Кафедра физики МГТУ им. Н.Э. Баумана (ФН-4)

http:// fn.bmstu.ru
? 2 СЕМЕСТР
? Часть 1 - Физические основы механики
? Часть 2- Основы молекулярной

физики и термодинамики
? Лектор - Афонин Александр Михайлович
? afonin@mx.bmstu.ru
1

Учебные пособия для 2 семестра

?

Пособия подготовлены преподавателями кафедры физики

2

Лекция 7.

Механические волны

3

Основные характеристики волн
Волнами, в общем случае, называются распространяющиеся в веществе
или поле возмущения состояния этого вещества или поля относительно
некоторого равновесного состояния.

Волновые процессы в упругой среде
Упругость - свойство некоторой протяженной среды восстанавливать
свою форму и объем (твердое тело) или только объем (жидкие и газообразные
тела) после прекращения действия внешних сил или других причин, например,
нагревания, которые вызывали деформацию тела. Тело, обладающее таким
свойством, называется упругим. Количественным законом, выражающим
свойство

упругости,

пропорциональность

служит
между

закон

Гука,

возникающим

устанавливающий
в

среде

прямую

напряжением

и

деформацией.

4

Основные характеристики волн
Простейшей формой закона Гука для деформации растяжения или сжатия в
упругой среде служит его запись в виде
F ? сила,

??E? ,

F
??
? величина не,
где
S

действующая на площадку площадью S , в пределах которой силу можно

считать постоянной,

E?

модуль Юнга характеризующий упругие свойства среды,

?l
? ? ? относительное растяжение (сжатие) среды. Механическая волна - это
l0

процесс распространение колебаний (возмущений) в упругой среде с конечной
скоростью. Волновой процесс - сложная модель движения частиц среды, которые
не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.
Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного
движения и его энергия и импульс. Поэтому основным свойством всех упругих
волн, независимо от их природы является перенос энергии без переноса массы.

5

Основные характеристики волн
Волны – это обычно наиболее быстрый механизм переноса энергии,
позволяющий осуществить в системе переход от неравновесного состояния к
равновесному.

Волновое

движение

позволяет

установить

связь

между

механическими и термодинамическими процессами. В процессе распространения
волн

не

происходит

перемещение

иногда

существенного
возможно

как

перемещения
побочное

вещества,

явление,

хотя

такое

сопровождающее

распространение волны.
При распространении в упругой среде нескольких волн одновременно
колебания частиц среды представляют собой геометрическую сумму колебаний,
которые бы они совершали при движении каждой волны в отдельности. Это
утверждение называется принципом суперпозиции волн. Оно основано на опытных
фактах и справедливо при условии линейности волн, т.е. их достаточно малой
амплитуды. В современной теории волн рассматриваются и нелинейные волновые
процессы, в последнее время нашедшие ряд важных практических применений. Для
нелинейных волн принцип суперпозиции уже неприменим.

6

Основные характеристики волн
В олновы е

процессы

описы ваю тся

уравнениям и, содерж ащ им и

частны е

п рои зводн ы е п о врем ен и и п ро стран ствен н ы м коорди н атам . К олебаниям и, в
отли чи е от волн , н азы ваю т огран и чен н ы е в п ростран стве и п овторяю щ и еся
движ ения

в

окрестности

н екоторого

среднего

полож ения

-

устойчивого

полож ения равновесия. К олебательны е процессы описы ваю т обы кновенны м и
диф ф еренциальны м и уравнениям и.
К ритерием

перехода от колебательного движ ения к волновом у м ож ет

слу ж и ть условие квазист ационарност и : т. е. если х арактерн ы е разм еры си стем ы

L ? ? c ? , где с - скорость расп ростран ен и я возм у щ ен и я,

?

- врем я его зам етн ого

и зм ен ен и я, то п роц ессе м ож н о говори ть как о ко лебательн ом . В слу чае

L ?? c?

процесс нуж но считать волновы м , а систем у - распределенной.

7

Основные характеристики волн
В
н
е
ш
н
и
е т
е
л
а
, в
ы
зы
в
а
ю
щ
и
е в
о
зм
у
щ
е
н
и
е у
п
р
у
го
йс
р
е
д
ын
а
зы
в
а
ю
т
с
я
и
с
т
о
ч
н
и
к
а
м
ив
о
л
н

а
с
п
р
о
с
т
р
а
н
я
я
с
ьо
ти
с
т
о
ч
н
и
к
ав
о
л
н
о
в
о
ед
в
и
ж
е
н
и
ео
х
в
а
т
ы
в
а
е
т
в
с
ен
о
в
ы
еин
о
в
ы
еу
ч
а
с
т
к
иу
п
р
у
го
йс
р
е
д
ы
.
Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
ем
е
с
т
от
о
ч
е
к

ок
о
т
о
р
ы
хкд
а
н
н
о
м
ум
о
м
е
н
т
ув
р
е
м
е
н
иt
д
о
ш
л
ов
о
л
н
о
в
о
ев
о
зм
у
щ
е
н
и
е

а
зы
в
а
е
т
с
яв
о
л
н
о
в
ы
мф
р
о
н
т
о
м
.
Р
а
с
с
т
о
я
н
и
е

о
т
о
р
о
еп
р
о
х
о
д
и
тв
о
л
н
ы
зао
д
и
нп
е
р
и
о
дк
о
л
е
б
а
н
и
йTн
а
зы
в
а
е
т
с
я
д
л
и
н
о
йв
о
л
н
ы?


