Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы) (LINALG)

Посмотреть архив целиком

8



Глава 1. Элементы линейной алгебры

1.1. Понятие линейного пространства


В курсе аналитической геометрии и векторной алгебры мы изучали понятия арифметического и геометрического вектора и поняли, что по своим алгебраическим свойствам, если ограничиться операциями сложения и умножения на число, эти объекты совершенно одинаковы. Это побуждает нас обобщить понятие вектора, рассматривая его исключительно в плане свойств линейных операций (т.е. сложения и умножения на число), с тем, чтобы частные виды векторов (например, геометрические или арифметические векторы) можно было изучать в рамках единой теории. Отчасти мы уже это и делали, рассматривая понятия базиса на множествах геометрических или арифметических векторов.

Обобщение понятия вектора достигается через определение линейного пространства.

Определение 1.1 Линейным пространством называется произвольное множество такое, что для любых двух его элементов и однозначно определен элемент , называемый суммой и , для любого элемента и любого вещественного числа однозначно определен элемент , называемый результатом умножения на число , причем для операций сложения и умножения на число по определению имеют место следующие свойства:

  1. существует такой элемент , что для каждого

  2. для каждого существует элемент , называемый противоположным к такой, что


(В формулах, написанных выше, под понимаются произвольные элементы , а под произвольные вещественные числа.)

Элементы множества называют векторами, а само это множество часто называют векторным пространством. Элемент при этом называют нулевым вектором данного пространства, а вектор такой , что, называют противоположным к вектору .

Договоримся впредь знак умножения вектора на число опускать.

Можно было бы определить точно так же умножение вектора на комплексное число. Мы в нашем курсе ограничимся по существу только умножением на вещественные числа и, желая подчеркнуть это, будем называть только что определенное линейное пространство вещественным линейным пространством.


Примеры. 1) Множества геометрических и арифметических векторов фиксированной размерности образуют линейные пространства, которые мы будем обозначать соответственно и .

Заметим, что строя конкретный пример линейного пространства, мы должны доказывать свойства операций (1) - (8), которые в определении 1.1 постулируются. И в прошлом семестре мы именно доказывали эти свойства для геометрических и арифметических векторов (опуская, впрочем, подробности).

2) Множество матриц фиксированного порядка размера относительно операций сложения и умножения на число есть линейное пространство, которое мы будем обозначать . Нулевым вектором этого пространства является нулевая матрица, а вектором, противоположным данному, матрице , служит матрица .

3) Рассмотрим на первый взгляд несколько необычный пример линейного пространства.

Пусть - множество всех функций, непрерывных на отрезке числовой прямой.

Для двух произвольных функций определим их сумму как функцию так, что

(обычное «поточечное» сложение функций, известное из школьной алгебры в виде процедуры сложения «графиков», причем, как известно из курса математического анализа, сумма непрерывных функций непрерывна).

Для любой функции и произвольного вещественного введем новую функцию (результат умножения на ) так, что

(также известная из школы процедура «растяжения» графика в заданное число раз, преобразующая непрерывную функцию в непрерывную).

Легко видеть, что для функции , тождественно равной нулю (и, очевидно, непрерывной) на отрезке имеют место соотношения:

Все свойства операций сложения и умножения на число в данном случае легко проверяются, и мы получаем, что множество всех функций, непрерывных на отрезке, является линейным пространством. В этом пространстве нулевая функция играет роль нулевого вектора, а функция , график которой получается отражением графика относительно оси абсцисс, - роль противоположного к вектора.

Таким образом, на непрерывную функцию можно смотреть как на вектор, то есть, как на элемент соответствующего векторного пространства.

Рассмотрим теперь некоторые следствия из определения линейного пространства.

  1. Единственность нулевого вектора

Докажем, что нулевой вектор линейного пространства определен однозначно.

Предположим, что существуют два нулевых вектора: и ; имеем:


  1. Единственность противоположного вектора

Докажем, что для каждого вектора существует единственный противоположный к нему вектор.

