Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебный план семестра
? В 1 неделю - 1 лекция и 1 семинар/1 лабораторная
работа (2 часа)
? Контрольные мероприятия
? по лекциям
- рубежный контроль на 9/10 неделе
? по семинарам
- домашнее задание - 12 неделя
? по лаб. работам - защита после их выполнения
?
Выполнение всех контрольных мероприятий
составляет допуск к ЭКЗАМЕНУ.
?

ПОВТОРНО ОБУЧАЮЩИЕСЯ ДОЛЖНЫ НЕ ПОЗДНЕЕ 22
ФЕВРАЛЯ
ЯВИТЬСЯ К ЗАМ. ЗАВ. КАФЕДРОЙ Беззубову Ю.И. для решения
вопросов, связанных с перезачетом.
?

2

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

3

Лекция 3.

Закон сохранения момента импульса

4

Закон сохранения момента импульса системы части

Трехмерность пространства обуславливает еще один
закон сохранения, связанный с изотропностью
пространства.
?
Этот закон называется закон сохранения импульса
системы частиц.
?
В рамках школьной программы закон не изучают в
силу отсутствия в программе понятия векторного
произведения векторов.
?
В теории относительности его также часто не
рассматривают в вузовской программе по аналогичной
причине - нужно знание студентами тензоров.( В
пособии есть соответствующие выкладки).
?

5

Закон сохранения момента импульса системы части

?

Определение момента импульса частицы А относительно точки О.

6

Закон сохранения момента импульса системы частиц

r r r
L?r?p

? Моментом импульса
частицы А
относительно точки
O (см. рис) называют
вектор , равный
векторному
произведению
векторов
и

r r
r p

7

r
r

Закон сохранения момента импульса системы частиц

r
L

? - это аксиальный вектор. Вектор
? вектор

r r
pи L

,

образуют правую тройку

? векторов. Модуль вектора L равен
? L=r*p*sin a,
? где a - угол между векторами и l=r*sin a l?
плечо вектора относительно точки О (см.
рис.).
?

Единицей измерения момента импульса в
системе СИ служит кг*м*м/с, специального
наименования эта единица не имеет.

8

Закон сохранения момента импульса системы частиц

?

?
Уравнение, описывающее изменение во времени вектора L
?
называется уравнением моментов. Для вывода продифференцируем L
по времени:
?
?
?
dL ? dr ?? ? ? dp ?
?? , p? ? ? r , ? .
dt ? dt ? ? dt ?
r
dr
r
Так как точка O неподвижна, то вектор
равен скорости v частицы,
dt
?
т. е. совпадает по направлению с вектоpом p , поэтому
?
d
r
? ??
?? dt , p?? ?0.

9

Закон сохранения момента импульса системы частиц
r
r
dp
?
?F
По
r 2 закону Ньютона
dt
? где F векторная сумма всех сил,
приложенных
частице.

Следовательно,
dL r r

dt

? r ?F

? Величину, стоящую в правой части,
называют
моментом
силы
относительно точки О (см.
r рис.).
? Обозначив ее буквой M , запишем

r r r
M ? r ?F

?

r
Вектор M является аксиальным. Модуль

? вектора M равен l*F, где l- плечо вектора
относительно точки O . Единица измерения
М в СИ обозначается н*м.

10

Закон сохранения момента импульса системы частиц

?

?

?

Уравнение моментов производная по времени от
момента импульса частицы

r
L

относительно некоторой
неподвижной точки O
выбранной системы
r отсчета
равна моменту M
равнодействующей силы
относительно той же точки
r
O:
dL r

dt

?M

11

Закон сохранения момента импульса системы частиц

Из уравнения моментов, проинтегрировав его по времени,
?
найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t:
? ? t ?
L2 ? L1 ??Mdt.
0

Величину справа импульсом момента силы. В итоге имеем:
приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени
равно импульсу момента силы за это же время.

12

Закон сохранения момента импульса системы частиц

Рассмотрим момент импульса и
момент силы относительно оси Z.
Выберем в ИСО любую
неподвижную ось Z. Относительно
некоторой точки О на оси момент
r
импульса частицы А равен ,Lа момент
r
силы, действующей на частицу, M.

?

Моментом импульса относительно оси
Z называют проекцию на эту ось вектора .
r
Аналогично
вводят
момент
силы
L
относительно
оси.
Их
обозначают
соответственно и
. Далее покажем, что
LZ M Z
их значения не зависят от выбора точки О на
оси Z.

13

Закон сохранения момента импульса системы частиц
?