с
л
ис
к
о
р
о
с
т
ьв
о
л
н
ы
о
б
о
зн
а
ч
и
т
ьc0,т
о??
.
c
T
0

Т
о
ч
к
ис
р
е
д
ы

т
с
т
о
я
щ
и
ед
р
у
го
тд
р
у
ган
а?к
о
л
е
б
л
ю
т
с
яо
д
и
н
а
к
о
в
ы
мо
б
р
а
зо
м
,
т

. со
д
и
н
а
к
о
в
о
йф
а
зо
й
. Г
е
о
м
е
т
р
и
ч
е
с
к
о
ем
е
с
т
от
о
ч
е
к
, к
о
л
е
б
л
ю
щ
и
х
с
яв
о
д
и
н
а
к
о
в
о
йф
а
зе

а
зы
в
а
е
т
с
яв
о
л
н
о
в
о
йп
о
в
е
р
х
н
о
с
т
ь
ю
. Вк
а
ж
д
ы
йм
о
м
е
н
тв
р
е
м
е
н
и
и
м
е
е
т
с
ям
н
о
ж
е
с
т
в
от
а
к
и
хп
о
в
е
р
х
н
о
с
т
е
й
, т
о
гд
ак
а
кф
р
о
н
тв
о
л
н
ы
, т
а
к
ж
е
я
в
л
я
ю
щ
и
й
с
яв
о
л
н
о
в
о
йп
о
в
е
р
х
н
о
с
т
ь
ю

о
л
ь
к
оо
д
и
н
.

8

Основные характеристики волн
Волны можно классифицировать по виду волновой поверхности. Плоскими и
сферическими называются волны, у которых волновой фронт представляет собой,
соответственно, плоскость или сферу. Сферические волны создаются точечным
источником, который равномерно по всем направлением на расстояниях

L???

возбуждает колебания среды. Плоские же волны особенно важны при
рассмотрении волнового движения, так как они играют такую же роль, как и
гармонический осциллятор в теории колебаний.
Важнейшую роль при изучении волн имеют гармонические волны, когда
волновое движение в данной точке может рассматриваться как гармоническое
колебание частиц среды. Пусть частицы в плоскости

f ? 0,t ? ?Acos?t .

Тогда

для

частицы

в

x ?0

колеблются по закону

плоскости

? x?
f ? x,t ? ?Acos?? t - ? , где ? ? x ? время запаздывания волны.
c0
? c0 ?

x

получим

9

Основные характеристики волн
Волновым числом называют величину

2? ?
k? ? .
? c0

Гармоническая волна,

распространяющаяся в направлении оси x и которая может быть представлена в
виде

f ? x,t? ?Acos? ?? ?Acos? ?t ? kx??? ,

называется плоской

гармонической волна.
Начальной фазой волны называют величину

?,

а

2?
?? T

круговой

(циклической) частотой волны. Аргумент называется фазой волны. Если
рассмотреть движение точек среды, где фаза волны постоянна (??const), то
получим

d???dt ? kdx ?0.

Отсюда следует что скорость движения точек с

постоянной фазой, т. е. распространения волны

dx
,
dt

называется фазовой

?
c
?
скоростьюиимеет вид– 0
.
k

10

Основные характеристики волн

Ф ункциональная

зави си м ость

f ? x ,t ? ? A c o s ? ? ? ? A c o s ? ? t ? k x ? ?

?

является

реш ен и ем од н ом ерн ого во лнового уравнения
(д и ф ф е р е н ц и а л ь н о го

уравнения

в частны х

п рои зводн ы х, реш ен и е которого оп и сы вает
т у и л и и н у ю в о л н у ):

?2 f
1 ?2 f
? 2 2 2 ?0
2 2
? x
c0 ? t

. В этом

м ож но убедиться п одстановкой.
11

Вывод волнового уравнения в стержне
Рассмотрим простейший пример вывода
волнового уравнения. для волны в тонком
стержне,

толщина

которого

сравнению с длиной волны
смещение

частиц

?.

мала

по

Обозначим

среды

?

