Теория по ФНП (определения, доказательства, формулы) (FMP4)

Посмотреть архив целиком

41



2.7. Производная сложной функции


Пусть даны две векторные функции и , причем область определения второй функции имеет непустое пересечение с областью значений первой.

Для всякой точки из области определения функции и такой, что определено, задана тем самым сложная функция (композиция исходных функций):

Поставим вопрос о дифференцируемости функции , считая, что в точке дифференцируема функция , а в точке дифференцируема функция . Обозначим приращение переменной через , соответствующее приращение через . Тогда, ввиду дифференцируемости функций и в соответствующих точках , получим:


Здесь векторы и бесконечно малы по норме по сравнению с нормамии соответственно.

Мы видим, что в линейной части приращения функции сформировалось произведение операторов , действующее на вектор . Но для того, чтобы утверждать, что полученное произведение операторов действительно является производной сложной функции в точке , нужно доказать, что

(1)


Используя свойства нормы и ограниченность линейного оператора (см. п. 1.5 и п. 1.19), числитель дроби в (1) можно ограничить сверху следующим образом:


Вычислим тогда предел


Первый предел в написанной выше сумме равен нулю, так как (в силу дифференцируемости функции в точке ) , а величина ограничена как норма линейного оператора, действующего из одного конечномерного линейного пространства в другое.

Второй предел распишем так:

Первый сомножитель равен нулю ввиду дифференцируемости функции в точке , а второй ограничен в силу непрерывности функции в точке . Значит, весь вычисляемый предел равен нулю, а с ним и предел (1) (по «признаку двух милиционеров»).

Тем самым доказана теорема:

Теорема 2.4 (теорема о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и .

Как видно, закон дифференцирования сложной функции в векторном случае похож на подобный закон в одномерном случае, но вместо перемножения производных в точке (чисел) имеем композицию линейных операторов.

Переходя к матрицам, получим:

, (2)

где .

Для числовой функции формула примет вид:

(3)


(указание на конкретную точку опущено).

Первый дифференциал функции будет поэтому иметь вид:

(4)

(через обозначены приращения переменных ).

Подставляя в (4) выражения для частных производных функции из (3), получим:

(5)

В (5) внутренняя сумма (по ) есть не что иное, как дифференциал функции , зависящей от переменных . Тогда можно переписать (5) в виде:

(6)


Сопоставляя выражения (4) и (6), мы видим, что это две разные записи первого дифференциала одной и той же функции, но в (6) учитывается только непосредственная зависимость от (компоненты вектора рассматриваются как независимые переменные функции ), тогда как в (4) переменные раскрыты как функции вектора , и функция рассматривается уже как функция, зависящая от переменных через переменные , т.е. как сложная функция . Но видно также, что по форме (4) и (6) одинаковы - переход к новым переменным не влияет на форму первого дифференциала. Это свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.






2.8. Производная обратной и неявной функций


Относительно функции может быть поставлена такая проблема: существует ли (и если да, то единственная ли) такая функция , что для всякого из области определения функции . Функция в этом случае, коль скоро она существует, называется обратной к , а сама функция тогда называется обратимой.

Для линейной функции вопрос об обратимости решается, как известно, следующим образом: функция обратима тогда и только тогда, когда она является изоморфизмом одного евклидова пространства на другое (см. п. 1.8, теорема 1.2). В конечномерном случае ответ может быть дан в терминах матричной алгебры: линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда в любой паре базисов его матрица обратима (для этого достаточно, чтобы матрица было обратима в какой-нибудь одной паре базисов).

В нелинейном случае проблема обратимости (и. что существенно, проблема единственности ее решения) сильно усложняется - это видно на примере тригонометрических функций.

В этом параграфе мы без строгих доказательств обсудим проблему обратимости для нелинейных векторных функций и вместе с ней проблему дифференцируемости обратной функции, когда она существует.

Пусть функция такова, что , т.е. размерности пространств совпадают. Пусть также в некоторой точке функция дифференцируема. Запишем тогда ее приращение в этой точке:

(1)

Пренебрегая бесконечно малым по норме( по сравнению с нормой приращения аргумента ) вектором и обозначая приращение функции в точке через , получим

(2)

Рассмотрим (2) как векторное уравнение относительно неизвестного вектора . Нетрудно понять, что в матричной форме это будет не что иное, как система линейных уравнений с основной матрицей, совпадающей с матрицей Якоби функции в точке . Тогда, если эта матрица обратима, мы получим:

(3)

Выражение (3) можно рассматривать как линейную часть приращения как функции . Но чтобы утверждать, что эта функция есть обратная к и, тем более, что оператор, обратный к , есть оператор производной обратной функции в точке , нужно доказать, что линейная часть приращения (3) отличается от всего приращения обратной функции в данной точке «на бесконечно малый вектор».

Ответ на вопрос дает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства:

Теорема 2.5 (теорема о производной обратной функции). Если функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки , и линейный оператор обратим, то существуют такие открытые множества , содержащее точку , и , содержащее точку , что определена однозначно функция с областью определения и областью значений так, что и функция непрерывно дифференцируема в точке , причем .



Рис. 2.10


Итак, теорема 2.5 дает достаточные условия существования и дифференцируемости (и даже непрерывной дифференцируемости) обратной функции. Подчеркнем, что обратная функция определена локально: в некоторой окрестности точки .

При этом оказывается, что если функция , где - область определения , то обратная функция определена для некоторой пары открытых множеств , содержащих точки и соответственно, такие, что обратим, и тогда , причем .