Пусть для некоторого вектора нашлись два противоположных к нему вектора: и ; тогда получим:

(заметим, что в этом выводе использованы свойства (1)-(4) из определения линейного пространства).

Теперь мы можем обозначить вектор, противоположный к вектору через .

Мы можем также ввести операцию вычитания для векторов, положив для любых двух векторов и

Вектор называется при этом разностью векторов и .

В силу единственности противоположного вектора можно утверждать, что в линейном пространстве любое уравнение вида

имеет единственное решение .


  1. Результат умножения на нуль

Докажем, что для любого вектора (т.е., число 0, будучи умножено на любой вектор, дает нулевой вектор).

Действительно:

, откуда, (использованы свойства (6) и (8) из определения линейного пространства, а также предыдущее следствие).

  1. Результат умножения на

Докажем, что для любого вектора (т.е., если умножить произвольный вектор на -1, то получится противоположный к исходному вектор).

Имеем:

, откуда в силу единственности противоположного вектора получаем доказываемое.

  1. Результат умножения произвольного числа на нулевой вектор

Для произвольного вещественного .

В самом деле, для произвольного вектора : 01 = (0a)=

= (0) a = 0 a = 0.

Следовательно, .

Заметим, что все пять следствий из аксиом линейного пространства, т.е. из свойств (1)-(8), доказаны чисто алгебраически. Для геометрических и арифметических векторов они совершенно очевидны.


1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.


Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых, линейно независимых систем векторов, равно как и понятия базиса и размерности, которые были даны в первом семестре применительно к геометрическим и арифметическим векторам, без всяких изменений переносятся на случай произвольного линейного пространства. Здесь эти определения и доказанные на их основе теоремы заново формулироваться не будут. Напомним, что под системой векторов понимается, как и раньше, произвольная (состоящая не менее, чем из одного вектора) конечная последовательность векторов.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости.

С этой целью возьмем пространство функций (для произвольных вещественных ) и зададим в нем систему функций для некоторого . Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного . Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом .

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.


В рамках нашего курса мы будем рассматривать только конечномерные пространства.


1.3. Подпространства и линейные оболочки


Определение 1.3 Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства , если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Утверждение 1.1 Подмножество линейного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в оно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Доказательство. Упражнение.

Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства (где в данном случае есть число неизвестных системы).

3) В пространстве рассмотрим подмножество всех многочленов степени, не превосходящей некоторого фиксированного . Сумма любых двух таких многочленов снова есть многочлен из заданного множества, равно как и результат умножения такого многочлена на произвольное число остается в данном множестве многочленов. Следовательно, множество многочленов степени не выше является подпространством пространства . Можно доказать, что система многочленов является базисом этого подпространства (упражнение!), и, таким образом, размерность данного подпространства многочленов равна . Мы имеем здесь, стало быть, пример конечномерного подпространства бесконечномерного линейного пространства.


Определение 1.4 Линейной оболочкой системы векторов некоторого линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций векторов системы.

Линейную оболочку будем обозначать . По определению тогда


В первом семестре мы определили понятие ранга системы векторов как наибольшего числа линейно независимых векторов системы. Нетрудно доказать следующий результат:

Утверждение 1.2 Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов . Тогда (для произвольных вещественных и ). Геометрически это множество векторов, параллельных плоскости векторов (любые два неколлинеарных вектора могут быть «положены» в некоторую плоскость, определенную однозначно с точностью до параллельного

переноса) - см. рис. 1.1.









Рис. 1.1


2) Пространство многочленов, рассмотренное выше, есть линейная оболочка системы степенных функций .



1.4. Преобразования базисов



Пусть задан в линейном пространстве некоторый базис . Тогда любой вектор может быть разложен единственным образом по базису (материал первого семестра!):


Введем новый базис . В этом базисе тот же самый вектор будет иметь уже другие координаты:


Возникает задача: связать между собой координаты произвольного вектора в двух различных базисах. Эту задачу будем называть задачей преобразования базисов.