относительно

равновесного положения. Используем при
малых продольных деформациях стержня
закон Гука: ?
(Н/м 2),

E

Заметим,

?E ? ,

где

?-

напряжение
? ???

- модуль Юнга (Па),
что

?,

как

алгебраическая, и знаки
одинаковы:
положительные,
отрицательные.

при
при

и

?,
?

и

?x .

величина
всегда

?

растяжении

-

сжатии

-

12

Вывод волнового уравнения в стержне
Рассм отрим м алы й элем ент стерж ня

?x ?? ?

в м ом ент, когда при прохож дении волны он
оказался, н ап ри м ер, в растян у том состоян и и и
п ри м ен и м к н ем у второй закон Н ью тон а:

? 2?
?? xS 2 ? F
?t
где

?

- плотность

x

?x

? ? x ?? F

м атериала

x

?x ?

стерж ня,

-

S

п лощ адь его поп ер еч н о го сеч ен и я. В д ан н ы й
м ом ент, как видно из рисунка,
F

x

?x ?? 0 .

напряж ения

С оответствую щ ие
?

в

сечениях

F

x

?x

? ? x?? 0

ж е

, a

зн ачен и я
x

и

x ? ?x

полож ительны , так как элем ент растянут.

13

Вывод волнового уравнения в стержне
П раву ю часть у равн ен и я запи ш ем так:
??
?x
?x
, г д е у ч т е н о , ч т о с л е в а Fx и ? и м е ю т р а зн ы е
Fx ? x ? ? x ? ? Fx ? x ? ? S ? ? x ? ? x ? ? S ? ? x ? ? S

зн аки . Т о гд а у р авн ен и е д ви ж ен и я п о сл е
сокращ ения на

?xS

прим ет вид

? 2 ? ??
? 2 ?
?t
?x

. С

у четом закон а Г у ка о к о н ч а тел ьн о п о л у ч и м :
?2?
? 2?
? 2 ? E 2 . В итоге получено волновое
?t
?x

у равн ен и е. Э то п озволяет у тверж дать, что в
стерж не будет распространяться про дольная
волна со скоростью

c : c0 ?

E
?

.

14

Волновое уравнение
В случае трехмерного движения для декартовых координатах волновое
?2 f ?2 f ?2 f 1 ?2 f
уравнение имеет следующий вид 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 2 ?0.
? x ? y ? z c ?t

Это играет в описании волнового движения ту же роль, что и уравнения
d2 f
??2 f ?0. Рассмотрим
гармонического осциллятора в теории колебаний:
2
dt

теперь гармонические волны. Функция

f ? x,y,z,t? ,

волну, может быть представлена в виде

описывающая гармоническую

f ? x,y,z,t? ?A? x,y,z? cos? ?t ??? ,

где A? x,y,z? -

амплитуда волны в данно точке пространства. Гармонические волна также
называют монохроматическими. Для функции
волновое уравнение получим

?A?k A?0,
2

где

A? x,y,z?

?2
k ?2.
c0
2

после подстановки в

Это уравнение называется

уравнениемГельмгольца или приведеннымволновымуравнением.

15

Плоская волна в произвольном случае
Рассм отрим

в

распространяю щ ую ся

трехм ерном
в

пространстве
п р о и зво льн о м

плоскую

волну,

направлении,

r ?
х ар актери зуем ом н екоторы м ед и н и чн ы м векто ро м n , |n | = 1 . В н ей

во зм ущ ен и е f зави си т л и ш ь о т рассто ян и я, о тсч и ты ваем о го вд о ль
?

n ,
f ? f ?? ,t ? , г д е
направления
и
врем ени
t,
т.
е.
rr
r
? ? n r ? n x ? n y ? n z , а r ? р а д и у с -в е к то р . У р а в н е н и е ? ? c o n st
x
y
z
r
является уравнением плоскости, перпендикулярной вектору n .
r
r
В ектор k ? kn , гд е k - во лн овое чи сло. н азы вается во лновы м
r
вект о р о м k . П р овед ем р ассм о тр ен и е п ло ско й вол н ы в и зо тр о п н о й

однородной

среде. Д ля плоской волны распространяю щ ейся в
r
н ап равлен и и векто ра n оп ерато р Л ап ласа п рео б разуется к ви д у ? =
?2
?? 2

и

волновое

уравнение

становится

одном ерны м :

?2 f
1 ?2 f
?
? 0 .
? ? 2 c 02 ? 2 t 2

16

Плоская волна
О
бщ
ее

реш
ение
?

?

?

c0?

волнового

?

?

?

c0?

?
?
:f ?f1? ?? ?f2? ??
? f1?t? ??f2?t? ?, где

f1? ??

уравнения
и

f2? ?
?

им
еет

вид

- произвольны
еф
ункции.