Если уравнение моментов записать в проекции на ось Z, то
получим
dL
Z

dt

? MZ

? т. е. производная по времени от момента импульса частицы
относительно оси Z равна моменту силы относительно этой оси.
?

. Если момент силы относительно некоторой неподвижной оси
Z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой
оси остается постоянным, но сам вектор L может при этом
меняться.

?

Найдем теперь аналитические выражения для LZ и M Z . Для
этого определим проекций на ось Z векторных произведений

?

r r
r?p

и

r r
.
r ?F

14

Закон сохранения момента импульса системы частиц
?
?
?

Воспользуемся, цилиндрической системой
координат ? ? , ? , z ?, связав с частицей А орты

r r r
e? , e? , ez,

направленные в сторону возрастания
соответствующих координат.

r
радиус-вектор r

В этой системе rкоординат
импульс частицы p записывают так:

и

r
r
r
r ? ? e? ? zez

r
r
r
r
p ? p? e? ? p? e? ? pz ez

? где p ? ,-p
проекции
вектора
? . pz
направления.
?

r
на соответствующие
p

Из векторной алгебры известно, что векторное
r r
произведение r ? p
можно представить
определителем.

15

Закон сохранения момента импульса системы частиц

r
e?

r r r
L?r?p? ?
p?
?

r
e?

r
ez

0
p?

z
pz

О
т
с
ю
д
а
п
о
л
у
ч
а
е
м

т
о
м
о
м
е
н
т
и
м
п
у
л
ь
с
а
ч
а
с
т
и
ц
ы
о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
о

о
с
и
Z
р
а
в
е
н
L
?
?
p

д
е
р
а
с
с
т
о
я
н
и
е
ч
а
с
т
и
ц
ы
о
т
о
с
и
z

.
к
.
?
z
?

?
?
2

L
?
mz

p
?
mv
?
m
??
,п
о
л
у
ч
и
м
д
е?
п
р
о
е
к
ц
и
я
у
г
л
о
в
о
й
z
?
?
z

к
о
р
о
с
т
и
,
с
к
о
т
о
р
о
й
п
о
в
о
р
а
ч
и
в
а
е
т
с
я
р
а
д
и
у
с
в
е
к
т
о
р
ч
а
с
т
и
ц
ы
.

16

Закон сохранения момента импульса системы частиц

m2 н
В
е
л
и
ч
и
н
а Iz??
а
зы
в
а
е
т
с
ям
о
м
е
н
т
о
ми
н
е
р
ц
и
ич
а
с
т
и
ц
ы
о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
оо
с
иZ. Сп
о
м
о
щ
ь
ю
м
о
м
е
н
т
аи
н
е
р
ц
и
ив
ы
р
а
ж
е
н
и
ед
л
я
м
о
м
е
н
т
аи
м
п
у
л
ь
с
а за
п
и
с
ы
в
а
е
т
с
яа
н
а
л
о
ги
ч
н
оп
р
о
е
к
ц
и
ии
м
п
у
л
ь
с
а
L
Iz?
д
л
яс
р
а
в
н
е
н
и
яp
m
v

а
к
ж
еза
п
и
с
ы
в
а
е
т
с
яим
о
м
е
н
т
z?
z (
z?
z)

?
F
с
и
л
ы
о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
оо
с
иz:M
д
еF
р
о
е
к
ц
и
яв
е
к
т
о
р
ас
и
л
ы
z?
?,г
?-п
r
r

ан
а
п
р
а
в
л
е
н
и
е
,за
д
а
в
а
е
м
о
ео
р
т
о
м e.
?

17

Закон сохранения момента импульса системы частиц
Момент импульса rпроизвольной системы частиц - это
векторная сумма LC моментов импульсов ее отдельных
частиц:
N r
r
LC ? ? Li
i ?1

r
r
L
, где C и все векторы Li определены относительно одной

и той же точки O выбранной инерциальной системы
отсчета, N- число частиц в системе.

r
Момент импульса системы LC - величина аддитивная, т.е.

момент импульса системы равен сумме моментов
импульсов ее отдельных частей независимо от того,
взаимодействуют они между собой или нет.
.

18

Закон сохранения момента импульса системы частиц

О пределим
этого

и зм ен ен и е м о м ен та и м п у льса си стем ы . Д ля

П р ои зво дн ая
частицу.

?
dLi
dt

r
dLC
?
dt

и
N

?

по

врем ени:

N

?

i ?1

r
dLi
dt .

