е н н а я к о м п о н е н ты 4 -и м п у л ь с а и м е ю т в и д
r
m 0v

r
p ?

Здесь

r
p ?

r
v2
1 ?
c2

m 0c

p0 ?

v
1 ?
c

2

.

2

та к н а зы в а е м ы й р е ля т и ви с т с к и й 3 -и м п у ль с . В с л у ч а е , к о гд а в те о р и ю

н е вводи тся п он яти е четы рехм ерн ого
п росто

,

реляти ви стски м

инвариант

2

p0 ? p

2
x

? p

2
y

? p

и м п у л ьса, то и м ен н о его н азы ваю т

и м п у л ь с о м . О ч е в и д н о , 4 -и м п у л ь с у
2
z

? m

2
0

c

отвечает

его

2

или
r
2
p0 ? p2 ? m

2
0

c2.

К ак ви дн о и з этого равен ства, м асса п окоя
Л орен ц а. П ри н ебольш и х скоростях, когда

m

0

v ?? c

- и н ва р и а н т п р е о б р а зо ва н и й
, он переходит в инвариант

п р е о б р а зо ва н и й Г а л и л е я, к о то р ы й о б ы ч н о и н а зы ва е тс я п р о с то м а с с о й те л а .

23

Релятивистский импульс
При построении релятивистской динамики возникает важный вопрос:
если при скоростях значительно меньших скорости света (v??c), т. е. в
ньютоновой механике, 3-сила связана с импульсом по второму закону
r d r
F
Ньютона равенством: ? mv, токак следуетобобщить ее понятиена любые
dt

скорости, вплоть до как угодно близких к скорости света? Вся современная
экспериментальная физика подтверждает, что под релятивистской 3-силой
следует понимать величину, являющуюся производной от релятивистского
трехмерногоимпульса
r d
F?
dt

r
mv
.
v2
1?
c2
0

Это равенство обобщает ньютонову трактовку 3-силы. В то же время оно
представляет собой основное уравнение релятивистской динамики частицыв
инерциальнойсистемеотсчетаприлюбыхвозможныхскоростяхменьшихc.

24

Релятивистский импульс
В н ь ю то н о в о й м е х а н и к е о б ы ч н а я тр е х м е р н а я 3 -с и л а о п р е д е л я е тс я к а к
с к о р о с ть и зм е н е н и я во вр е м е н и к о л и ч е с тва д ви ж е н и я, п е р е н о с и м о го н а
д а н н у ю ч а с ти ц у о т о к р у ж а ю щ и х те л и п о л е й (р а ве н с тво

r d r
F ? mv
dt

Н ью то н а

я в л я е тс я за к о н о м д ви ж е н и я и о д н о вр е м е н н о м о ж е т с л у ж и ть с вя зь ю и м п у л ь с а
ч а с ти ц ы и с и л ы ). А н а л о г и ч н о п о с ту п и м и в р е л я ти в и с тс к о й м е х а н и к е , н е
за б ы в а я в то ж е в р е м я , ч то д е л и ть (у м н о ж а ть ) с л е д у е т то л ь к о н а и н в а р и а н тн ы е
величин ы .
По

о п р е д е л е н и ю , 4 -с и л а

??



это

ск орость

и зм е н е н и я

4 -и м п у л ь с а ,

о ц е н е н н а я в т е ч е н и е с о б с т в е н н о г о в р е м е н и д в и ж у щ е й с я ч а с т и ц ы , т .е .

d P?
?? ?
d?

П о д с та вл я я зн а ч е н и е 4 -и м п у л ь с а , м о ж н о п р е д с та ви ть 4 -с и л у в ви д е
r
d
p
?
?
d
p
d
p
d
p
d
p
d
p
?
?
y
0
x
z
0
?? ? ?
,
,
,
?? ? ?
, ?.
и
л
и
?
? d? d??
? d? d? d? d? ?

25

.

Релятивистский импульс
П о дс та ви в зн а че н и е
p0

и

r
p,

d ? ? dt 1 ? v 2 / c 2

и у чтя явн ы й ви д к ом п о н е н т и м п ул ьс а

п о л уч и м ве ли чи н у ??

r
d
m
c
1
d
m
v
?? ? (
,
).
dt
d
t
v
v
v
v
1?
1?
1?
1?
c
c
c
c
1

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

Та к вы гл яди т 4 -с и л а в с и с те м е K (в к о то р о й вр е м я t, с к о р о с ть

?
v ).