Р
ассм
отримф
ункц
июf1 (?), котораявлю
бойф
икси
рованны
йм
ом
ент врем
ени
им
еет постоянное значение в плоскости, определяем
ой соотнош
ением
rr
слиприувеличенииврем
енинавеличину?
t вектор r? изм
енитсяна
??
nr?
const.Е

величину ?r? так, что аргум
ент ? ф
ункцииf1 останется постоянны
м
, то связь
м
еж
ду?t и?r?будетзаданавы
раж
ением
rr
rr r
nr
?=t- =t+?t-? n
,r??
r?
c0

=const

??
илиc?
t =n
онец вектора r???r? снова леж
ит на плоскости, норм
альнойк
?
r. К

?
?
векторуnиплоскостьперем
ещ
аетсявнаправленииn
нарасстояниеct заврем
я
0

?t, т. е. онадвиж
етсявпространствесоскоростьюс. Т
акимобразом

ункцияf1
rr
?
(t-n
писы
вает плоскуюволну, распространяю
щ
ую
ся в направлении n

r/c0) о

аргум
ентф
ункцииопределяетф
азуволны
.

17

Энергия волны и поток энергии
В

среде,

не

обладаю щ ей

вязкостью ,

эн ерги я

уп ругой

сохран яется. О бозн ачи м объ ем н ую п лотн ость эн ерги и волн ы
где

? E ?

п о л н а я м е х а н и ч е с к а я (с у м м а к и н ет и ч е с к о й

эн ерги я

волн ового

движ ения

сосредоточенная

в

и

м алом

объем е

V

E

? E
r
w ?r ,t ? ?
,
? V

потенциальной)

Р ассм отри м н екоторы й конечн ы й объем уп ругой среды
и м еется волн овое дви ж ен и е. Т огда п олн ая эн ергия

волны

объем е
V

? V

, в котором

, заклю чен н ая в

, м ож ет бы ть п редставлен а как и н теграл от

r
w ?r ,t ?

и

закон

сохран ен и я эн ерги и м ож н о зап и сать в и н тегральн ой ф орм е:
E ?

r
w
r
?
??? , t ? d x d y d z ? c o n s t .
V

18

.

Энергия волны и поток энергии
Изменение количества энергии в объеме

V

(при отсутствии в нем

потерь) возможно тольк за счет притока или оттока энергии через
замкнутую поверхность
описывается величиной

?,

r
S

охватывающую его. Это движение энергии

- вектором плотности потока энергии волны.

В упругой среде этот вектор называется вектор Умова. Его величина
численно

равна

количеству

энергии,

переносимой

волной

единичную площадку, ориентированную перпендикулярно

через
вектору

скорости волны, за единицу времени
S?

?E
.
?? ? ?t

19

Энергия волны и поток энергии
Если записать закон сохранения энергии волны в точке, то
r ?Sx ?Sy ?Sz
r
?w
получится соотношение ?t ?divS ?0, где divS ??x ? ?y ? ?z

Для нахождения явного вида величин
упрощенным

случаем

плоской

w

и

r
S

воспользуемся

продольной

волны,

распространяющейся вдоль оси x:
?? x,t? ?Acos? ?t ? kx ??? .

Рассмотрим такой малый объем упругой среды ?V, что в нем во
всех точках можно считать одинаковыми деформацию

??
??
?x

скорость частиц среды.v ????t

20

и

Энергия волны и поток энергии
В ы деленны й объем обладает кинетической энергией
?E

?m v2 1
? ?? ?
?
? ??V ?
?
2
2
? ?t ?

кин

2

,

а такж е п отенц иальн ой эн ерги ей у пругой деф орм ац и и
?E

Зам еним
c 02 ? E / ?

м одуль Ю нга

пот

E ?2
1
? ?? ?
?
?V ? E?V ?
?
2
2
? ?x ?

с пом ощ ью

E

2

.

соотнош ения для скорости волны

.Т о г д а в ы р а ж е н и е д л я п о л н о й э н е р г и и о б ъ е м а
?E ? ?E

кин

? ?E

пот

?V

прим ет вид

2
2
?
1 ?? ?? ?
2 ? ? ? ?
? ? ??
?
c
0 ?
?
? ??V
2 ?? ?t ?
? ?x ? ?

.

Р аздели в эн ерги ю н а объ ем , в котором он а содерж и тся, п олу чи м п лотн ость
эн ерги и

2
2
?
1 ?? ?? ?
2 ? ? ? ?
w ? ? ??
? ? c0 ?
? ?
2 ?? ?t ?
? ?x ? ?

.

21

Энергия волны и поток энергии
Е сли п одстави ть вм есто п рои звод н ы х и х явн ое вы раж ен и е, то п олу чи м

w ? ? A 2?
В

2

s in

2

??

?.

t ? kx ? ?

