Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы) (LINALG10)

Посмотреть архив целиком

90



1.19. Норма линейного оператора


Определение 1.32 Нормой линейного оператора (где и - евклидовы пространства) называется вещественное число, обозначаемое и равное

Тем самым норма определена как точная верхняя грань (конечная или бесконечная) множества значений нормы вектора, являющегося образом вектора единичной нормы, пробегающего область определения оператора. Заметим, что, вообще говоря, нельзя операцию заменить взятием максимума, так как, во-первых, норма не всегда ограниченна, а во-вторых, может и не принадлежать самому указанному выше множеству значений выражения при .

Утверждение 1.23 Для любого вектора и любого линейного оператора .

Доказательство. Представим вектор следующим образом:

,

где (единичный вектор, «коллинеарный» ).

Тогда

(здесь мы воспользовались свойством (2) нормы вектора из п. 1.5).

Поскольку по определению нормы линейного оператора (элемент числового множества не превосходит точной верхней грани этого множества!), то

,

что и требовалось.

Определение 1.33 Линейный оператор называется ограниченным, если существует такая константа , что .

Центральным утверждением этого раздела является

Теорема 1.19 Всякий линейный оператор, действующий из одного конечномерного евклидова пространства в другое, является ограниченным.

Доказательство. Вводя некоторую пару ортонормов , получим (для некоторого вектора единичной нормы):

(1)


В выражении, написанном выше через обозначен вектор из области определения оператора (т.е., пространства ) координаты которого в ортонорме совпадают с одноименными элементами -ой строки матрицы оператора в выбранной паре базисов. То есть, подробнее:

.

Из (1) следует:

(2)

Используя неравенство Коши-Буняковского, будем иметь:

Следовательно, левая часть в (2) ограничена сверху

.

В силу произвольности выбора вектора единичной нормы отсюда и вытекает доказываемое:


(3)

Стоящая в правой части неравенства (3) числовая константа, определяемая, очевидно, оператором , и есть искомая константа .

Мы будем использовать доказанный результат в теории дифференцирования функций нескольких переменных.

Теорема 1.20 Для любых линейных операторов имеет место:

  1. , причем равенство имеет место только для нулевого оператора;

  2. ;

Доказательство. Первые два неравенства доказываются легко. Чтобы доказать третье, запишем:



Так как все множество является линейным пространством, то оказывается, что это - нормированное линейное пространство, а именно линейное пространство, любому вектору которого однозначно сопоставляется неотрицательное вещественное число, удовлетворяющее свойствам (1)-(3). Структура нормированного линейного пространства может быть введена через скалярное умножение векторов, что дает нам понятие евклидова пространства. Но в пространстве операторов норма вводится иначе, так как ни о каком скалярном произведении линейных операторов речи нет.