Огромный архив шпор (Теория)

Посмотреть архив целиком

билет №1

  1. Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого интеграла.

3◦.Свойство аддитивности (по множеству)

Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму .

Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен

(от а до b) f(x)dx, первого слагаемого правой части ∫(от а до c) f(x)dx, второго слагаемого правой части ∫(от c до b) f(x)dx.

  1. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде, где (векторная форма записи)

(покоординатная форма записи).

Будем искать решение системы в виде .

Подставляя в уравнение системы, получаем

. Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению λ собственного вектора линейного оператора с матрицей А. Система уравнений или имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю, т.е. |AE|=0.

Это – характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так:.

Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n- го порядка относительно λ. Из основной теоремы высшей алгебры известно, что оно имеет ровно n корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть – комплексными.

  1. Рассмотрим случай, когда все собственные значения действительны и различны.

Действительным различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы , которые можно определить по собственным значениям из системы уравнений или .В развернутом виде эти уравнения для можно записать в виде

Теперь решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами будут .

Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим определитель Вронского

, так как векторы линейно независимы и определитель из координат этих векторов отличен от нуля. Так как определитель Вронского отличен от нуля, то полученные решения линейно независимы. Так как этих решений ровно n, то они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано в виде

билет №2

  1. Доказать теорему об оценке определённого интеграла.

Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда

Доказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.


Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо.


  1. Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Доказать основные свойства их решений.

Неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Однородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.


Теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.


Если - решения однородной системы, то - решения однородной системы.

Если - решения однородной и неоднородной систем, то - решение неоднородной системы.

Если - решения неоднородной системы, то - решение однородной системы.


Доказательство.

,