каж дой точ ке п ростр ан ства п лотн ость эн ерги и и зм ен яется во врем ен и п о

закон у квадрата си н у са. Т ак как его средн ее зн ачен и е за п ери од равн о
w

средн ее зн ачен и е п лотн ости эн ерги и равн о в каж дой точке среды
Т еп ерь

п олу ч и м

вы раж ен и е

для

вектора

S

r

. П у сть

расп олож ен н у ю п ерп ен ди ку лярн о скорости волн ы
эн ерги я

? W

.

К оли чество

сосредоточ ен о в объ ем е

? V

эн ерги и

? W

,

r
c0

через

м алого ц и ли н дра с осн ован и ем

?

1
? A 2? 2 .
2

п лощ ад ку

, за врем я

п роходящ ее

ср

, то и

1 / 2

? ?

?

? t

п ерен оси тся

через

п лощ адку ,

? ?

?

и вы сотой

c0? t

Т ак как ц и ли н др м алы й , то во всех его точках п лотн ость эн ерги и м ож н о счи тать
од и н аковой и и сп ользовать это в соотн ош ен и и

? W

,

? w ? V ? w ? ? ?c0? t

22

.

Энергия волны и поток энергии
П осле подстановки этого вы раж ен ия в ф орм улу для
зн ачен и я п лотн ости п отока эн ерги и

S ? w c0

S

, получим для

. У чи ты вая связь н ап равлен и я

переноса эн ергии и скорости расп ространени я волн ы , вы раж ени ем для
вектора

r
S

приним ает вид

С реднее

по

п ерен оси м ого
т .е . I

? S

ср

? w

ср

c0 ?

r
r
S ? w c0

врем ени
волной,

1
? A 2? 2c0
2

.
зн ачен и е

н азы вается

плотности

потока

инт енсивност ью

эн ерги и ,
волны

I

.В С И и н т е н с и в н о с т ь в о л н ы и з м е р я е т с я в В т /м 2.

П от о ко м энер ги и ч ерез п ло щ ад ку, п ер п ен д и кулярн ую н ап р авлен и ю
распространения

волн ы , н азы ваю т

количество

эн ерги и , п роходящ ее

через нее в единицу врем ени.

23

,

Энергия волны и поток энергии
Д ля волн ового у равн ен и я в газах, м ож н о легко п олу чи ть вы раж ен и я для
объем ной плотности энергии

w

1
w ?
2

и вектора У м ова

r
S

- они им ею т вид

?
c 02 2 ? r
r
2
2
?
?
?
u
?
?
,
S
?
c
?
u
0
? 0
?
.
?
0
?
?

П о ток эн ерги и от то чечн ого и сто чн и ка, созд аю щ его сф ер и ческу ю вол н у
в сред е б ез п о терь м ехан и ческой эн ерги и н е и зм ен яется, п оэтом у вы р аж ен и е
для сф ери ческой волн ы обы чн о всегда зап и сы ваю т в ви де

f ?r ,t ? ?
В ы деление коэф ф ициента

1
r

A
c o s ?? t ? k r ? ? ? .
r

слу ж и т д ля обесп ечен и я закон а сохран ен и я

энергии в этом случае волнового дви ж ения, так как

w пропорционально f 2 и

1
r

2

.

24

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
Самая простая задача о распространении волн в неоднородной среде это задача о падении плоской монохроматической волны на плоскую
границу раздела двух сред с различными свойствами. При этом возникают
преломленная (прошедшая) и отраженная волны. Задачу об отражении и
преломлении падающей волны рассмотрим в линейном приближении. В
этом случае распространение волн не приводит в изменению свойств
упругой среды и, следовательно, не возникают волны других частот. Все
три волны - падающая, отраженная и преломленная – имеют одинаковые
частоты. Если, например, вторая среда была бы нелинейной, то при
отражении могла бы возникнуть волна с частотой 2?; этот эффект здесь не
рассматривается и все волны имеют одинаковую частоту.

25

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
Пусть граница раздела между двумя однородными
средами совпадает с плоскостью z ?0 декартовой
системы координат. Среды, расположенные сверху

? z ? 0? и снизу ? z ? 0? от границы, характеризуются,
соответственно, модулем Юнга E1 и E2 , а также
плотностью массы ?1 и ?2 . Пусть на эту границу из
первой среды падает плоская волна под углом ?0 к оси z
r

r

(рис. 8.5) с частотой ?и волновым вектором k0 ?k1n0 , где
r
n0 - единичный вектор нормали к фронту падающей
r
волны. Плоскость падения, содержащую вектор k0 и ось

z, совместим с плоскостью xz .
Обозначим волновой вектор отраженной волны
r

r

r

r

r

через k1 ?k1n1 , а преломленной через k2 ?k2n2 , z0 единичный

вектор

нормали

к

границе

раздела,

направленный из среды 2 в среду 1.

