Теория по ФНП (определения, доказательства, формулы) (FMP5)

Посмотреть архив целиком

50



2.9. Касательная плоскость и нормаль. Поверхности уровня


Определение 2.19. Гиперповерхность в пространстве - это множество точек, удовлетворяющих уравнению

, или (1)

, (1а)

где - числовая функция векторного аргумента.

Уже знакомые нам примеры гиперповерхностей - линейное многообразие (-мерная гиперплоскость), задаваемое уравнением

, где

- постоянный вектор (вектор «нормали»), - вещественная константа; и гиперповерхность второго порядка, задаваемая уравнением (1) из п. 1.18.

Дальше, ради краткости, будем говорить, просто «поверхность», «плоскость», какова бы ни была размерность пространства.

Пусть точка принадлежит поверхности (1), и пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Определение 2.20. Касательная плоскость к поверхности, задаваемой уравнением (1), в точке - это плоскость, проходящая через точку , нормалью к которой служит вектор градиента функции в данной точке.

Определение 2.21. Нормаль к поверхности (1) в точке - это прямая, проходящая через точку , направляющим вектором которой является вектор градиента функции в точке .

Из определений сразу следует, что касательная плоскость в точке задается уравнением:

(3)

а нормаль в точке может быть определена параметрическим уравнением

(4)

Уравнение (3) может быть переписано в координатной форме:

(5)

Параметрическое уравнение (4) прямой, как известно из курса аналитической геометрии, можно переписать в виде системы канонических уравнений:

(6)

При определенных условиях уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию

(7)

Тогда, если и выполнены все условия теоремы 2.6, уравнение (5) может быть преобразовано к виду

(8)

Коэффициенты в сумме, стоящей в правой части уравнения (8), являются ни чем иным, как производными функции (7) в точке . Тогда, переобозначая , запишем (8) в векторной форме:

, (9)

где

Уравнение (9) дает приращение «вдоль касательной»: его правая часть есть первый дифференциал неявной функции (7) в точке . Это позволяет нам понять геометрический смысл первого дифференциала: первый дифференциал функции в точке есть приращение, взятое вдоль касательной к поверхности, определяющей функцию, в данной точке.

Образно здесь можно рассуждать так: если мы, находясь в заданной точке поверхности, отправимся в путешествие по самой поверхности, то наше перемещение по координате совпадет с приращением самой функции (7). Но если мы, вместо того, чтобы идти по поверхности, пойдем по касательной к ней в данной точке, то наше перемещение по координате будет уже приращением не самой функции, а приращением вдоль касательной, приращением некоторой линейной функции. Но выполнение всех условий дифференцируемости гарантирует, что ошибка при упомянутой замене функции некоторым ее линейным приближением бесконечно мала по сравнению с размерами той окрестности исходной точки, в рамках которой мы путешествуем. Если мы, идя по касательной, думаем, что идем по поверхности, то наше заблуждение не столь уж велико. В этом и состоит геометрическая сущность дифференцируемости.

Мы провели рассуждения для неявной функции, определенной уравнением (1). Если же функция вида (7) задана явно, то это частный случай рассмотренного, ибо тогда можно положить

,

и , а .

Заметим, что приведенное аналитическое определение касательной плоскости, в одномерном случае сводящееся к известному определению касательной к кривой на плоскости, допускает как раз в этом простейшем случае содержательную, «наивную» геометрическую мотивировку. Исходя из обычного «школьного» понимания производной как «предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю» - , - мы получаем такую «картинку»: чем меньше приращение , тем ближе «секущая» подходит к «касательной» (см. рис. 2.12), где касательная понимается «наивно геометрически» (как касательная к окружности в школьной геометрии).









Рис. 2.11


В многомерном случае эта картинка получается в сечениях исследуемой поверхности плоскостями, которые проходят через данную точку параллельно координатным плоскостям.


Поверхности уровня


Определение 2.22. Поверхностью уровня числовой функции

(10)

называется поверхность, определяемая уравнением

(11)

для произвольной фиксированной числовой константы .

В случае функции двух переменных естественно говорить о линии уровня.

Так для функции (графиком которой является гиперболический параболоид - см. п. 1.18), семейство линий уровня (при различных ) есть семейство равнобочных гипербол:

,

причем при гипербола вырождается в пару прямых , а при получаем семейство сопряженных гипербол, т.е. гипербол с фокусами на оси ординат.

Фиксируя точку из области определения функции (10), получим значение функции в этой точке. Тогда, полагая в (11) , получим поверхность уровня, проходящую через точку .

Касательная плоскость к поверхности (11) в точке задается, как следует из проведенного выше анализа, уравнением

Это значит, что градиент функции в точке нормален («перпендикулярен») поверхности уровня, проходящей через данную точку (см. рис. 2.13).





Ñf Ñf

а) б)

Рис. 2.13

Случай, изображенный на рис. 2.13 (а) соответствует тому, что «движение» вдоль касательной к линии уровня есть движение в направлении возрастания функции. На рис. 2.13 (б) представлена противоположная ситуация. Какие еще ситуации возможны в подобном случае?