В бо л е е

к о м п а к тн о м ви де .с и л а и м е е т ви д
?? ? (

? ?
F ?v
c 1?

v2

,

c2

?
F
1?

v2
c2

К а к ви ди м , в с тр у к ту р у 4 -с и лы М и н к о вс к о го
тр е х м е р н а я с и л а

? d
F ?
dt

?
mv
v
1?
c
0

2

и е е м о щ н о с ть

)

??

вх о ди т р е л яти ви с тс к а я

? ?
F ?v .

2

26

Релятивистский импульс
П р ео б р азо ван и я Л о р ен ц а д л я ч еты р ех си л ы

- окон чательн ы й вари ан т

ф орм ул им еет вид
V r r
r r
F
?
F ?v
x
r r
2
F ?v ? V F x
c
F ??v ? ?
, F x? ?
,
Vv
Vv
1 ? 2x
1 ? 2x
c
c

F y? ? F

y

V 2
V 2
1? 2
1? 2
c ,F ?? F
c
z
z
Vvx
Vv .
1? 2
1 ? 2x
c
c

С ледовательн о, п ри п ереходе от си стем ы отсчета K к си стем е K ’ п роекц и и 3силы

Fx, Fy, F

случае, когда

z

и зм е н я ю тс я. О н и о с та ю тс я н е и зм е н н ы м и в н е р е л яти ви с тс к о м
v ?? c

. П ервая и з п олучен н ы х ф орм ул оп ределяет м ощ н ость си лы

в с и с те м е K ’, о с та л ь н ы е тр и - п р о е к ц и и с и л ы .

27

Релятивистская энергия
В н ью тон овой м ехан и ке работа си лы равн а п ри ращ ен и ю ки н ети ческой
эн ерги и :

r r
m v
F ?v ? d
2

2

0

H

. В сп ец и альн ой теори и отн оси тельн ости п он яти е си лы

о б о б щ ен о и р аб о ту р ел яти ви стск о й си л ы н у ж н о зан о во вы ч и сл и ть. Н ай д ем
работу реляти ви стской трехм ерн ой си лы

?
F

н а элем ен тарн ом п ерем ещ ен и и

r r
dr ? vdt
r r
d
d A ? F ?v d t ?
dt

Здесь

и сп о л ьзо ван о

учтен о что

r r
d v 2 ? d ?v ?v

r
m 0v
1 ?

правило
? и

v
c

2
2

?
r
?v d t ? d ? m 0 v 2 /
?
?

1 ?

v
c

2
2

?
?
?
d
?
? m 0c
?
?
?
?

диф ф еренцирования

r r
v ?d v ? v d v

2

1 ?

v
c

2
2

?
?
?
?

.

п р о и звед ен и я

ф ункций;

. О бъединяя оба слагаем ы е под одним

ди ф ф ерен ц и алом , окон чательн о п олучаем

?
r r
d A ? F ?d r ? d ? m 0c 2 /
?
?

v
1 ?
c

2
2

?
? .
?
?

28

Релятивистская энергия
r r ? 2
v2 ?
dA?
F?
dr?
d?m
c / 1? 2 ?.
? 0
c?
?
?
Э
торавенствопоказы
вает, чтоработасилыравнаприращ
ениювеличины
v2
m
? 2.П
оэтом
уееследуетистолковатькакполнуюэнергиюдвиж
ущ
ейся
0c / 1
c
2

частицы
:

v2
E?
m
? 2
0c / 1
c
2

Э
та ф
орм
ула Э
йнш
т
ейна, вы
веденная им в 1905 г., в начале прош
лого
столетия вы
зы
вала сом
нение, а позж
е обеспечила полны
й триумф теории
относительности. Ф
орм
ула устанавливает связь м
еж
ду м
ассой покоя и
энергиейчастицы
, двигаю
щ
ейсясоскоростьюv?.

