Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы) (LINALG5)

Посмотреть архив целиком

45



1.11. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.


Везде в дальнейшем изложении, если только специально не оговорено противное, под термином линейный оператор понимается линейное преобразование некоторого конечномерного линейного пространства .

Определение 1.17 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое вещественное число, что . Число называется при этом собственным числом, или собственным значением оператора .

Собственный вектор называется в этом случае собственным вектором, принадлежащим собственному числу .

Заметим, что собственное число может быть равно нулю.

Утверждение 1.16 Один и тот же собственный вектор не может принадлежать одновременно двум разным собственным числам.

Доказательство. Пусть , но . Тогда , откуда, так как , в противоречии с допущением.

Но одному и тому же собственному числу может принадлежать много собственных векторов. Более того, множество

всех собственных векторов оператора , принадлежащих данному собственному числу , образует (вместе с нулевым вектором) подпространство пространства .

В самом деле:

,

каковы бы ни были собственные векторы , принадлежащие собственному числу , и вещественные числа .

Размерность подпространства называется геометрической кратностью собственного числа . Само же это подпространство называется собственным подпространством, принадлежащим собственному числу .

Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собственных чисел линейного оператора.

Имеем:

,

где - тождественный оператор.

Тогда из равенства

следует

(1)

(см. п. 1.8).

Задавая произвольно некий базис , получим из (1) следующее матричное уравнение:

, (2)

где - матрица в базисе , и .

Рассматривая (2) как однородную систему относительно столбца , получим (первый семестр!), что для того, чтобы эта система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы

(3)

Используя понятие детерминанта линейного оператора (п. 1.9), мы можем переписать (3) в виде:

(4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением оператора , а его корни - характеристическими числами данного оператора. Множество всех характеристических чисел оператора образует его спектр. Из предыдущего совершенно ясно, что характеристическое уравнение и спектр линейного оператора не зависят от выбора конкретного базиса, являются, как говорят, инвариантами. Подчеркнем, что корни характеристического уравнения могут быть комплексными. Сам детерминант, образующий левую часть характеристического уравнения, является, как нетрудно понять, многочленом -ой степени от и называется характеристическим многочленом (полиномом) данного оператора. Собственные числа оператора - это в точности все вещественные характеристические числа. Существует один важный класс линейных операторов - самосопряженные операторы ,- который мы изучим позже, когда весь спектр оператора лежит в вещественной области. Тогда понятия характеристического и собственного числа совпадают.

В общем же случае для того, чтобы найти собственные числа и собственные векторы данного линейного оператора, следует поступать так:

1) составить и решить характеристическое уравнение, выбрав произвольный базис (обычно это канонический базис соответствующего арифметического пространства);

2) для каждого вещественного корня характеристического уравнения решить однородную систему (2); фундаментальные решения этой системы и образуют базис подпространства (точнее, конечно, они образуют базис арифметического пространства, изоморфного подпространству , но мы будем часто отождествлять конечномерное линейное пространство с изоморфным ему пространством арифметических векторов) , а общее решение системы определяет множество всех собственных векторов, принадлежащих .

Примеры. 1) Определим в оператор матрицей (по умолчанию предполагается выбранным канонический базис):

.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

,

или

,

откуда


Таким образом данный оператор не имеет ни одного вещественного характеристического числа и, следовательно, ни одного собственного вектора в пространстве .

  1. Пусть в оператор определяется матрицей:

Характеристическое уравнение:


Раскрывая определитель, получим:

,

откуда (см. предыдущий пример):

.

Здесь, в спектре оператора, есть одно вещественное число, и мы можем определить множество собственных векторов, принадлежащих этому числу. Для этого нужно решить однородную систему с матрицей

Ясно, что решение такой системы будет:

(где - произвольная константа), или

3) Решим задачу о собственных числах и собственных векторах оператора проектирования, определенного в п. 1.7.

В базисе матрица этого оператора, рассматриваемого как преобразование пространства геометрических векторов, имеет вид:

Характеристическое уравнение:

.

В данном случае все характеристические числа оказались вещественными.

Определяем собственные векторы:

1)


Однородная система с такой матрицей будет иметь общее решение

Геометрически собственное подпространство, принадлежащее данному собственному числу, есть множество всех векторов, параллельных оси аппликат:

Однородная система с такой матрицей имеет общее решение:

,

где - произвольные вещественные константы. Геометрически, как легко понять, это множество всех векторов, лежащих в плоскости . Обратим внимание на то, что размерность собственного подпространства, принадлежащего собственному числу 1, равна двум и совпадает с кратностью данного характеристического корня как корня многочлена. Позже мы увидим, что такое совпадение не случайно.


В заключение этого пункта докажем одну важную теорему.

Теорема 1.6 Собственные векторы, принадлежащие попарно различным собственным числам данного линейного оператора, линейно независимы.

Доказательство. Пусть - попарно различные собственные числа некоторого линейного оператора .

Будем доказывать утверждение теоремы индукцией по .

