Лекция № 1 оптика

Посмотреть архив целиком
Лекция № 1

1. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ
ТЕОРИЮ СВЕТА

1.1. Волновые процессы.
Продольные и поперечные волны.
При изучении распространения колебаний не учитывается
дискретное
(молекулярное)
строение
среды
и
среда
рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная в
пространстве и обладающая упругими свойствами.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде
называется волновым процессом (или волной).
Основным свойством всех волн является перенос энергии без
переноса вещества.
Упругими волнами называются механические возмущения,
распространяющиеся в упругой среде.

ВОЛНЫ
ПРОДОЛЬНЫЕ

ПОПЕРЕЧНЫЕ

В продольных волнах
частицы среды колеблются
в направлении
распространения волны

В поперечных – в плоскостях,
перпендикулярных
направлению
распространения волны

Продольные волны могут
возбуждаться в средах, в
которых возникают упругие
силы при деформации сжатия
и растяжения, т.е. твердых,
жидких и газообразных телах

Поперечные волны могут
возбуждаться в среде, в
которой возникают упругие
силы при деформации сдвига,
т.е. твердых телах; в
жидкостях и газах возникают
только продольные волны

Геометрическое место точек, до которых доходит
возмущение к моменту времени t, называется фронтом
волны (или волновым фронтом).

Волновой фронт

t

x

Волновой фронт

t

x

Волновая поверхность

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой
фазе, образует поверхность одинаковой фазы, или волновую
поверхность.
Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Если возмущение исходит от точечного
источника и распространяется во все стороны
с одинаковой скоростью, фронт волны имеет
вид сферической поверхности с центром в
источнике.
Такая
волна
называется
сферической.

Волна, фронт которой имеет вид
плоскости, называется плоской волной.

1.2. Уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость.
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в
пространстве энергию.

Перенос энергии волнами количественно характеризуется
вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих
волн называется вектором Умова.

Умов Н.А. (1846-1915) – русский ученый, решивший задачу о
распространении энергии в среде

Уравнением волны называется выражение, которое дает
смещение колеблющейся точки как функцию ее координат x, y,
z в равновесном положении и времени t:

S = f(x, y, z, t)

?

График зависимости S(х,t)
в определенный момент
времени называется
формой возмущения.

S
В

О

x

?

S

х

В

S ??? 0,t??? ? Acos?t

О

x

S ? x,t ? ? Acos? ? t ?? ?

? ??x

(1.1)

? - скорость распространения волны

S ? x,t ? ? Acos? ?? t ??x??
?

?

(1.2)

S ? x,t ? ? Acos? ?? t ??x??
?

?

(1.2`)

(1.2) - уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
направления Х.

S ? Acos ??? ? ?? t ??x?? ??0???
?

?

?

?

(1.3)

? 0 – начальная фаза волны, определяемая в общем случае
выбором начала отсчета x и t
?
?
?
x
?
t
?
?
?
?
?
?? 0??
?
?
?

?

?

?

– фаза плоской волны

S ? Acos 2? ?? t ??x??
?
T ?

? ? 2?
T

? ?? ?T

Длина волны :
1) это расстояние между ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой фазе;
2) равна тому расстоянию, на которое распространяется
определенная фаза колебаний за период.

Для характеристики волн используется волновое число k

k ? 2? ? 2? ? ?
? ?T ?
S ? x,t ? ? Acos??? ?t ? kx ??0???

(1.4)
(1.5)

Волна, выраженная одним из уравнений (1.2) – (1.5), называется
монохроматической волной
Найдем скорость распространения монохроматической волны

2? ?? t ? x?? ?? ? const
0
T ? ??
dt ??1 dx ? 0

(1.6)

dx ??
dt

(1.7)

Скорость ? распространения монохроматической волны – скорость
перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Если фазовая скорость в среде зависит от их частоты, то это
явление называют дисперсией волн, а среда, в которой
наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей
средой.

S ? x,t ? ? Acos??? ?t ? kx ??0???