29

Релятивистская энергия
И з ф о р м у л ы Э й н ш т е й н а в ы т е к а е т ,ч т о л ю б о е т е л о в с о с т о я н и и п о к о я о б л а д а е т к о л о с с а л ь н о й
эн ер г и ей , н аз ы в аем о й эн ер ги ей п ок оя : E 0 ? m 0c 2 . Н ап р и м ер , тело м ас с о й т 0 = l к г о б л ад ает эн ер г и ей
9 ?1 0 1 6 Д ж , т . е . о н о о б л а д а е т э н е р г и е й , к о т о р у ю , н а п р и м е р , Г Э С с р е д н е й м о щ н о с т и в ы р а б а т ы в а е т з а 8

л е т , д а в а я в г о д 3 м и л л и а р д а к в т -ч а с о в э н е р г и и .
Д ад и м о п р ед елен и е р еля т и ви ст ск ой к и нет и ч еск ой энер ги и ч ас ти ц ы к ак р аз н о с ти ее п о лн о й
э н е р г и и и э н е р г и и п о к о я : E к и н ? E ? E 0 . О т с ю д а E ? E 0к и?н E

0

? m c 2к и?н E

. Э та ф о р м ула о п р ед еля ет

2
п о л н у ю э н е р г и ю с у м м у д в у х э н е р г и й : э н е р г и и п о к о я (о н а о т н о с и т с я к в н у т р е н н е й э н е р г и и ) m 0 c и

к и н е т и ч е с к о й E кин . Д л я к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и п о л у ч а е т с я с л е д у ю щ а я з а в и с и м о с т ь о т с к о р о с т и

E кин ?

?
?
?
?
2 ? 1
?
m0c ?
? 1? .
v2
?
?
1
?
?
?
2
c
?
?

?
v2 ?
1
?
Е с ли v = c , то м о ж н о р азло ж и ть ко р ен ь в р я д ?
2 ??
?
c
?
?

?1

?1 ?

v2
и п о луч и ть о б ы ч н о е вы р аж ен и е
2c2

д л я к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и , с п р а в е д л и в о е в н ь ю т о н о в о й м е х а н и к е E кин

m 0v 2
?
.
2

30

Связь энергии и импульса
Учитывая значения временной компоненты 4-импульса

p0

и полной

энергииЕ, 4-импульс ?p можнопредставитьввиде
r
?
p?E/c,P .

?

?

Каквидим, в4-импульсеобъединилисьполнаяэнергияЕирелятивистский3r
импульс p
, чтоозначает глубокуювнутренню
юсвязь междурелятивистской
v2
2
/ 1?
энергией E?mc
0
c2

r
mv
r
0
ирелятивистскимимпульсомp? r .П
рипереходе
2
v
1?
c2

изоднойинерциальнойсистемыотсчетавдругуюзначениекаждойизчетырех
компонент4-импульса ?p определяетсяпоформуламЛоренцачерезвсечетыре
компонентывисходнойсистеме K. Н
апример, значение энергиивсистемеK’
определяетсянетолькочерезэнергиювсистемеK, ноичерезвсекомпоненты
r

импульсаP.

31

Связь энергии и импульса
П о л езн ы м и являю тся такж е ф о р м ул ы д ля р еляти ви стско го и м п ульса

r
P

и его

м одуля в виде:

r
r
p ? Ev / c2, p ?

2

E кин
? 2 E кин m 0 .
2
c

О пределим величины , сохран яю щ иеся при переходе из одной си стем ы отсчета в
д р у гу ю , к о то р ы е о б ы ч н о н а зы в а ю тся и н в а р и а н там и . К а к о тм е ч а л о с ь , 4 -и м п у л ь су
r
E
r
?p ? ? p 0 , p ? с о о т в е т с т в у е т и н в а р и а н т p 0 2 ? p 2 ? m 0 c 2 .П о д с т а в л я я з н а ч е н и е p 0 ? , п о л у ч а е м
c

E2 r2
2
?
p
?
m
c
0
.
c2
Э то со отнош ени е м еж ду релятивистской энергией и реляти ви стским им пуль сом
вы полняется как для частицы так и для тела и даж е для слож ной систем ы , так как при
его вы воде ни где н е использовалась неделим ость объекта. К онец.

32






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.