26

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
Зап и ш ем

ф орм у лы

создаваем ого

волн ам и

и зб ы точн ого д авлен и я: д ля п ад аю щ ей волн ы
r
r r
p 0 ? ?r , t ? ? A 0 c o s ?? t ? k 1 n 0 r

?,

для отраж ен н ой

r
r r
p 1? ?r , t ? ? A 1 c o s ?? t ? k 1 n 1 r

?,

и п релом лен н ой

r
r r
p 2 ? ?r , t ? ? A 2 c o s ?? t ? k 2 n 2 r

П ри

долж н ы

z ? 0

?.

вы п олн яться

гран и чн ы е

у слови я, сводящ и еся к требован и ю н еп реры вн ости
давлен и я
части ц

и

н орм альн ы х

среды .

ком п он ен т

С ледовательн о,

п ри

скорости
z ? 0

гран и чн ы х у слови й п олу чаем у равн ен и я

p 0? ? p 1? ? p 2? ,

u

? 0

? u

? 1

? u

? 2 .

27

и з

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
П о ск о л ьк у эти со о тн о ш ен и я д о л ж н ы
всех

то ч к ах

п л о ск о сти

z ? 0 ,

и з

н и х

б ы ть вы п о л н ен ы
вы тек ает

во

тр еб о ван и е

о д и н ак о во й зави си м о сти ск о р о стей и д авл ен и й всех тр ех во л н о т
к о о р д и н ат x и y п р и z ? 0 . П о это м у ф азо вы е во л н д о л ж н ы б ы ть
о д и н ак о вы м и :

r r
r r
r r
k 1n 0r ? k 1n 1r ? k 2n 2r
k 1s in ?

З д есь

?

сл ед у ет,

1

0

? k 1s in ? 1 ? k 2s in ? 2 .

- у го л , о тр аж ен и я, ?
ч то

у го л

и л и

- у го л п р ел о м л ен и я . О тсю д а

2

о тр аж ен и я

р авен

у гл у

п ад ен и я

(за к о н

о т р а ж е н и я ):

?1 ? ?

0 ,

а си н у сы у гл о в п р ел о м л ен и я и п ад ен и я связан ы со о тн о ш ен и ем

s in ?

2

/ s in ?

0

? k1 / k

2 .

Э то - за ко н п р ело м лен и я н а гр ан и ц е р азд ел а д ву х ср ед , и л и за ко н
С н елли уса . А н ал о ги ч н ы й зак о н п р ел о м л ен и я п о л у ч ается в о п ти к е.

28

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн
обратимся к системе уравнений p0?? p1??p2?, u?0 ? u?1 ?u?2 . Введем для
упругих волн (например, звуковых) характеристику среды, называемую
импедансом Z ??c0 – это произведение плотности среды ? на скорость
звука

c0 .

Импеданс среды позволяет связать амплитуду скорости частиц

среды и амплитуду давления в волне

p?
m
u? .
Z
Рассмотрим падение волны на границу раздела жидких или газообразных
сред, в которых могут распространяться только продольные волны. В
этом случае расчет весьма прост, поскольку не требуется рассматривать
волны различных поляризаций.

29

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
П
риравнявам
плитудзвуковы
хдавленийпообестороныграницыраздела(так
как граница раздела сред долж
на находиться в равновесии) получим

A
A
лянорм
альны
хком
понентколебательнойскорости(таккаксреда
0 ?A
1?
2. Д
являетсянеразры
вной), вы
раж
енны
хчерезам
плитудыиим
педансыZ1 иZ2 первой
и второй сред, получим

1
1
s?0 ? Ac
s?1? ? A
? Ac
еш
ая эту линейную
0 o
1 o
2. Р
Z1
Z2

систем
у уравнений, получимф
орм
улы
, связы
ваю
щ
ие ам
плитудыотраж
еннойи
прелом
леннойволнысам
плитудойпадаю
щ
ейволны
:
A Z cos?0? Zc
s?2
1 o
r?1 ? 2
,
A
Z2cos?0 ?Zc
s?2
0
1 o

A
2Z2cos?0
??2 ?
.
A
Z
c
o
s
?
?
Zc
o
s
?
0
2
0
1
2

Э
тикоэф
ф
ициентыr и? назы
ваю
ткоэф
ф
ициент
ам
иФ
ренеля.