равна м ом енту всех сил, действую щ их на

П риравняем

внутренних
Т огда

r
LC

продиф ф еренцируем

r
dLC
?
dt

эту

п рои зво д н у ю

внеш них
r ?
M i ?

i ?1

N

?

i ?1

r
M i.

сил,
Здесь

сум м е
т.

первая

е.
сум м а

i? ю

м ом ентов
? ? ?
M i ? M i.
-

это

сум м арны й м ом ент всех внутренних сил относительно точки O ,
вторая

сум м а

-

сум м арны й

м ом ент

всех

внеш них

сил

относительно той ж е точки O .

19

Закон сохранения момента импульса системы частиц

Суммарный момент всех внутренних сил относительно любой
точки равен нулю. По определению, внутренние силы - это силы
взаимодействия между частицами данной системы. По 3-му закону
Ньютона эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по
направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо.
Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю
и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга,
и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.

20

Закон сохранения момента импульса системы частиц

В результате уравнение моментов для системы частиц
принимает вид

r
dLC r
?M,
dt

r N r
где M ??Mi ? суммарный момент всех внешних сил. Это уравнение
i?
1

формулируется так: производная момента импульса системы по
времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Оба момента,

r
L

и

r
M, здесь определены относительно одной и той же точки O

инерциальной системыотсчета.

21

Закон сохранения момента импульса системы частиц
Из

уравнения

моментов

для

системы

частиц

следует,

что

приращение момента импульса системы за конечный промежуток
времени равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за
соответствующий

промежуток

t
r
r
r
времени LC 2 ? LC 1 ? ?Mdt . .

Моменты

0

r
r
LC и M определены относительно одной и той же точки О выбранной
системы отсчета.

Отсюда вытекает закон сохранения момента
импульса:
момент

в

инерциальной

импульса

замкнутой

остается постоянным, то есть,

системе
системы

отсчета
частиц

не меняется со

временем. Причем это справедливо для момента
импульса,

взятого

относительно

любой

точки

инерциальной системы отсчета.

22

Закон сохранения момента импульса системы частиц

М
омент импульса

??
L может сохраняться для незамкнутых

систем: если относительно некоторой точки Oвыбранной системы
?
0 в течение
отсчета, суммарный момент внешних сил M?
интересующегонаспромежуткавремени, томоментимпульсасистемы
относительноточкиOсохраняетсязаэтовремя.
Внекоторыхслучаяхунезамкнутыхсистемможет сохраняться
?
не сам момент импульса L, а его проекция на некоторую
неподвижнуюось z. Это бывает тогда, когда проекция суммарного
момента Mz всехвнешнихсилнаэтуосьzравнанулю.

23

Система центра масс
П у с ть
то ч к и O , а

?
M

- с у м м а р н ы й м о м е н т с и л о тн о си т ел ьн о

?
M?

- о т н о си те л ь н о то ч к и O ', р ад и у с -в ек т о р

?
r
к о то р о й 0 . Н а й д ем .св я зь м еж д у

?
M

и

?
M ?.

Р ад и у с -

?
F

с в язан ы

r
r?
в е к то р ы ri и ri то ч к и п р и л о ж ен и я си л ы

?
с о о тн о ш е н и е м ri ? ri ? r0 . П о это м у
?

та к

?

?

N
N
r
r r
M ? ? ?? ri , F i ?? ? ?
i ?1

?
?
??
M ? M ?? r0 F ,

? ?

i ?1

гд е

?
M

м о ж н о за п и с а ть

N
r
r
?
? r , F ? ? ? rr , Fr ? ,
? 0 i?
? i i? ?
i ?1
N r
r
F ? ? Fi

или

– р езу л ьти р у ю щ ая

i ?1

всех внеш них сил.

24

Система центра масс

Р а с с м о т р и м С -си с т е м у : с и с т е м у о т с ч е т а , ж е с т к о с в я за н н у ю с
ц ен тром м асс си стем ы частиц и п ерем ещ аю щ ую ся п оступательно п о
о т н о ш е н и ю к и н е р ц и а л ь н ы м с и с т е м а м . В С -с и с т е м е с и с т е м а ч а с ти ц
как ц ело е п окои тся. Э то зн ачи т, ч то сум м а всех си л, вклю чая и си лы
инерции,

? ? ?
F ? F вз ? F инер ? 0 . П о э т о м у

получаем

2

важ ны х

в ы в о д а: 1 ) в С -си с те м е су м м а р н ы й м о м е н т в с ех в н е ш н и х си л , в к л ю ч а я
с и л ы и н е р ц и и , н е за в и с и т о т в ы б о р а то ч к и О . 2 ) в С -с и с т е м е
сум м арн ы й м ом ен т си л и н ерци и отн оси тельно ц ен тра ин ерц ии всегда
равен нулю .

