Лекции (ЛА(л) 2 семестр - (до ФНП))

Посмотреть архив целиком

Лекции по линейной алгебре.

2 семестр.


Лекция №1:

1.Переход к новому базису линейного пространства:

Пусть имеется два базиса

(e1,e2,…,en) B

(e’1,e’2,…,e’n) B’

пусть координаты произвольного вектора в старом базисе (В) X=, в новом (В') X’=

=x1e1+x2e2+…+xnen=BX

=x’1e’1+x’2e’2+…+x’ne’n=B’X’ BX=B’X’


Опр.1:Матрицей перехода от базиса В к базису В' наз. матрица TBB', столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе, т. е.

e’1=t11e1+t21e2+…+tn1en

…………………….

e’n=t1ne1+t2ne2+…+tnnen


TBB'=


эта матрица не вырожденная - определитель не равен нулю, т. е. векторы нового базиса линейно независимы.

Т1: X=TX'



BX=B'X' BX=(BT)X'=B(TX') X=TX'

B'=BT


(e’1,e’2,…,e’n)= (e1,e2,…,en)

2:Евклидово пространство:


Опр.2:Евклидовым пространством наз. подпространство линейного пространства, для которого выполнены требования:

-имеется правило, по которому двум произвольным векторам Евклидово пространства ставится в соответствие число, которое наз. скалярным произведением и обозначается:

для любого x,y прин. En (x,y)

-это правило удовлетворяет четырём аксиомам:

1: (x,y)=(y,x)

2: (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)

3: (x,y)= (x,y)
4: (x,x)
0 и (x,x)=0 x=0

Пример: рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на [a;b] (C[a,b])

Данное пространство является бесконечномерным.

Скалярное произведение на этом пространстве определяется как

для любого f(x),g(x) сущ. C[a,b]

(f(x),g(x))=

Норма вектора: II f(x)II= =


Т2: (Неравенство Коши – Бунековского ) скалярное произведение двух векторов En всегда ,чем произведение норм этих векторов.


для любого x,y прин.En (x,y) IIxII IIyII


для любого прин. R

(x+ y, x+ y)= +2(x,y)+

D==

I(x,y)I IIxII IIyII (x,y) IIxII IIyII


Следствие1:



-11


Отсюда корректно вводить понятие угла между векторами:


Cos(x^,y)=


Лекция №2:


1:Норма вектора. Ортогональность.

Следствие1из теоремы Коши – Бунековского (неравенство треугольника):

IIxII+IIyII IIx+yII


IIx+yII= =

IIxII+IIyII



Т1:(Линейная независимость ортогональной системы векторов): Пусть e1,e2,…,en - ортогональная система ненулевых векторов, тогда e1,e2,…,en - линейно

независима.



Пусть e1,e2,…,en линейно зависимы, тогда хотя бы один из них будет выражаться в виде линейной комбинации остальных:

например, e1= 2e2+…+ nen

2e2 e1=0 nen e1=0

получили противоречие.



Опр.1:Базис e1, e2 ,…, en наз. ортонормированным,

если все векторы базиса попарно ортогональны и

норма каждого вектора равна единице.

Ортогонализация системы векторов (процедура Шмидта):

пусть имеется система не ортогональных векторов

b1, b2 ,…, bn , на базе этих векторов построим

систему ортогональных векторов:

e1= b1

e2= b2-( b2 e1) e1/

e3= b3 -( b3e1) e1/ -( b3 e2) e2/


en= bn -( bn e1) e1/-( bn e2) e2/ -…-( bn en-1) en-1/

Пример: ортогонализировать систему векторов

=(1,0,0)

=(1,1,0)

=(1,1,1)


Решение:


e1=(1,0,0)

e2=(1,1,0)-1*(1,0,0)/1=(0,1,0)

e3=(1,1,1)-1*(1,0,0)/1-1*(0,1,0)/1=(0,0,1)

e1 e3=0

e2 e3=0

e2 e1=0


2 Линейные операторы:

Опр.1:Оператор, действующий на линейном пространстве Ln, наз. линейным, если:

(1): для любого x,y прин. Ln a(x+y)= ax+ ay

(2): прин. R a (x)= a(x) , где a- оператор.