Чтобы технически удобно решить эту задачу и подобные ей, введем в рассмотрение новый объект - векторную матрицу-строку. Это обычная матрица-строка, но ее элементами являются не числа, а векторы (из некоторого линейного пространства). Любую систему векторов можно задать в виде векторной матрицы строки.

Для векторной матрицы-строки определим умножение ее справа на обычную числовую матрицу размера для данного , равного числу векторов строки и произвольного следующим образом:


Таким образом, по определению, результатом умножения векторной матрицы строки справа на числовую матрицу будет новая векторная матрица-строка, число компонент которой равно числу столбцов матрицы , и каждая компонента вычисляется как умножение векторной строки на соответствующий столбец числовой матрицы по тому же правилу, что и в обычном матричном умножении, но только вместо числового умножения используется умножение вектора на число.


Легко доказать (по аналогии с доказательством ассоциативности умножения числовых матриц) следующее равенство:

(каковы бы ни были числовые матрицы и , произведение которых существует).

С использованием векторных матриц-строк удобно записывать разложение произвольных систем векторов по данному базису.

Пусть дан базис (в виде векторной матрицы-строки) и система векторов . Запишем разложение векторов системы по базису :




Или, с использованием векторных матриц-строк:


Нетрудно сообразить, что j-ый столбец матрицы - это столбец координат вектора в базисе .

Утверждение 1.3 Если система линейно независима, то столбцы матрицы линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное - тогда найдутся числа , не все равные нулю, такие, что

,


или, покомпонентно:


С учетом этих равенств рассмотрим линейную комбинацию



Подставляя вместо каждого вектора , его разложение по базису , получим:

Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов, равную нулю, что невозможно.

Можно заметить, что, проводя рассуждения доказательства утверждения 1.3 в обратном порядке, получим, что верно и обратное: если столбцы матрицы линейно независимы, то система векторов линейно независима. Следовательно, для распознавания линейной независимости произвольной системы векторов конечномерного линейного пространства достаточно составить матрицу из столбцов координат векторов системы в произвольном фиксированном базисе и доказать линейную независимость этих столбцов, используя, например, метод элементарных преобразований (т.е., вычислив ранг составленной матрицы).


Для одного вектора его разложение по базису задается в виде:


, где - столбец координат вектора в базисе .

Вернемся к задаче преобразования базисов. Запишем разложение нового («штрихованного») базиса в старом (не «штрихованном»):



Матрица (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса к базису . Каждый ее столбец есть, как мы только что доказали, столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. В силу утверждения 1.3 столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной.

Тогда для разложения вектора в новом базисе получим:

Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису (первый семестр!)


Так как матрица не вырождена, то


Итак, чтобы вычислить столбец координат вектора в новом базисе, достаточно матрицу, обратную к матрице перехода, умножить на столбец координат вектора в старом базисе.

По контрасту заметим, что для того, чтобы получить сам новый базис (как векторную матрицу-строку), нужно старый базис умножить на саму матрицу перехода.

Таким образом, можно заметить, что сами базисы и координаты векторов в базисах при переходе от базиса к базису перевычисляются «зеркально» по отношению к друг другу.


Утверждение 1.4 1) Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

  1. Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса к базису .


Схематически:

Т T S


T- -1

TS


Доказательство. Упражнение.

Со сложными преобразованиями базисов связана следующая задача: пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к .

Составляем матрицы перехода от ки от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и соответственно. Тогда используя утверждение 1.4, легко получим (см. рис. 1.2):

A B


T


рис. 1.2



1 В приведенном доказательстве нулевой вектор обозначен как 0.


Случайные файлы

Файл
81861.rtf
70726.rtf
Liderstvo.doc
150903.rtf
99559.rtf