25

Система центра масс

Д о ка за т ельст во 2 вы во да . С и ла и н ер ц и и , д ей ствую щ ая н а
?
?
?
к а ж д у ю ч а с т и ц у с и с т е м ы , F i ? ? m i a 0 , где a 0 - у с к о р е н и е С -с и с т е м ы .
П оэтом у сум м арн ы й м ом ен т всех эти х си л отно си тельн о ц ен тра
и нерции С

r инер N r
?? N r ? r ?
r
M C ? ? ? ri , ? m i a 0 ? ? ? ? ? ? m i ri ? ,a 0 ? .
i ?1
? ?
? ? i ?1
N

о п р е д е л е н и я р а д и у с -в е к т о р а ц е н т р а м а с с
наш ем случае

r
rC ? 0 ,

то и

r инер
M C ?0.

?

r
r
m i r ? m rC

И сходя из

, а так как в

i ?1

26

Система центра масс

3
йв
а
ж
н
ы
йв
ы
в
о
д
: вС
с
и
с
т
е
м
ем
о
м
е
н
т
и
м
п
у
л
ь
с
ас
и
с
т
е
м
ы
ч
а
с
т
и
цн
ез
а
в
и
с
и
то
тв
ы
б
о
р
а
т
о
ч
к
и
, о
т
н
о
с
и
т
е
л
ь
н
ок
о
т
о
р
о
йе
г
оо
п
р
е
д
е
л
я
ю
т
.
Э
т
о
т м
о
м
е
н
т б
у
д
е
мн
а
з
ы
в
а
т
ь с
о
б
с
т
в
е
н
н
ы
м

?
м
о
м
е
н
т
о
м
и
м
п
у
л
ь
с
а
с
и
с
т
е
м
ы
и
о
б
о
з
н
а
ч
а
т
ьL
.
C
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о

д
а
л
е
е
.

27

Система центра масс
П ри

п ерен осе точки определени я м ом ен тов и м п ульсов н а
?
р а с с т о я н и е r0 н о в ы е р а д и у с -в е к т о р ы ч а с т и ц о п р е д е л я ю т с я ч е р е з с т а р ы е
ф орм улой
относи тельно

? ?? ?
ri ? ri ? r0 .

П оэтом у

точки

O

N
N
r
r r
r r
L ? ? ? ri , p i ? ? ? ? ri ?, p i ? ?
i ?1

им пульса

r
r
L ? L??

i ?1

си стем s

r r
?? r0 , Pc ?? ,

N

?

м ом ент
можно

v r
? r0 , p i ? .

им пульса

систем ы

п редстави ть
О б о зн ач и м

так:

?
L ?-м о м е н т

i ?1

отн оси тельн о

точки

О `,

тогда

N
r
r
P
?
p
а
? i - полны й им пульс систем ы .
c
i ?1

r
О т с ю д а с л е д у е т , ч т о е с л и п о л н ы й и м п у л ь с с и с т е м ы Pc ? 0 , т о е е

м о м е н т и м п у л ь с а н е з а в и с и т о т в ы б о р а т о ч к и O .,а э т и м к а к р а з и
о т л и ч а е т с я С -с и с т е м а .

28

Система центра масс
У стан ови м

? ?
L и LC . П усть

связь м еж д у

L

?

- м ом ен т и м п ульса

си стем ы

ч а с т и ц о тн о с и т е л ь н о то ч к и O К -с и с т е м ы о тс ч е т а . Т а к к а к
?
с о б с т в е н н ы й м о м е н т и м п у л ь с а L в C -с и с т е м е н е за в и си т о т в ы б о р а
т о ч к и О ', в о з ь м е м т о ч к у O ? с о в п а д а ю щ е й в д а н н ы й м о м е н т с т о ч к о й О
К -с и с т е м ы . Т о гд а р а д и у с -в е к то р ы к а ж д о й ч а с ти ц ы в о б е и х с и с т е м а х
r

r

о т с ч е т а б у д у т о д и н а к о в ы в э т о т м о м е н т ( r i? ? r i ) . С к о р о с т и
связан ы

ф орм улой

?
? ? ?
vi ? vi ? V C

,

где

V

?
C

-

скорость

части ц

C -с и с т е м ы

о тн о с и те л ь н о К -си с тем ы . П о это м у м о ж н о за п и с а ть :

r

L ?