Замечание: Оператор есть отображение линейного пространства Ln Lm (с помощью a ),

при котором для любого x прин. Ln y= ax прин. Lm


Примеры лин. операторов:

(1) Оператор дифференцирования

(2) Оператор проектирования геометрических

векторов на плоскость.



Матрица оператора:

Пусть в пространстве Ln задан базис e1, e2 ,…, en,

в пространстве Lm _ g1, g2 ,…, gm и есть лин. оператор,

который преображает Ln в Lm. (с помощью a)


Опр. 2:Матрицей оператора наз. матрица,

столбцами, которой являются координаты образов базисных векторов e1, e2 ,…, en в базисе g1, g2,…, gm.

Образы лежат в Lm.


Образ базисного вектора:

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

a en=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm


A=



Т. 2. Пусть - произвольный вектор Ln,

a - лин. оператор, действующий из Ln в Lm

с матрицей A, тогда образ вектора (y= ax)

имеет координаты, которые вычисляются по

формуле


=






a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

aen=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm




A=


y-образ


y= ax = a(x1e1+…+xnen)= = =

=(a11x1+…+a1nxn)g1 +…+(am1x1+…+amnxn)gm

y1=(a11x1+…+a1nxn)

…………………

yn=(am1x1+…+amnxn)


=



Лекция №3.


1. Действия над линейными операторами:

пусть даны два лин. оператора a и b,

с матрицами соответственно A ; B.


Опр. 1. Суммой операторов наз. оператор a+b ,

такой , что действие которого на произвольный

вектор дает ax+bx:

a+b (a+b)x=ax+bx


Опр. 2: Оператором наз. оператор , действие которого на вектор равносильно произведению на образ ax.

*x(ax)

опр. 3: Композицией операторов a,b,c наз. оператор, действие которого равносильно воздействию a(b(cx)).

abc a(b(cx)).


В определениях 1-3 матрицы операторов удовлетворяет равенство :

  1. a+bA+B

  2. A

  3. abcABC - матрицы должны быть

(удовлетворять усл. пр-я матриц).


Т. 1 :Операторы в опр. 1-3 также явл. линейными.


a+b- линейный оператор.


(a+b)(x+y)=a(x+y)+b(x+y)=ax+ay+bx+by=

=(a+b)x+(a+b)y


Аналогично в Опр. 2 и Опр. 3.


Пусть в базисе e1, e2 ,…, en матрица оператора a

имеет вид A.

т.к. базисов в пр-ве Ln бесконечно много, то возникает задача об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису.


Т. 2 : Пусть в базисе B: e1, e2 ,…, en a имеет матрицу A , а в базисе B’: e’1,e’2,…,e’n a имеет матрицу A’ , тогда связь между матрицами


A’= B-B’ AT B-B’


Y’=Y=AX=ATX’

Y’=A’X’

A’=AT


Следствие : detA’=detdetAdetT=(1/detT)*detAdetT=detA

Определитель матрицы не меняется при переходе к новому базису.



2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора:

Опр. 4:Подпространство линейного пространства наз. инвариантным для лин. оператора a , если для любых

x прин. L’n образ опять лежит в этом подпространстве.

L’n включает Ln x прин. L’n ax прин. L’n

Пример: пусть - оператор поворота вектора вокруг заданной оси на заданный угол, тогда множество всех векторов , параллельных этой оси явл. инвариантом для оператора поворота.

Рассмотрим одномерное инвариантное для оператора а , наз. подпространством собственных векторов лин. пространства, пространство.


Опр.5:Ненулевой вектор линейного пространства наз. собственным вектором линейного оператора, если действие на него оператора переводит этот вектор в коллинеарный.

x прин. Ln ,x< >0

ax= x , прин. R

При этом число наз. собственным числом линейного оператора.


Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.


AX= X AX- EX=0

(A- E)X=0 (2)

т.к. x< >0, то |A- E|=0 (1)

|a11- a12…….a1n |

|……..a22- …a2n | =0

|an1…………ann- |

В Ln имеем уравнение n-ой степени , относительно (наз. характеристическим уравнением).

Для нахождения собственных векторов найденные подставить в выражение (2).






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.