30

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
Коэффициентом отражения R по интенсивности называется отнош
ение среднего по
времениотраженного от поверхностипотока энергиик падающ
ему потоку. Отраженныйи
падающий потоки определяются средним значением z-компоненты вектора Умова в
2

A
отраженной и падающ
ей волнах. Таким образом, R? 1 2 . Конкретизируем общ
ие
A0

выражения, рассмотрев несколько частных задач.При нормальномпадении ?0 ??1 ??2 ?0 и
дляамплитудныхкоэффициентовотраженияипрохожденияволнполучим
A Z ?Z
r? 1 ? 2 1 ,
A0 Z2 ?Z1

A
2Z
?? 2 ? 2 .
A0 Z2 ?Z1

Пусть отражение происходит от границысред с сильно отличающ
имися свойствами,
например воздух-вода иливоздух-сталь. Вэтомслучае Z1 ??Z2 ииз формул получаемr?
1
или r??1 при обратном направлении распространения волны. Отсюда следует, что
коэффициенты Ф
ренеля действительны, т.е. сдвиг фаз между падающ
ей и отраженной
волнами равен 0 либо ?. При падении на более плотнуюсреду сдвиг фаз при отражении
равен?.

31

Прохождение волн через плоскую границу раздела сред
И з закон а п релом лен и я
k1 ? k2

, т .е . е с л и

падения

?

0

c1 / c2 ? 1

s in ? 2 / s in ? 0 ? k 1 / k 2

, то возм ож н о явление полного от раж ения. К огда у гол

удовлетворяет условию

отсутствует

следует, что при вы полнении условия

прелом ленная

s in ? 0 ? k 2 / k 1 ,

волна.

У гол

?

то

s in ? 2 ? 1

, т .е . в о в т о р о й с р е д е

0

удовлетворяю щ ий

условию

s in ? 0 ? k 2 / k 1 н а зы в а е т с я п р е д е л ь н ы м у гл о м п о л н о г о о т р а ж е н и я . В э т о м с л у ч а е
прелом ленная

волна

представляет

собой

плоскую

неоднородную

волну,

ам плитуда которой эксп онен циальн о убы вает п о м ере углубления во вторую
среду , а ф аза м ен яется вдоль гран и ц ы раздела сред. М ож н о п оказать, что средн яя
плотность потока энергии из п ервой среды во вторую равна нулю . И нтереесно
отм ети ть, что и м ен н о возм ож н остью
переходе из воды

п олн ого отраж ен и я зву ковы х волн п ри

в во зд у и н ево зм о ж н о стью

этого явления при

обратном

р асп р остр ан ен и и зву ка и з во зд у ха в вод у о б ъ ясн яется п р и вы ч ка р ы б о л о во в н е
ш ум еть на ры балке.

32

Интерференция волн и стоячие волны
Рассмотрим случай распространения в среде двух волн.
Волны называются когерентными, если в данной точке среды
колебания, обусловленные отдельными волнами, имеют
разность фаз, не изменяющуюся со временем. При сложении
когетентных волн возникает явление интерференции. Его
суть состоит в том, что в пространстве возникает не
зависящее от времени перераспределение волновой нергии: в
одних точках колебания среды усиливают, а в других –
ослабляют друг друга.

33

Интерференция волн и стоячие волны
В аж ны м частны м случаем интерф еренции является ст оячая
волн а . О н а возн и кает п ри н алож ен и и дву х расп ро стран яю щ и хся
н австречу друг другу с одинаковы м и частотам и и ам п ли тудам и
волн, у которы х противополож ны направления волновы х векторов:
r
r
k1 ? ? k 2 . Т ак о й сл у ч ай во зн и к ает, к о гд а п р о и сх о д и т п о л н о е
отраж ение

эн ерги и

волны

от

п реграды , т. е. коэф ф и ци ент

о тр аж ен и я п о и н тен си вн о сти R ?1 . Н азван и е во л н ы связан о с тем ,
что

составляю щ ие

ее

волны

переносят

равную

эн ерги ю

в

п р о т и в о п о л о ж н ы х н а п р а в л е н и я х , т .е . н е т д в и ж е н и я э н е р г и и в
п ространстве и энергия колеблю щ ихся частиц среды “стои т” н а
м есте.

34

Интерференция волн и стоячие волны
Запиш ем уравнения двух плоских волн, бегу щ их вдоль оси

x

навстречу друг

другу в противополож ны х направлен иях:
? 1 ? x ,t ? ? A c o s ? ? t ? k x ? ? 1 ? , ? 2 ? x ,t ? ? A c o s ? ? t ? k x ? ? 2 ? .

уравнение стоячей волны

? ? ?1 ?
?2 ? ?1 ?
?
?
? ? ?1 ? ? 2 ? 2 A cos ? kx ? 2
? cos ? ? t ?
?
2
2
?
?
?
?

его ан али за вы берем н ачало отсчета
и х разн ость

?2 ? ?1

С лож и в эти уравнения, полу чим

x

и

t

. Д ля упрощ ения

так, чтобы сум м а начальны х ф аз

равнялись нулю . Т огда вы раж ение для

?

?2 ? ?1

и

им еет вид

x?
?
? ? x ,t ? ? 2 A c o s ? 2 ? ? c o s ? t ,
??
?

где и сп ользован о у слови е

k ?