?

N

i?1

r r
m i ?riv i ? ?

?

N

i?1

r r ??
?
m i riv i ?
?
?

?

N

i?1

r r
m i ?? r i V C ??

.

29

Система центра масс

П ер в ая су м м а в п р аво й ч асти это го р авен ства со б ствен н ы й

м о м ен т

п р ед став и м к ак

? ?
M ?? rC V C ?? ,

и м п у л ь са
или

?
LC

? rC p C ? ,

. В то р у ю
гд е

?

M ?

су м м у

м асса всей

си стем ы , r? - р ад и у с-век то р ее ц ен тр а м асс в К -си стем е,
C

?
pC

- су м м ар н ы й и м п у л ьс си стем ы . В р езу л ьтате п о л у ч и м
?
r r
r r
L ? L C ? ? rC , p C ? , т. е. м о м ен т и м п у л ьса L си стем ы
ч асти ц

ск л ад ы в ается и з ее
?
и м п у л ьса L C и м о м ен та

со б ствен н о го

м о м ен та

? r? p? ? , о б у сл о вл ен н о го
C

C

д ви ж ен и ем си стем ы ч асти ц к ак ц ел о го .
30

Система центра масс
?
?
dLC
? M C , гд е
Р а с с м о тр и м у р а в н е н и е м о м ен то в в С -с и с те м е .
dt

?
M C

- с у м м а р н ы й м о м ен т вн е ш н и х с и л в С -с и с тем е . Т ак к а к С -с и сте м а в
?
об щ ем случае н еин ерци альн ая, то в M C входи т пом и м о м ом ен тов
внеш них

ин ер ц и и . С др угой
?
с т о р о н ы , р а н е е б ы л о п о к а за н о , ч то м о м е н т с и л M C в С -с и с т е м е н е
зави си т

сил

от

взаи м одей ствия

вы бора

точки,

и

м ом ен т

отн оси тельн о

сил

которой

его

определяю т.

О б ы чн о в кач естве тако й точ ки б ерут точ ку С - ц ен тр м асс си стем ы .
Ц елесо обр азн ость вы б ора и м ен н о это й точ ки в то м , ч то о тн оси тельн о
ее сум м арны й

м ом ент сил

и н ерции

равен

н улю , п оэтом у следует

уч и ты вать то лько сум м арн ы й м ом ен т вн еш н и х си л взаи м од ей стви я
?
M

вз

. И так,

?
?
dLС
?M
dt

вз

, т. е. п р о и зво дн ая п о вр ем ен и о т соб ствен н о го

м ом ен та им п ульса си стем ы равн а сум м ар ном у м ом ен ту всех вн еш ни х
си л взаи м од ей стви я о тн о си тельн о ц ен тр а и н ер ц и и д ан н о й си стем ы .

31

Вращение твердого тела вокруг неподвижно оси
Движение твердого тела в общем случае определяется двумя
векторными уравнениями: уравнением движения центра масс и
уравнением моментов в С-системе

?
?
?
dVC
dLC ?
m
?F;
?Mвз.
dt
dt

Приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида
самих уравнений. Если перенести силывдоль направления их действия,
?
то ясно, что не изменятся ни их результирующая F, ни их суммарный
?
момент Mвз . При этом уравнения тоже не изменятся, а следовательно
не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения
внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил –
удобный приемрешения задач, которымпостоянно пользуются.

32

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
? Рассмотрим теперь понятие равнодействующей силы.
Когда суммарный момент всех внешних сил
оказывается rперпендикулярным
результирующей силе,
r
т. е.
, Mвсе
внешние силы могут быть сведены к
ВЗ ? F
r
одной силе
, действующей
вдоль определенной
F
прямой. Если относительно точки О суммарный
r
r
момент
, то всегда
M ВЗможно
? F найти такой вектор
r
r
r
, что при заданных
и
r0 ? M ВЗ
M ВЗ
r r
r
r
? F M ? r? ? F . При этом выбор
неоднозначен,
ВЗ
0
r
т.к. прибавление к нему любого вектора r0 ,
параллельного Fr , не изменит последнего равенства.
Это означает, что данное равенство определяет не
точку приложения силы , а линию ее действия. Зная
модули M и F соответствующих векторов, можно
найти плечо силы l. Поэтому систему сил,
действующих на отдельные точки твердого тела,
можно заменить одной равнодействующей силой,
которая равна результирующей и создает момент,
равный суммарному моменту всех внешних сил.

