УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
??
?2
i?
??
?? ? U ( x , y , z )?
?t
2m
Если

U? x, y,z? ? f ?t ?

? ? x , y , z , t ? ?? ? t ? ? ? x , y , z ?
??
??
??
?t
?t

1
??
?2
?
i? ?
??
? ?? ? U??
??
?t
2m
1 ??
? 2 ??
i?
??
? U ?E
? ?t
2m ?
1 ??
i?
?E
? ?t

? ? t ? ?e

?

iE
t
?

?? ?? ??

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
??
?2
i?
??
?? ? U ( x , y , z )?
?t
2m

? ?? ? x , y , z ?

? ?? ? t ?

m , U ? x , y,z?

En

2

? ? плотность вероятности
x ,

px

- средние значения координат и проекций импульсов

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
? 2 ??
?
? U ?E
2m ?

2m
?
?? ?
E ? U ( x , y , z ) ? ? ?0 Уравнение Шредингера для
стационарных состояний
?2
U ? x , y , z ? - потенциальная энергия частицы в силовом поле
? ? x , y , z , t ? ?e

?

iE
t
? ?? x , y , z ?

Особенности решений уравнения Шредингера
Уравнение имеет решения при дискретных значениях
полной энергии E

E1 , E 2 ,? E n

- собственные значения

? 1 , ? 2 ,? ? n

- собственные функции

Операторы квантовой механики
1 ??
i?
?E
? ?t

?
i? ? ? E?
?t

?
E? ?i?
?t

E?? ?E?

p? x ?? i?

?
?x

? x? ? px?
p

Определение средних значений

x ??? * x? dx
? x ? dx
p x ??? * p

Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной
глубины

U

U ?0
E

U ??
0

I
I , III
II

? 2?
?x

2

II
? ?0

0? x?l

?

2m
?

2

U ??
l

x

III

?? ?e ? ?x ?
? ?0

? E ? U ? ? ?0

U ?0
Граничные условия:

? ? 0 ? ?0
? ? l ? ?0

Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной глубины

? 2?
?x 2

?

?02 ?

2m
?2

E? ?0

? 2?
?x 2

? ?02 ? ?0

2mE
?2

Решение уравнения:

? ? x ? ?C1sin ? ?0 x ? ? C 2cos ? ?0 x ?
x ?0 : ? ? 0 ? ?C 2cos? ?0 0 ? ?0 ,
x ?l : ? ? l ? ?C1sin ? ?0 l ? ?0,

C 2 ?0
sin ? ?0 x ? ?0

Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной глубины

sin ? ?0 x ? ?0

?0 l ?n?

n?
?0 ?
l

?02

? 2? 2 2
En ?
n
2
2ml

?

n2?2
l

2

n ?1 , 2 ,?
?02 ?

2m
?

2

E

- условие квантования энергии
n - главное квантовое число

? n? ?
? ? x ? ?C1sin ?
x?
? l ?
l

2
?
? dx ?1

0

l

2 ? n?

?
С1 ?sin ?
x ? dx ?1
? l ?
0

? n? ?
? ? x ? ? 2 / l sin ?
x?
? l ?

C1 ? 2 / l

E

n ?3

? 2? 2 2
En ?
n
2
2ml

n ?2
n ?1
0

l

?
2/ l
0

pn ?

x

n ?1

n ?2

x

E

n ?1 n ?2
l

?
l ?n
2

? E n ? n ? 1? 2 ? n 2
?
En
n2
n? ?

?2

0

??
n n ?1 , 2 ,?
l

h 2l
?? ?
p n
l

n ?1 , 2 ,?

x

?0

?2

0

l

x

0

l

x

Частица в потенциальной "яме" конечной глубины
U

U0

U ?0
E
0
?2

x

l

n ?1
? 2 ?e
0

l

x

?

2 2m ? U 0 ? E ?
x
?

Туннельный эффект

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер
I
U

II
U

III

E
x2
x1
a ? x 2 ? x1

?
?1

?2

x
?3
x

?
?1

?2

?3
x

a

? 1 ? A1e ik1 x

k1 ?

? 2 ? A2 e ik2 x
? 3 ? A3 e

D?

A3

2

A1

2

ik1 x

? D0

k2 ?

2m ? E ? U ?
?
2m ? E ? U ? i 2 m ? U ? E ?
?
? i?
?
?

? 2a 2 m ? U ? E ?
x
?
e

прозрачность
потенциального барьера

Линейный гармонический осциллятор

U

kx 2
U ? x? ?
2

F ? x ? ?? kx
x

Классическая теория
m ?x? ?? kx

k
?x? ? x ?0
m

U

x ? x m cos? ?0 t ? ? ?
k
?0 ?
m

E

T
2

m v kx
E ?T ? U ?
?
2
2
2
2
kxm
m vm
E?
?
2
2

2

U
xm

x

Основные результаты квантовой теории ЛГО

2m ??
kx 2 ??
?? ?
E?
? ?0
2 ?
?
2 ?
? ?

?? 0
2
n ?0 , 1 , 2 ,? ,

E n ?? 2n ? 1?

U
E 2 ?5
?? 0

n ?2
n ?1
n ?0
x

E1 ? 3
E0 ?

?? 0

?? 0

?? 0

2

?E ???0

2

2

?2

?

x

n ?0
n ?1

x

Основные результаты квантовой теории ЛГО
Выводы:
1. Энергия квантового осциллятора может принимать
дискретные значения

?? 0
E n ?? 2n ? 1?
;
2
2. При изменении состояния квантовый осциллятор может
поглощать или излучать энергию, значение которой кратно ??0 .

?E ?k??0

E n?k ? E n ?k??0

3. Существует минимальное значение энергии осциллятора,
отличная от нуля, - энергия нулевых колебаний

?? 0
E0 ?
.
2






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.