?t ? kx ? const

(1.5)

dx ? ?
dt k

(1.7) совпадает с (1.8)

S ? r,t ? ? Ar0 cos??? ?t ? kr ??0???

(1.8)

? ? ? ??T ??
k T T
(1.10)

(1.10) – уравнение сферической волны

(1.9)

1) Все точки среды колеблются по гармоническому закону с
одинаковой амплитудой, одинаковой частотой, но различной
начальной фазой колебаний. Начальная фаза зависит от
положения точек относительно источника колебаний, чем дальше
удалена эта точка от источника колебаний, тем позже возникает в
колебательный процесс.
S

?

x
Длина волны это расстояние
между ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой
фазе

?x
?1 ? ?t ? ? 1
?
?
? ?
?
? x2
?
? ?2 ? ?t ?
?
?
?
?

?2 ??1 ? ?
? ? x2 ? x1 ?

?2– ? 1 = ? ? = ? – разность фаз.

w =2?
T

?? ? 2? ? x2 ? x1 ?
?

х2 – х1 = ? – разность хода.
Если ?

= ?, то ? = 2?

Что и требовалось доказать.

2) В заданный момент времени колебания всех точек волны
подчиняется гармоническому закону. Каждая последующая
точка стремиться занять место предыдущей.
3) Энергия в случае бегущей волны переноситься в
направлении распространения волны.

1.3. Волновое уравнение.
2S
1
?
?S ? 2 2 ? 0
? ?t

(1.11)

S – физическая величина, которая характеризует возмущение,
распространяющееся в среде со скоростью ?
2
2
2
?
?
?
?? 2 ? 2 ? 2
?x ?y ?z

оператор Лапласа

¶S =f ??? t - x?? , ¶S =- 1 f ? ?? t - ?x? ,
??
??
?
¶t
¶x ? ?
¶2S =f ???? t - x?? , ¶2S = 1 f ???? t - x? ? = 1 ¶2S .
??
?? ? 2 ¶t 2
?
¶t 2
¶x2 ? 2 ?
2S
?
?S ? 2
?x

2S
1
?
?S ? 2 2 ? 0
? ?t

1.4. Монохроматические и
квазимонохроматические волны.
Волновые группы.
S

t1

t2
А

0
r

квазимонохроматическая волна

S ? A ? t ? cos ?? ?t ? ?0 ? t ???

(1.12)

1.5. Принцип суперпозиции.
Групповая скорость
Принцип суперпозиции (наложения) волн:
при распространении в линейной среде нескольких
волн каждая из них распространяется так, как будто
другие волны отсутствуют, а результирующее смещение
частицы среды в любой момент времени равно
геометрической сумме смещений, которые получают
частицы, участвуя в каждом из следующих волновых
процессов.
Волновым пакетом называется суперпозиция
волн, мало отличающихся друг от друга по
частоте, занимающая в каждый момент времени
ограниченную область пространства.

Сконструируем простейший волновой пакет из двух
распространяющихся вдоль положительного направления оси Х
гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами
и волновыми числами, причем dw
За скорость распространения этой негармонической волны (волнового
пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды
волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра
волнового пакета.

td? ? xdk ? const

dx
dt

?

d?
dk

? u.

(1.13)

Скорость u - групповая скорость
Групповая скорость - скорость движения группы волн, образующих в
каждый момент времени локализованный в пространстве волновой
пакет

Рассмотрим связь между групповой и фазовой скоростями

k?

u?

u?

2?

? ? k?

?

d?
dk

?

d ? ?k ?

?? ? k ?

? d?

dk

d?
dk

??

?
k

? d? dk?
: ? ?
?? ?k
?? ? k?
dk
? d? d??

d ? 2?? ?

d?

?

? 2? d?

?? ? ? ? k ?? ? ?
?
2
?
d
?
d
?
?
?
?
?
?
?
? d?
d?
u ?? ??
.
d?
:

?

(1.14)

(1.15)






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.