2?
?

. В идно, что в каж дой т очке ст оячей волны

про исход ят ко лебани я т ой ж е ча ст от ы , ч т о и у об ра зовавш их ее вст р ечны х
волн, а ам плит удой служ ит вы раж ение

x?
?
2 A cos ? 2? ? .
??
?

35

Интерференция волн и стоячие волны
У зла м и

ст о я ч ей в о л н ы н азы в аю т ся

т о ч к и , ам п л и т у д а к о л еб а н и й к о т о р ы х р ав н а
0,

а

то ч к и

м ак с и м у м а

ам плитуды

н азы в аю тся п уч но ст я м и . И х к о о р д и н аты
о п р ед ел я ю т с я в ы р аж ен и я м и

1?
?
?
x узл ? ? ? n ? ? ? , x п уч ? ?n , n ? 0 ,1 , 2 ...
2?
2
?
Из

ф орм ул

видно,

ч то

от

у зл а

до

б л и ж ай ш е й п у ч н о ст и р асст о я н и е

? / 4,

м еж д у

м еж д у

у зл ам и ,

так

же

к ак

и

а

п у ч н о ст я м и , сд в и г н а п о л о в и н у д л и н ы
волны

? / 2.

к о л е б ан и й
у зл а м и

П р и п ер ех о д е ч ер ез у зел ф аза
и зм е н я е тся

все

то ч к и

на

?,

у п р у го й

а

м еж д у
с р ед ы

к о л е б л ю т ся в о д н о й ф а зе.

36

Интерференция волн и стоячие волны
Н а

р и су н к е

п о к азан ы

о тк л о н ен и я

то ч ек ср ед ы о т п о л о ж ен и я р ав н о в еси я в
м о м ен ты
д р у га

в р ем ен и , о тд ел ен н ы е д р у г о т
н а

ч етв ер ть

п ер и о д а

П р о д и ф ф ер ен ц и р о в ав
сто яч ей в о л н ы п о

t

T / 4

у р ав н ен и е

, п о л у ч и м в ы р аж ен и е

д л я сто яч ей в о л н ы ск о р о стей ,
v ?x ,t ? ?

? ?
x ?
?
? ? 2 A ? c o s ? 2 ? ? s in ? t ,
? t
? ?
?

а, п р о д и ф ф ер ен ц и р о в ав п о

x

, п о л у ч и м

сто яч у ю в о л н ы д еф о р м ац и й
? ?x ,t ? ?

? ?
2 ?
x ?
?
? ? 2 A
s in ? 2 ? ? c o s ? t .
? x
?
? ?
?

37

.

Интерференция волн и стоячие волны
Н а

рисунке

приведены

см ещ ения, скорости
м ом ентов

врем ени

пучности

0

деф орм ации
и

T / 4 .

волны

см ещ ений

а

и

совпадаю т,
деф орм аций
узлам и

и

узлы

совпадаю т

см ещ ений.

граф ики

и

У злы

волны

пучностям и

Д важ ды

и

скоростей

пучности
с

для

за

и

период

происходит превращ ение энергии стоячей
волны : то полностью в кинетическую E
сосредоточенную
пучностей

в

основном

волны

потенциальную
основном

E

вбли зи

пот

вбли зи

см ещ ения,

то

, сосредоточенную
ее

узлов.

,

кин

В

в
в

итоге

прои сходи т переход энерги и от каж дого
узла к со сед н и м п учн о стям и об ратн о, н о
средний

по

врем ени

поток

энергии

лю бом сечении волны равен нулю .

38

в

Стоячие волны в упругой мембране
Конкретный вид стоячей волны зависит от граничных условий в местах отражения волн. В
качестве примера можно привести картину, которая наблюдается при колебаниях упругих
пластинок или пленок. Если упругую пленку, например тонкий лист металла, натянуть на рамку, то
такая мембрана будет обладать также бесконечным числом возможных стоячих волн. Частоты
возбуждения этих волн зависят от размеров и массы мембраны и ее натяжения. Каждому случаю
соответствуют уже не отдельные узловые точки, как в одномерном случае, а целые узловые линии,
которые при данном возбуждении стоячей волны остаются в покое. Обнаружить узловые линии
колеблющейся пластинки можно следующим образом. Если на металлическую пластинку насыпать
слой мелкого песка и затем возбуждать в ней колебания, проводя по краю пластинки смычком, то
песок будет ссыпаться с колеблющихся частей пластинки и скопляться в узловых линиях.
Полученные таким образом картины распределения узловых линий, так называемые фигуры
Хладни, для некоторых типов колебаний пластинок изображены на рисунке. (Последний слайд.)

39


Случайные презентации

Файл
227531.ppt
FEM_lecture_1.ppt
235966.ppt
Лекция 01р.ppt
236331 (1).ppt




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.