Для утверждение тривиально, так как система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

Пусть утверждение доказано для всех . Рассмотрим множество попарно различных собственных чисел . Пусть - собственные векторы, принадлежащие числам соответственно. Предположим, что они линейно зависимы. Тогда найдется нетривиальная линейная комбинация этих векторов, обращающаяся в нуль:

(5)

Подействуем оператором на обе части равенства (5), получим:

.

Так как - собственные векторы оператора , то


(6)

Умножив равенство (5) на , вычтем его из (6):


(7)

Последнее равенство (7) есть утверждение о равенстве нулю линейной комбинации линейно независимой системы. Такая линейная комбинация может быть только тривиальной, т.е.

Так как разность в скобках, ввиду того, что все рассматриваемые собственные числа попарно различны, не равна нулю, то все числа равны нулю. С учетом этого равенство (5) принимает вид:

,

но поскольку , остается признать, что и, следовательно, линейная комбинация в (5) тривиальна в противоречии с предположением.

Это значит, что векторы линейно независимы.

Теорема доказана.


1.12. Линейные формы


Как мы уже знаем, линейный функционал - это линейное отображение некоторого линейного пространства в - множество вещественных чисел, рассматриваемое как одномерное арифметическое пространство. Предполагая всюду в дальнейшем, что конечномерно (), рассмотрим более подробно структуру пространства , называемого сопряженным пространством (см. п. 1.8).

Утверждение 1.17 Для всякого линейного функционала и любого произвольно фиксированного базиса в пространстве однозначно определен вектор-строка такой, что для всякого

.

Доказательство. Действительно, ,

где строка имеет вид:

,

представляя собой, очевидно, строку значений функционала на базисных векторах пространства (ее можно рассматривать как обычную в такой ситуации векторную матрицу-строку, состоящую из векторов размерности 1, т.е., просто чисел).

В сущности, строка есть не что иное, как матрица линейного оператора , принимающего значения в одномерном пространстве.

Представление линейного функционала в виде называют линейной формой.

Покажем, что на самом деле линейная форма есть разложение представляемого ею функционала по некоторому базису сопряженного пространства.

Относительно фиксированного базиса пространства введем функционалы следующим образом:

Линейность функционалов легко проверяется. Тогда произвольный линейный функционал может быть представлен в виде:

(1)

Подчеркнем, что формула (1) дает выражение для самого функционала, а не для его значения на каком-то векторе - это запись линейной комбинации функционалов из сопряженного пространства. Числа , компоненты строки образуют коэффициенты данной линейной комбинации. Значение же функционала на произвольном векторе будет тогда выражаться в виде:


Тем самым доказана теорема:

Теорема 1.7 Функционалы , образуют базис сопряженного пространства (он называется базисом, сопряженным к базису пространства ). Тем самым .


Выясним теперь, как преобразуются координаты линейного функционала в сопряженном базисе при преобразовании базиса исходного пространства .

Перепишем (1) в виде:

(2)

где .

Введем в новый базис , где - матрица перехода.

Тогда

,

откуда

(3)

или ( с учетом (2)):

(4)

Из (3) и (4) видно, что координаты ковектора (линейного функционала) в сопряженном базисе преобразуются при переходе от одного базиса исходного пространства к другому не как координаты вектора из , а как сами базисы . Эта «зеркальность» закона преобразования координат ковекторов по сравнению с законом преобразования координат самих векторов (в данном случае, элементов пространства ) и обусловила сам термин «ковектор» (двойственный, сопряженный вектор).

Обсудим теперь вопрос о линейных формах в евклидовом пространстве.


Теорема 1.8 Для любого линейного функционала , определенного на конечномерном евклидовом пространстве может быть однозначно определен такой вектор , что .

Доказательство. Согласно утверждению 1.16 имеем:

Тогда, полагая, что базис в является ортонормированным, получим, вводя вектор как , что .

Поскольку по теореме об ортогонализации (теорема 1.1, п. 1.6) любой базис евклидова пространства может быть преобразован к ортонорму (т.е., ортонормированному базису), приведенные выше рассуждения не зависят от выбора конкретного базиса.

Докажем теперь единственность вектора . Пусть для данной линейной формы существует еще какой-то вектор , такой, что . Тогда для любого

,

откуда .

Теорема доказана.

Обратим как раз внимание на инвариантность формулировки теоремы 1.8: представление линейного функционала в евклидовом пространстве как скалярного произведения некоторого постоянного вектора на переменный вектор (векторный аргумент) не зависит от выбора конкретного базиса, но следует, однако, иметь в виду, что равенство имеет место, конечно, только при разложении векторов по ортонормированному базису.

Скалярное произведение называют линейной формой в евклидовом пространстве. Геометрический смысл линейной формы состоит в том, что уравнение

(5)

определяет в геометрическое место точек, называемое линейным многообразием. В частности, при получаем плоскость в пространстве, а при - прямую на плоскости. В общем случае линейное многообразие, определенное уравнением (5), называется - мерной гиперплоскостью. Интересно заметить, что линейное многообразие, будучи некоторым подмножеством множества векторов , не является подпространством в , если только .


Случайные файлы

Файл
89930.rtf
99201.rtf
СН 256-77.doc
3385-1.rtf
164626.doc