Рассмотрим пример. Запишем функцию, преобразующую полярные координаты на плоскости в декартовы:

Якобиан этой функции, как мы установили в п. 2.4, равен . Следовательно, во всех точках, кроме точки (начало полярной системы координат), производная функции обратима. Кроме того, все частные производные непрерывны во всех точках, где они определены. Значит, условия теоремы 2.5 выполнены.

Обратная функция


определена однозначно в любом открытом множестве , не содержащем точку , принимая значения в некотором открытом множестве, содержащемся в множестве всех таких , что . Производная обратной функции может быть вычислена и непосредственно, и через матрицу, обратную матрице Якоби исходной («прямой») функции. В последнем случае получим:

(4)

Если же мы будем вычислять матрицу Якоби обратной функции непосредственно, то получим:

(5)


Легко сообразить, что если в (4) перейти к декартовым переменным, то получится (5).

Рассмотрим теперь проблему дифференцируемости неявной функции.

Пусть определена некоторая функция , и пусть в пространстве задано множество точек, удовлетворяющих уравнению:

(6)

Поставим вопрос о существовании такой функции , что тогда и только тогда, когда имеет место (6), т.е. (где ).

Например, если , , то наш вопрос в этом конкретном случае есть вопрос о существовании такой функции , что . Мы можем в данном случае указать две такие функции:

,

графиками которых служат верхняя и нижняя полуокружности окружности, заданной уравнением .

В общем же случае, если указанная выше функция существует, она называется неявной (или неявно заданной) функцией, определенной уравнением (6).

Пусть теперь функция дифференцируема в точке , т.е. при . Вычислим приращение функции в этой точке, предполагая, что и сама эта точка, и точка, полученная в результате приращения аргументов, удовлетворяет уравнению (6):

(7)

В (7) через и обозначены операторы дифференцирования по вектору и соответственно, т.е. матрица оператора состоит из всех частных производных , матрица оператора из всех частных производных , причем вторая матрица - квадратная. Мы уже сталкивались с подобным разложением матриц в первом семестре при исследовании систем линейных уравнений.

Рассмотрим тогда (7) как векторное уравнение относительно неизвестного приращения (приращения неявной функции, определяемой уравнением (6)). Если оператор обратим, то мы получим:

(8)

Вывод соотношения (8) (как и аналогичный вывод (3)) нельзя считать строгим доказательством того, что оператор в (8), действующий на вектор есть производная неявной функции. Это лишь проведенные на «физическом уровне строгости» пояснения, позволяющие представить вид искомой производной.

Достаточные условия дифференцируемости неявной функции дает следующая теорема, также формулируемая без доказательства.

Теорема 2.6 (теорема о производной неявной функции). Если функция непрерывно дифференцируема в некоторой 3939окрестности точк , и линейный операто обратим, то существуют такие открытые множеств , содержащее точк , , содержащее точк , что определена однозначно функци с областью определени и принимающая значения так, чт , функция непрерывно дифференцируема в точк , приче .

Для рассмотренного выше примера (уравнение окружности) для любой внутренней точ отрезк имеем:

(в данном случае оба оператора производной оказались просто частными производными). Множествв данном случае может быть выбрано как любой интервал, содержащийся в интервале , а множество - как содержащий множество интервал , где (если иметь в виду верхнюю полуокружность - см. рис. 2.11).

Для сравнения продифференцируем непосредственно функцию по :

Для функции, соответствующей нижней полуокружности, получим:

,

так как здесь . Заметим, что для этой неявной функции, определяемой тем же уравнением, множество остается тем же самым, а множество переопределяется как интервал , где . Выражение для производной, даваемое теоремой 2.6, объединяет обе возникающие здесь неявные функции (или, как иногда говорят, обе ветви многозначной функции, задаваемой уравнением вида (6) ).


Рис. 2.11


Заметим, что условия теоремы 2.6 в точках не выполняются, так как в этих точках частная производная обращается в ноль.

В рассмотренном примере мы могли непосредственно из уравнения получить обе неявные функции и продифференцировать их, не прибегая к теореме 2.6. Это связано с тем, что наше уравнение позволяет аналитически (явно) выразить одну переменную через другую. Разумеется, это далеко не всегда так. Например, уравнение

(9)

неразрешимо относительно любой из переменных. Но теорема 2.6 позволяет дифференцировать неявную функцию и в этом случае. Например, для функции , определяемой уравнением (9), получим производные:


Эти выражения, конечно, имеют смысл в точках, в которых выполняются условия теоремы 2.6.

Следовательно, теорема о производной неявной функции позволяет дифференцировать неявную функцию даже тогда, когда она не может быть выражена аналитически через свои переменные, а может быть определена только некоторым уравнением, и получать при этом производные для всех неявных функций, которые существуют при условиях теоремы.

В общем случае для числовой неявной функции, т.е. при , оператор есть обычная частная производная в точке, и мы получаем формулы для частных производных неявной функции:

В заключение рассмотрим простой пример «двумерной» неявной функции двух переменных, определяемой системой двух нелинейных уравнений с четырьмя «неизвестными»:

(«сечение четырехмерной сферы четырехмерным конусом»).

Здесь


Определим матрицу Якоби для неявной функции .

Вычисляем матрицы:

(здесь использовано сокращенное обозначение частной производной в виде - даже без штриха!).

Детерминант второй матрицы равен (и, следовательно, отличен от нуля во всех точках, в которых и ).

Далее:

Тогда матрица Якоби будет равна


(т.е. ).

Читателю предлагается геометрически объяснить полученный результат.


Случайные файлы

Файл
95917.rtf
78006.doc
83493.rtf
153678.rtf
154892.rtf