2.10. Дифференциалы высших порядков


Общая теория производных высших порядков (или высших производных) в многомерном анализе весьма сложна и выходит за рамки нашего курса. Сложность этой теории обусловлена тем, что - в существенном отличии от одномерного анализа - производная функция векторной функции есть функция, принимающая значения совсем в другом линейном пространстве, а именно в пространстве линейных операторов, действующих из в (см. п. 2.4). Следовательно, производная этой функции, т.е. производная второго порядка, есть функция, принимающая значения в пространстве линейных операторов, действующих из пространства в пространство линейных операторов, действующих из в . Тогда построение теории высших производных требует рассмотрения сложной иерархии линейных пространств. Мы оставляем эти рассмотрения за рамками наших лекций. Здесь мы введем только понятие дифференциала второго и более высокого порядков для числовой функции.

Коль скоро первый дифференциал функции , как было замечено в п. 2.5, есть функция точки

, (1)

можно поставить вопрос об ее дифференцируемости. Предполагая условия дифференцируемости выполненными, найдем первый дифференциал от выражения (1). Вычисляя этот дифференциал, мы, во-первых, используем формулу для дифференциала произведения двух функций: (это предлагается доказать читателю); во-вторых, мы считаем приращения независимых переменных не зависящими от точки . Это предположение разумно, если рассматривать указанные переменные действительно как независимые - тогда в любой точке приращения переменных могут быть выбраны как угодно. Заметим, что отказ от этого предположения, т.е. рассмотрение переменных как функций, в свою очередь зависящих от некоторых переменных, существенно меняет получаемый результат (свойство инвариантности формы перестает выполнятся).

Дифференцируем (1):

(2)

Так как (согласно нашему второму предположению) все , то получаем:

(3)

Внутренняя сумма в (3) есть первый дифференциал частной производной . Выражение (3) называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции в точке и обозначается . Его можно записать несколько проще:

(4)


Коэффициенты в двойной сумме (4) - это всевозможные частные производные второго порядка вида , вычисленные в текущей точке (указание на которую мы будем часто опускать). Эти производные обычно записываются в виде:

.

Вторые производные образуют квадратную матрицу -ого порядка, называемую матрицей Гессе функции . Как и матрица Якоби, матрица Гессе есть функция точки. В общем случае матрица Гессе не является симметричной, т.е. в общем случае значение второй производной зависит от порядка дифференцирования: . Но имеет место следующее утверждение, известное под названием леммы Шварца:

Утверждение 2.11 (лемма Шварца). Если производные непрерывны в некоторой окрестности точки , то .

Доказательство опускается.

Итак, в случае непрерывности «смешанных» производных второго порядка их значение не зависит от порядка дифференцирования, и матрица Гессе симметрична. В дальнейшем, как правило, мы предполагаем, что условия леммы Шварца выполняются. Тогда второй дифференциал можно рассматривать как квадратичную форму от приращений независимых переменных, матрицей которой является матрица Гессе.

(По умолчанию, напомним, считается фиксированным канонический базис пространства ).

Вернемся теперь к равенствам (2) и допустим, что переменные сами суть функции от некоторых переменных . Обозначая , получим, что . Тогда из (2) следует

(5)

Таким образом, во втором дифференциале сложной функции (в (5)) появляется дополнительное слагаемое, учитывающее вторые дифференциалы функций, от которых непосредственно зависит анализируемая сложная функция. Это значит, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Дифференциалы третьего и более высоких порядков могут быть далее определены согласно формуле:

Можно доказать индукцией, что -ый дифференциал представляется в виде суммы:

. (6)

При (первый дифференциал) выражение (6) есть линейная (1-) форма, при (второй дифференциал) - квадратичная (2-)форма. В общем случае это выражение называется степенной (-) формой от переменных . Коэффициенты в сумме (6), содержащей, очевидно, слагаемых, называются частными производными порядка функции . По определению

Эта производная обозначается также и как . В случае непрерывности этих производных их значение не зависит от порядка дифференцирования.

Определение 2.23. Функция называется функцией класса (записывают ), если она имеет в каждой точке множества все дифференциалы до -ого включительно, причем дифференциал непрерывен в каждой точке множества .

Нетрудно понять, что при мы получим непрерывно дифференцируемую на функцию, т.е. функцию класса (определения 2.17 и 2.18, п. 2.6).

Функцию класса называют также гладкой функцией класса гладкости (на множестве ). Говорят, что функция есть функция класса гладкости ¥, если она принадлежит множеству для каждого (это записывают еще так: ). Такую функцию называют также просто гладкой.

Поверхность , где , называют гладкой поверхностью класса гладкости , если , где - область определения функции . Если , то указанная поверхность называется просто гладкой. При получаем гладкую кривую.

Практически все поверхности и кривые, которые мы рассматриваем, являются гладкими - таковы, в частности, все линейные многообразия и поверхности второго порядка.


Случайные файлы

Файл
159228.rtf
182670.rtf
102561.rtf
4572.rtf
22681.rtf