33

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Рассмотрим вращ ение твердого тела вокруг неподвижной оси . и
найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно
N

оси OO' :

Lz ? ?
i ?1

? N
2?
L zi ? ? ? m i ri ? ? z ,
? i ?1
?

где

mi и

ri

2

- масса и

квадрат расстояния от оси вращ ения i ? й частицы твердого тела, ? я его угловая скорость. Обозначив величину, стоящ ую в круглых
скобках, через I, получим

L z ? I ? z , где I -

момент инерции твердого

тела относительно оси OO':. М омент инерции твердого тела вычисляют
по формуле

?
I ? ?r 2 dm ? ?? ? r ? r 2 dV

, где dm и dV - масса и

объем элемента тела, находящ егося на расстоянии r 2 от интересующ ей
?
нас оси z, ? ? r ? - плотность тела в данной точке, интегрирование
проводится по всему объему тела.

34

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
М ом ен ты

инерции

некоторы х

однородны х

тверды х

тел

относи тельно оси , проходящ ей через ц ентр м асс тела:
В и д тверд ого тела

П олож ение оси

Т он ки й стерж ен ь длин ы

П ерпендикулярно

L

стерж н ю

С плош ной цилиндр

С овпадает с осью

радиуса R

цилиндра

Т онкий диск радиуса R

С овпадает с диам етром

М ом ент инерции IC
mL

2

/ 12

mR

2

/2

mR

2

/4

диска
Ш ар радиуса R

П роходит через центр

2 mR

2

/5

ш ара

35

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Н ахож дение
при

м ом ента

и сп ользован и и

Ш т ейнера:

м ом ент

п рои звольн ой

оси

относительно

оси

инерции
т еорем ы

инерции
z

упрощ ается

равен

I

Г ю йгенсаотносительно

м ом енту

параллельной

инерции

данной

и

проходящ ей через центр м асс С тела, плю с
п рои зведен и е м ассы т тела н a квадрат расстоян и я
а м еж ду осям и:

I ? I c ? ma

2

.
36

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Запиш ем

основное

уравнение

динам ики

вращ ения т вердого т ела с н еп од ви ж н ой осью
вращ ения.

О но

получается,

уравнения

d L cz
? M z , если
dt

как

следствие

подставить

в

него

L z ? I? z , и п р о д и ф ф ер ен ц и р о вать п о вр ем ен и ,
тогда

I? z ? M z ,
37

Плоское движение твердого тела

Плоское

движение

твердого

тела

описывают два уравнения,
?
?
m a C ? F ; I C ? z ? M Cz ,
?
где т - масса тела, F - результирующая
всех внешних сил, I С и M Cz - момент
инерции
внешних

и

суммарный
сил

момент

относительно

всех
оси,

проходящей через центр инерции тела.
38

Плоское движение твердого тела
О сь вр ащ ен и я тела, н ап р авлен и е кото ро й в п ро стр ан стве о стается
н е и з м е н н ы м б е з д е й с т в и я н а н е е к а к и х -л и б о с и л и з в н е , н а зы в а ю т
своб о д ной о сью тел а. Д ля л ю б о го тверд о го тела сущ еств ую т тр и
взаи м н о п ерп ен д и к уляр н ы е п роход ящ и е ч ерез ц ен тр и н ер ц и и тел а о си ,
ко то ры е м о гут сл уж и ть сво б од н ы м и о сям и . И х н азы ваю т гла вны м и
осям и

инерции

тела.

Н ахож дение

главны х

осей

инерции

очень

у п р о щ а е т с я д л я т е л , о б л а д а ю щ и х т о й и л и и н о й с и м м е т р и е й , т .к .
п о ло ж ен и е ц ен тра и нерц и и и н ап равлен и е главн ы х о сей и н ерц и и
о б лад аю т в это м случ ае той ж е си м м етр и ей . В аж н о й о со бен н остью
гл авн ы х осей и н ерц и и тела является то о б стоятельство , ч то п ри
?
вр ащ ен ии тела вокруг лю бо й и з ни х м о м ент и м п ульса L тела со вп адает
?
по направлени ю с угловой скоростью ? тела и определяется ф орм улой

r
r
L ? I ?,

гд е

I ?

м ом ен т инерц ии тела отно сительн о дан ной главн ой оси

и н ерц ии .

39


Случайные презентации

Файл
ОТ Л 1-1.ppt
319145.ppt
309875.ppt
Presents.ppt
ISS.pptx




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.