Лекции (Определенный интеграл)

Посмотреть архив целиком

11. Определенный интеграл.

11.1. Определение.

11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .


Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание
фигуры точками на частей символом будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована. не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при (слева) и при (справа)). При разница между и будет тоже стремиться к нулю, т.е.

.

11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке задана функция . Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками